2021乐山高二上学期期末考试数学文科试题含答案

机密★启用前〔考试时间：2021年1月27日上午8:00-10:00〕

乐山市高中2022届期末教学质量检测

文科数学

（本试卷共4页，满分150分．考试时间120分钟）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．命题“如果，那么”的逆否命题是（    ）

A．如果，那么    B．如果，那么

C．如果，那么    D．如果，那么

2．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是（    ）

A．圆锥    B．圆柱    C．球    D．棱柱

3．圆的圆心坐标和半径分别是（    ）

A．    B．    C．    D．

4．若直线与平面有两个公共点，则与的位置关系是（    ）

A．    B．    C．与相交    D．

5．抛物线的准线方程为（    ）

A．     B．     C．     D．

6．如图，在正方体中，与所成角的余弦值为（    ）

A．    B．    C．    D．

7．过抛物线的焦点作直线，交抛物线于点两点，的中点为．若，则点的横坐标为（    ）

A．2    B．3    C．4    D．5

8．如图，若菱形所在的平面，那么与的位置关系是（    ）

A．平行    B．垂直且相交    C．相交但不垂直    D．垂直但不相交

9．与圆内切，且与圆外切的圆的圆心在（    ）

A．一个椭圆上    B．双曲线的一支上    C．一条抛物线上    D．一个圆上

10．若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（    ）

A．    B．    C．    D．

11．已知是双曲线的一个焦点，点在上，为坐标原点，若，则的面积为（    ）

A．    B．    C．    D．

12．在直四棱柱中，底面四边形为菱形，为中点，平面过点且与平面垂直，平面，则平面被直四棱柱截得的图形面积为（    ）

A．1    B．2    C．4    D．6

二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．

13．命题“有一个正因数”的否定是___________．

14．方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围为_________．

15．如图，已知正方体的棱长为1，则四棱锥的体积为___________．

16．双曲线的左、右焦点分别为、是左支上一点，且，直线与圆相切，则的离心率为_________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．

17．（本小题满分10分）

如图，正方体中．分别是、的中点．

求证：三线共点．

18．（本小题满分12分）

经过点作直线交双曲线于两点，若（为坐标原点），求直线的方程．

19．（本小题满分12分）

如图，已知是平行四边形所在平面外一点，分别是的中点．

（1）求证：平面；

（2）若，求异面直线与所成的角；

20．（本小题满分12分）

已知抛物线，直线过点且与抛物线相交于两点，是坐标原点．

（1）求证：点在以为直径的圆上；

（2）若的面积为8，求直线的斜率．

21．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，为的中点．

（1）求证：平面；

（2）若，求证：平面平面；

（3）棱上是否存在点，使得平面？请说明理由．

22．（本小题满分12分）

已知椭圆的离心率是，且椭圆经过点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与圆相切．

（i）求圆的标准方程；

（ii）若直线过定点，与椭圆交于不同的两点，与圆交于不同的两点，求的取值范围．

乐山市高中2022届期末教学质量检测

文科数学参考答案及评分意见

2021.1

一、选择题（每小题5分，12小题，共60分）．

1．C   2．D  3．C  4．A  5．D  6．B  7．B  8．D  9．B  10．A  11．D  12．C

二、填空题（每小题5分，4小题，共计20分）

13．没有正因数；    14．且    15．；    16．

三、解答题（6小题，共70分）

17．（本小题满分10分）

证明：连结，由题可知，        1分

分别是的中点，

，且，

，且，        3分

为梯形．        4分

则可令．

由面，

面，        6分

面面        8分

共点于．得证．        10分

18．（本小题满分12分）

解：令，

由，

知为的中点．        2分

令，即．        4分

将代入双曲线方程中，得．

①        7分

，解得．        9分

当时，方程①为．

∵该方程根的判别式．

∴方程①有实数解．         11分

∴直线的方程为．        12分

19．（本小题满分12分）

解：（1）证明：取的中点为，连结,

是的中点，

且．    2分

又是平行四边形，

．        3分

又是的中点，

且．        4分

为平行四边形．

．

面，且面，

面．        6分

（2）由（1）可知即为与所成的角．        7分

．

为的中点．．        9分

，

．        12分

20．（本小题满分12分）

解：（1）令的方程为，

，         1分

由消去得，        3分

则．        4分

．        5分

．

即点在以为直径的圆上．        7分

（2）由题知，，

．        9分

        11分

．

∴直线的斜率为．        12分

21．（本小题满分12分）

解：（1）平面，且平面，．        1分

在菱形中，．

平面平面，且，

平面．        3分

（2）证明：平面，且平面，

．        4分

在菱形中，，

为等边三角形．

又为的中点，．

又．        6分

平面．

又面，

∴面面．        8分

（3）棱上存在点，且为的中点，使得平面．        9分

理由如下：

如图，为的中点，取的中点为，连接．

、分别为的中点，

．         10分

∵底面为菱形，，

，

∴四边形为平行四边形，

．        11分

平面平面，

平面        12分

22．（本小题满分12分）

解：（1）因为椭圆经过点，所以，

解得．        1分

因为，所以，

所以，解得．        2分

所以椭圆的标准方程为．        3分

（2）（i）圆的标准方程为，圆心为，

因为直线与圆相切，

所以圆的半径为，        5分

所以圆的标准方程为．        6分

（ii）由题可知直线的斜率存在，

设方程为，

由，

消去整理得．        7分

因为直线与椭圆交于不同的两点，

所以

，

解得．        8分

设，

则，

所以

．        9分

又圆截直线所得弦长，

设，则，        10分

所以．

因为，

所以，

所以的取值范围为．        12分