2021【KS5U解析】乐山高二下学期期末考试数学（文科）试卷含解析

这是一份2021【KS5U解析】乐山高二下学期期末考试数学（文科）试卷含解析，共18页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年四川省乐山市高二（下）期末数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.
1．下列叙述随机事件的频率与概率的关系中哪个是正确的（　　）
A．频率就是概率
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．概率是随机的，在试验前不能确定
D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
2．复数的虚部是（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
3．现有4本不同的语文书，3本不同的数学书，从中任意取出2本，则取出的书恰好有1本语文1本数学的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（x）＝2xf'（e）+lnx（e为自然对数的底数），则f'（e）等于（　　）
A． B．e C．﹣ D．﹣e
5．执行如图程序后输出的结果是（　　）

A．﹣1 B．0 C．1 D．2
6．甲、乙两名篮球运动员在几场比赛中得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人在这几场比赛中得分的中位数之和为（　　）

A．45 B．52 C．47 D．54
7．如图是函数f（x）及f（x）在点P处的切线的图象，则f（2）+f'（2）＝（　　）

A．﹣ B． C．﹣ D．
8．如图，在矩形ABCD中，点E为CD边上的一个动点．若在矩形ABCD内部随机取一个点P，则点P取自阴影部分的概率为（　　）

A． B． C． D．
9．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点N在AC上，点M在A1D上，且A1M＝，MN∥面AA1B1B，则MN的长为（　　）

A． B． C．2 D．
10．已知函数，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（　　）
A． B． C． D．
11．函数f（x）的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（　　）

A．f'（3）＜f′（2）＜f（3）﹣f（2）
B．f'（2）＜f（3）﹣f（2）＜f'（3）
C．f'（2）＜f'（3）＜f（3）﹣f（2）
D．f（3）﹣f（2）＜f'（2）＜f'（3）
12．若关于x的不等式﹣x＞1在（0，+∞）上恒成立，则实数k的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某班有学生45人，其中男生有25人，现按男、女分层抽样一个样本，若已知样本中有5名男生，则样本的容量为 　 　．
14．已知复数z满足（1+i）z＝1+i，则|z|＝　 　．
15．某家具厂的原材料费支出x与销售量y（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为，则＝　 　．
x
2
4
5
6
8
y
25
35
60
55
75
16．已知函数f（x）＝ex+x2+（a+1）x+1在区间（﹣1，0）有最小值，则实数a的取值范围是 　 　．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．
17．已知函数f（x）＝﹣x3+bx+c在x＝﹣2处取得极值﹣10．
（1）求b，c的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．
18．某市居民用水拟实行阶梯水价．每人月用水量中不超过ω立方米的部分按4元/立方米收费，超出ω立方米的部分按10元/立方米收费．从该市随机调查了10000名居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图．
（1）如果ω为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，ω至少定为多少？
（2）假如同组中的每一个数据用该组区间的右端点值替代．当ω＝3时，估计该市居民该月的人均水费为多少？

19．设函数f（x）＝．
（1）若f（x）在（2，+∞）上存在单调递减区间，求a的取值范围；
（2）当0＜a＜2时，f（x）在区间[1，4]上的最大值为，求f（x）在该区间上的最小值．
20．在一次数学知识竞赛后，数学老师设计了本班学生对A、B两题选做的情况，得到如表数据（单位：人）：

选做A题
选做B题
合计
男同学

8
30
女同学
8

20
合计

20

（1）请完成题中的2×2列联表，并根据表中的数据判断，是否有超过97.5%的把握认为选做“A题”或“B题”与性别有关？
（2）经过多次测试后，甲同学发现自己解答一道“A题”所用的时间为区间[5，7]内的一个随机值（单位：分钟），解答一道“B题”所用的时间区间为[6，8]内的一个随机值（单位：分钟），试求甲同学在考试中选做“A题”比选做“B题”所用时间更长的概率．
参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，O为AB的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝CD＝DA＝AB＝4，M是PA的中点．
（1）求证：DM∥平面PBC；
（2）求点A到平面PCD的距离．

22．设函数f（x）＝+lnx，g（x）＝x3﹣x2﹣3．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果对于任意的，都有x1•f（x1）≥g（x2）成立，试求实数a的取值范围．


