2021届辽宁省沈阳市郊联体高三上学期数学期末考试题答案

2021届辽宁省沈阳市郊联体高三上学期数学期末考试题答案

一、选择题：

1-5：AABDC 6-8：DCC

二、多选题：

9. ABD     10. CD    11. BC   12. AC

三、填空题：

13. 3       14. 16     15.      16. ①②③

四、解答题：

17.【解析】（Ⅰ）∵向量，，

由此可得函数，

又∵，得，

∴，即的取值范围是；

（Ⅱ）∵函数，∴，

又∵，∴，可得.

∵，，

∴根据正弦定理，可得，

由得，所以，

因此，

可得是以为直角顶点的直角三角形，

∴的面积.

18.【解析】 （Ⅰ）当时，，解得.

因为，①

所以当时，，②

①-②得，，所以.

故数列是首项为1，公比为2的等比数列，

其通项公式为.

（Ⅱ）由题知，，

所以，③

，④

③-④得，

.

所以.

19.【解析】（Ⅰ）在图①中，连接，如图所示：

因为四边形为菱形，，所以是等边三角形.

因为为的中点，所以，.

又，所以.

在图②中，，所以，即.

因为，所以，.

又，平面.所以平面.

又平面，所以平面平面.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，.

因为，平面.

所以平面.

以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴，

建立如图所示的空间直角坐标系：

则，，，，.

因为为的中点，所以.

所以，.

设平面的一个法向量为，

由得.

令，得，，所以.

设平面的一个法向量为.

因为，，

由得，

令，得，

则，

又二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.

20.【解析】（Ⅰ）由题意知，解得，

样本平均数为元.

（Ⅱ）由题意，从中抽取7人，从中抽取3人，

随机变量的所有可能取值有0，1，2，3.

.

所以随机变量的分布列为：

随机变量的数学期望.

（Ⅲ）由题可知，样本中男生40人，女生60人，属于“高消费群”的25人，其中女生10人；得出以下列联表：

.

所以有的把握认为该校学生属于“高消费群”与性别有关.

21.【解析】（Ⅰ）由题意可知，，∴，

又，，∴，∴椭圆的方程为.

（Ⅱ）∵，∴四边形为平行四边形，

假设存在使得，则四边形为矩形，

∴，

若的斜率不存在，直线的方程为，由得，，

∴，不合题意，故的斜率存在.

设的方程是，，，

由得.

∴，，①

∴.②

由，得，

把①，②代入得.

∴存在直线：或使得.

22.【解析】（Ⅰ）由，得，∴.

由已知可得：，即，∴，.

（Ⅱ），

∴.

当，即时，，在上为增函数，无极值点.

当，即时，则有：当时，，当时，，

∴在为减函数，在上为增函数，

∴是极小值点，无极大值点；

综上可知：当时，函数无极值点，

当时，函数的极小值点是，无极大值点.

（Ⅲ），

由题意知：当时，恒成立，

又不等式等价于：，即，

即①，①式等价于，

由知，，.

令，则原不等式即为：，

又在上为增函数，所以，原不等式等价于：②，

又②式等价于，即：.

设，，∴在上为增函数，在上为减函数，

又，∴当时，在上为增函数，在上为减函数，

∴.要使原不等式恒成立，须使，

当时，则在上为减函数，，

要使原不等式恒成立，须使，∴时，原不等式恒成立.

综上可知：的取值范围是，的最小值为.

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