2022长春外国语学校高二上学期期初考试数学试题含答案
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长春外国语学校2020-2021学年第一学期期初考试高二年级
数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条
形码粘贴区.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量不共线，，，如果，那么（ ）
A. 同向 B. 反向
C. 同向 D. 反向
3. 设的内角的对边分别为.若，，，且，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 在中，角的对边分别为，，，则此三角形解的个数 （ ）
A. B. C. D. 不能确定
5. 已知向量满足，，，则 （ ）
A. B. C. D.
6. 围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是（ ）
A. B. C. D.
7. 甲组数据为：，乙组数据为：，则甲、乙的平均数、极差及中位数相同的是（ ）
- 极差 B.平均数 C.中位数 D. 都不相同
- 如图是60名学生参加数学竞赛的成绩（均为整数）的频率分布直方图，估计这次数学竞赛的及格率（60分及以上为及格）是
- B.
C. D.
9.如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数，其中，，从中随机抽取1个，则它在上是减函数的概率为（ ）
A. B. C. D.
11. 已知三棱柱ABC–A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1中心，则与平面所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
12.已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上.若球的表面积为，则到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分)
- 已知，，则.
- 一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如123,134等），若，且互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是
- 在区间上，函数与在同一个点取得相同的最小值，那么在区间上的最大值为 .
- 如图，在棱长为4的正方体中，，分别为棱，的中点，过，，三点作正方体的截面，则以点为顶点，以该截面为底面的棱锥的体积为
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.（10分）已知向量，,点.
（1）求线段的中点的坐标；
（2）若点满足，求.
18．(12分)已知函数，且满足.
（1）求的值
（2）求函数在区间上的最值.
19. (12分)已知函数的最小正周期为.
（1）求函数图像的对称轴方程；
（2）讨论函数在上的单调性.
20. (12分)在中，角的对边分别为，
若
（1）求角A的值；
（2）若，求周长的最大值 .
- (12分)某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲乙丙三人100跑（互不影响）的成绩在13s内（称为合格）的概率分别为，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测，求：
（1）三人都合格的概率；（2）三人都不合格的概率；（3）出现几人合格的概率最大
22．已知四棱锥，底面为正方形，且底面，过的平面与侧面的交线为，且满足表示的面积）．
（1）证明：平面；
（2）当时，求点到平面的距离．
选择：DDBCD CBBDB BC
13. 14. 15.4 16.
17
18
19
20
21
22.证明：（1）由题知四边形为正方形，，
又平面，平面
平面
又平面，平面平面
，又
，
由，知、分别为、的中点，
连接交与，则为中点，
在中为中位线，，
，平面，平面，
平面．
解：（2），，，，
，，，
平面，
在中，，
在中由余弦定理知，
，，
设点到平面的距离为，则，
由，，，得平面，且，
为中点，到平面的距离为，
又为中点，，
由，解得，
点到平面的距离为．
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