参考答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.
1．下列叙述随机事件的频率与概率的关系中哪个是正确的（　　）
A．频率就是概率
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．概率是随机的，在试验前不能确定
D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
解：事件A的频率是指事件A发生的频数与n次事件中事件A出现的次数比，
一般来说，随机事件A在每次实验中是否会发生是不能预料的，但在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会逐渐稳定在区间[0，1]中的某个常数上，这个常数就是事件A的概率．
∴随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率．
故选：D．
2．复数的虚部是（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
解：∵＝，
∴复数的虚部是．
故选：B．
3．现有4本不同的语文书，3本不同的数学书，从中任意取出2本，则取出的书恰好有1本语文1本数学的概率是（　　）
A． B． C． D．
解：由题意，有4本不同的语文书，3本不同的数学书，从中任意取出2本，
则取出的书恰好有1本语文1本数学的概率是．
故选：A．
4．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（x）＝2xf'（e）+lnx（e为自然对数的底数），则f'（e）等于（　　）
A． B．e C．﹣ D．﹣e
解：根据题意，f（x）＝2xf'（e）+lnx，
其导数f′（x）＝2f'（e）+，
令x＝e，可得f′（e）＝2f'（e）+，
变形可得f′（e）＝﹣，
故选：C．
5．执行如图程序后输出的结果是（　　）

A．﹣1 B．0 C．1 D．2
解：模拟程序语言的运行过程，如下：
n＝5，s＝0
满足条件s＜14，执行循环体，s＝5，n＝4
满足条件s＜14，执行循环体，s＝9，n＝3
满足条件s＜14，执行循环体，s＝12，n＝2
满足条件s＜14，执行循环体，s＝14，n＝1
此时，不满足条件s＜14，退出循环，输出n的值为1．
故选：C．
6．甲、乙两名篮球运动员在几场比赛中得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人在这几场比赛中得分的中位数之和为（　　）

A．45 B．52 C．47 D．54
解：甲运动员的中位数为24，乙运动员的中位数为28，所以中位数之和为24+28＝52．
故选：B．
7．如图是函数f（x）及f（x）在点P处的切线的图象，则f（2）+f'（2）＝（　　）

A．﹣ B． C．﹣ D．
解：由图可知f（x）在x＝2处的切线方程为，即y＝﹣，
可得f′（2）＝，
又f（2）＝，
∴f（2）+f'（2）＝1﹣＝．
故选：D．
8．如图，在矩形ABCD中，点E为CD边上的一个动点．若在矩形ABCD内部随机取一个点P，则点P取自阴影部分的概率为（　　）

A． B． C． D．
解：由题意，点P取自阴影部分的概率为．
故选：C．
9．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点N在AC上，点M在A1D上，且A1M＝，MN∥面AA1B1B，则MN的长为（　　）

A． B． C．2 D．
解：如图，在△A1AD中，作ME∥AD，交AA1于点E，在△ABC中，作NF∥BC，交AB于点F，连接EF，
∵正方体的棱长为2，
∴AC＝A1D＝2，
∵A1M＝，
∴由＝＝，可得＝＝，可得A1E＝1，可得AE＝EM＝1，
∵MN∥面AA1B1B，面MNEF∩面AA1B1B＝EF，
∵MN∥EF，
又EM∥AD∥FN，
∴四边形EMNF是平行四边形，可得NF＝EM＝1，
∴由，可得，可得AF＝1，
∴EF＝＝＝，
∴MN＝EF＝．
故选：A．

10．已知函数，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（　　）
A． B． C． D．
解：求导数可得f′（x）＝x2+2ax+b2，
要满足题意需x2+2ax+b2＝0有两不等实根，
即△＝4（a2﹣b2）＞0，即a＞b，
又a，b的取法共3×3＝9种，
其中满足a＞b的有（1，0），（2，0），（2，1），
（3，0），（3，1），（3，2）共6种，
故所求的概率为P＝
故选：D．
11．函数f（x）的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（　　）

A．f'（3）＜f′（2）＜f（3）﹣f（2）
B．f'（2）＜f（3）﹣f（2）＜f'（3）
C．f'（2）＜f'（3）＜f（3）﹣f（2）
D．f（3）﹣f（2）＜f'（2）＜f'（3）
解：由图可得，0＜f′（2）＜f′（3）．
设A（2，f（2）），B（3，f（3）），则f（3）﹣f（2）＝，
即为直线AB的斜率．
由图可知，直线AB的斜率大于f′（2）小于f′（3），
即f'（2）＜f（3）﹣f（2）＜f'（3）．
故选：B．
12．若关于x的不等式﹣x＞1在（0，+∞）上恒成立，则实数k的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
解：关于x的不等式﹣x＞1在（0，+∞）上恒成立，
等价于在（0，+∞）上恒成立，
设，则，
令f'（x）＝0，解得x＝2，
当0＜x＜2时，f'（x）＞0，则f（x）单调递减，
当x＞2时，f'（x）＜0，则f（x）单调递减，
所以f（x）在x＝2时取得极大值，即最大值，
故f（x）的最大值为f（2）＝，所以，
则实数k的取值范围为．
故选：A．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某班有学生45人，其中男生有25人，现按男、女分层抽样一个样本，若已知样本中有5名男生，则样本的容量为 　9　．
解：由题意可知，样本中男生与总体中男生的比例为，
由分层抽样可知，样本容量与总体容量的比例也为，
又总体容量为45，
故样本容量为．
故答案为：9．
14．已知复数z满足（1+i）z＝1+i，则|z|＝　　．
解：由（1+i）z＝1+i，得＝．
∴|z|＝＝．
故答案为：．
15．某家具厂的原材料费支出x与销售量y（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为，则＝　10　．
x
2
4
5
6
8
y
25
35
60
55
75
解：，；
把（5，50）代入回归直线，得，解得．
故答案为：10．
16．已知函数f（x）＝ex+x2+（a+1）x+1在区间（﹣1，0）有最小值，则实数a的取值范围是 　（﹣2，1﹣）　．
解：函数f（x）＝ex+x2+（a+1）x+1的导数为f′（x）＝ex+2x+（a+1），
由y＝ex+2x+（a+1）在（﹣1，0）递增，
设y＝ex+2x+（a+1）的零点为t，可得﹣1＜x＜t时，y＜0；t＜x＜0时，y＞0，
可得x＝t为f（x）的极小值点，且为最小值点，
所以﹣（a+1）＝ex+2x∈（﹣2+，1），
解得a∈（﹣2，1﹣）．
故答案为：（﹣2，1﹣）．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．
17．已知函数f（x）＝﹣x3+bx+c在x＝﹣2处取得极值﹣10．
（1）求b，c的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．
解：（1）由题知f'（x）＝﹣3x2+b，
∴f'（﹣2）＝0，即﹣3×（﹣2）2+b＝0．
∴b＝12．
又∵f（﹣2）＝﹣10，
即﹣（﹣2）3+（﹣2）×12+c＝﹣10．
∴c＝6．
（2）由（1）知f（x）＝﹣x3+12x+6．
∴f'（x）＝﹣3x2+12＝﹣3（x+2）（x﹣2）．
令f'（x）＞0，可得﹣2＜x＜2；令f'（x）＜0，可得x＜﹣2或x＞2，
∴f（x）在（﹣∞，﹣2），（2，+∞）上单调递减，在（﹣2，2）上单调递增．
18．某市居民用水拟实行阶梯水价．每人月用水量中不超过ω立方米的部分按4元/立方米收费，超出ω立方米的部分按10元/立方米收费．从该市随机调查了10000名居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图．
（1）如果ω为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，ω至少定为多少？
（2）假如同组中的每一个数据用该组区间的右端点值替代．当ω＝3时，估计该市居民该月的人均水费为多少？

解：（1）由用水量的频率直方图可知：
该市居民该月用水量在区间[0.5，1]，（1，1.5]，（1.5，2]，（2，2.5]，（2.5，3]内的频率依次是0，05，0.1，0.15，0.25，0.3，
∴该月用水量不超过3立方米的居民占：0.05+0.1+0.15+0.25+0.3＝85%．
而用水量不超过2立方米的居民占：0.05+0.1+0.15＝30%．
∵ω是正数，
∴为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，ω就定为3．
（2）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
分组
[2，4]
（4，6]
（6，8]
（8，10]
（10，12]
（12，17]
（17，22]
（22，27]
频率
0.05
0.1
0.15
0.25
0.3
0.05
0.05
0.05
根据题意，该市居民该月的人均水费估价为：4×0.05+6×0.1+8×0.15+10×0.25+12×0.3+17×0.05+22×0.05+27×0.05＝11.4（元）．
答：该市居民该月的人均水费为11.4（元）．
19．设函数f（x）＝．
（1）若f（x）在（2，+∞）上存在单调递减区间，求a的取值范围；
（2）当0＜a＜2时，f（x）在区间[1，4]上的最大值为，求f（x）在该区间上的最小值．
【解答】
解：（1）f'（x）＝x2﹣x﹣2a．
若f（x）在（2，+∞）上有单调递减区间，
则f'（x）＝x2﹣x﹣2a＜0在（2，+∞）上有解．
即2a＞x2﹣x在（2，+∞）上有解．
令，
易知g（x）＞g（2）＝2，
∴2a＞2，
∴a＞1，即a∈（1，+∞）．
（2）令f'（x）＝0得两根，，
∴f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减．
当0＜a＜2时，x1＜1＜x2＜4，
∴f（x）在[1，4]上的最小值为f（x2），
又∵．
即f（4）＞f（1）．
∴f（x）在[1，4]上的最大值为．
则，∴a＝1．
则．
∴f（x）在[1，4]上最小值为．
20．在一次数学知识竞赛后，数学老师设计了本班学生对A、B两题选做的情况，得到如表数据（单位：人）：

选做A题
选做B题
合计
男同学

8
30
女同学
8

20
合计

20

（1）请完成题中的2×2列联表，并根据表中的数据判断，是否有超过97.5%的把握认为选做“A题”或“B题”与性别有关？
（2）经过多次测试后，甲同学发现自己解答一道“A题”所用的时间为区间[5，7]内的一个随机值（单位：分钟），解答一道“B题”所用的时间区间为[6，8]内的一个随机值（单位：分钟），试求甲同学在考试中选做“A题”比选做“B题”所用时间更长的概率．
参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
解：（1）2×2列联表如下：

选做A题
选做B题
合计
男同学
22
8
30
女同学
8
12
20
合计
30
20
50
由表中的数据得，
所以有超过97.5%得把握认为选做“A题”或“B题”与性别有关．
（2）设甲同学解答一道“A题”需要x分钟，解答一道“B题”需要y分钟，
记“甲同学在考试中选做A题比选做B题所用时间更长”为事件A，
则总的基本事件构成区域为，
而满足事件A的基本事件构成的区域为，

即图中的阴影部分，由几何概型知，
所以甲同学在考试中选做A题比选做B题所用时间更长的概率为．
21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，O为AB的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝CD＝DA＝AB＝4，M是PA的中点．
（1）求证：DM∥平面PBC；
（2）求点A到平面PCD的距离．

【解答】（1）证明：取PB的中点N，连接MN，CN，

易得MN//AB，且，
又AB//CD且，
可得MN//CD且MN＝CD，
所以四边形MNCD为平行四边形，所以MD//CN．
因为CN⊂面PBC，而DM⊄面PBC，
故DM//平面PBC．
（2）解：如图，连接AC，取CD的中点F，连接OF，PF，

则OF⊥CD．
因为PO⊥平面ABCD，则PO⊥CD，
又因为OF⊥CD，OF∩PO＝O，得CD⊥面POF，
所以CD⊥PF，
所以OF，PF分别为△ACD，△PCD的高，
由题意可求得，，
令点A到平面PCD的距离为d，
因为V三棱锥A﹣PCD＝V三棱锥P﹣ACD，
即，
解得，
即点A到平面PCD的距离为．
22．设函数f（x）＝+lnx，g（x）＝x3﹣x2﹣3．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果对于任意的，都有x1•f（x1）≥g（x2）成立，试求实数a的取值范围．
解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，
当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，若，则f'（x）≥0，函数f（x）单调递增；
若，则f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
所以，函数f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增．…
（Ⅱ），，
可见，当时，g'（x）≥0，g（x）在区间单调递增，
当时，g'（x）≤0，g（x）在区间单调递减，
而，所以，g（x）在区间上的最大值是1，
依题意，只需当时，xf（x）≥1恒成立，
即 恒成立，亦即a≥x﹣x2lnx； …
令，
则h'（x）＝1﹣x﹣2xlnx，显然h'（1）＝0，
当时，1﹣x＞0，xlnx＜0，h'（x）＞0，
即h（x）在区间上单调递增；
当x∈（1，2]时，1﹣x＜0，xlnx＞0，h'（x）＜0，（1，2]上单调递减；
所以，当x＝1时，函数h（x）取得最大值h（1）＝1，
故 a≥1，即实数a的取值范围是[1，+∞）．…