2021省绥化一中高二下学期期中考试数学（文）试题含答案

数学（文）

第I卷（选择题）

一、单选题（本题共12题，每题5分，共60分。每题只有一个正确选项）

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．若复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部是（    ）

A．2 B． C． D．

3．下列命题错误的是（    ）

A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”

B．命题“∀，”的否定是“，”

C．若“p且q”为真命题，则p，q均为真命题

D．“”是“”的充分不必要条件

4．新冠肺炎肆虐全，疫情波及多个国家和地区；一些国家宣布进入“紧急状态”，全球股市剧烈震荡……新冠肺炎疫情严重挑战公共卫生安全，全面冲击世界经济运行，深刻影响社会生活运转.这场全球公共卫生危机，需要国际社会的通力合作，在一次国际医学学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排在一张圆桌就座，为了使他们能够自由交谈，事先了解到的情况如下：甲是中国人，还会说英语；乙是法国人，还会说日语；丙是英国人，还会说法语；丁是日本人，还会说汉语；戊是法国人，还会说德语；则这五位代表的座位顺序应为（    ）

A．甲丙丁戊乙 B．甲丁丙乙戊

C．甲乙丙丁戊 D．甲丙戊乙丁

5．在同一坐标系中，将曲线变为曲线的伸缩变换是（    ）

A． B． C． D．

6．函数在处有极大值，则的值等于（    ）

A．9 B．6 C．3 D．2

7．函数 的单调递增区间是（  ）

A． B． C．(1,4) D．(0,3)

8．命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ）

A． B． C． D．

9．设，是双曲线的左、右焦点，一条渐近线方程为，为双曲线上一点，且，则的面积等于（    ）

A． B． C． D．

10.已知点是抛物线上一点，设点到此抛物线准线的距离是，到直线的距离为，则的最小值是（    ）

A．5 B．4

C． D．

11．双曲线的方程为：（，），过右焦点作双曲线一条渐近线的平行线，与另一条渐近线交于点，与双曲线右支交于点，点恰好为的中点，则双曲线的离心率为（    ）

A． B．2 C． D．3

12．已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）．

A． B． C． D．

第II卷（非选择题）

二、填空题（本题共4题，每题5分，共20分。）

13．设复数，若，则________.

14．已知某种产品产量x（吨）与所需某种原材料y（吨）具有线性相关关系，在生产过程中收集了6组数据，由6组数据得到数据的中心点为(4.5,3.5)，y关于x的线性回归方程为＝x+0.35，据此可估计x＝7时，＝_____.

15．已知在区间上为单调递增函数，则实数的取值范围是__________

16.已知抛物线的焦点是F，点M是其准线l上一点，线段交抛物线C于点N.当时，的面积是______

三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

17．在平面直角坐标系中，过点且倾斜角为的直线与曲线（为参数）交于两点.

（1）将曲线的参数方程转化为普通方程；

（2）求的长.

18．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且.

（1）求证：平面；

（2）求点到平面的距离.

19．2017年“一带一路”国际合作高峰论坛于今年5月14日至15日在北京举行.为高标准完成高峰论坛会议期间的志愿服务工作，将从27所北京高校招募大学生志愿者，某调查机构从是否有意愿做志愿者在某高校访问了80人，经过统计，得到如下丢失数据的列联表：（，表示丢失的数据）

（1）求出的值，并判断：能否有99.9%的把握认为有意愿做志愿者与性别有关；

（2）若表中无意愿做志愿者的5个女同学中，3个是大学三年级同学，2个是大学四年级同学.现从这5个同学中随机选2同学进行进一步调查，求这2个同学是同年级的概率.

附参考公式及数据：，其中.

20．在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）求曲线上的动点到直线距离的最大值.

21．已知椭圆的离心率是，椭圆C过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知是椭圆的左、右焦点，过点的直线l（不过坐标原点）与椭圆交于两点，求 的取值范围.

22．已知函数．

（1）若，求曲线的斜率等于3的切线方程；

（2）若在区间上恰有两个零点，求a的取值范围．

参考答案

1．C

【分析】

求得集合，结合集合交集的运算，即可求解.

【详解】

由题意，集合，，

根据集合交集的概念及运算，可得.

故选：C.

2．C

【分析】

根据复数的除法运算求出，再根据复数的概念可得结果.

【详解】

因为，所以，

所以复数的虚部为.

故选：C

3．B

【分析】

根据逆否命题的定义，命题的否定的定义，复合命题的真假与充分条件必要条件的定义判断各命题．

【详解】

命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，A正确；

命题“∀，”的否定是“，”，B错误；

若“p且q”为真命题，则p，q均为真命题，C正确；

时成立，但时有或，因此“”是“”的充分不必要条件，D正确．

故选：B．

4．D

【分析】

首先从戊的国家和语言开始分析，两侧只能是乙和丙，其余顺序唯一，可得选项．

【详解】

戊是法国人，还会说德语，只能用法语交流，

则两侧只能是乙和丙，乙旁边是丁，丙旁边是甲，

故选：D.

5．B

【分析】

根据三角函数图象伸缩变换原则可知需坐标扩大到原来的倍，纵坐标缩短为原来的，从而可得结果.

【详解】

将变为曲线，需将：

的横坐标扩大到原来的倍，纵坐标缩短为原来的   

故选：B

【点睛】

本题考查曲线的伸缩变换，涉及到三角函数伸缩变换原则，属于基础题.

6．B

【分析】

对函数求导，利用以及解出，进而得出答案．

【详解】

由题意得，因为在处有极大值，所以，解得，所以，

故选：B

7．B

8．A

【分析】

“，”为真命题可转化为恒成立，可得，根据充分必要条件可选出答案．

【详解】

若“，”为真命题，得恒成立，只需，

所以时，不能推出“，”为真命题，

“，”为真命题时推出，

故是命题“，”为真命题的一个必要不充分条件，

故选：A．

【点睛】

结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：

（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；

（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．

9．A

由双曲线方程知其渐近线方程为：，又一条渐近线方程为，，

由双曲线定义知：，

解得：，，又，

，，

.
故选：A.

10.C

【详解】

点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，

过焦点F作直线x+y−4=0的垂线,此时d1+d2最小，

∵F(1,0),则.

本题选择C选项.

11．A

【分析】

求出双曲线的渐近线方程，求出过右焦点的直线方程，求出的坐标，得到中点坐标，代入双曲线方程，求解即可.

【详解】

双曲线（，）的右焦点，

双曲线的渐近线方程不妨为：，

则过双曲线的右焦点作一条渐近线的平行线为：

由，解得，

线段的中点恰好在此双曲线上，

可得：，即，得，

故选：A.

【点睛】

本题主要考查双曲线的简单性质的应用，双曲线离心率的求法，属于中档题.

12．A

【分析】

将不等式恒成立，转化为不等式 在上恒成立，令，用导数法求得其最小值即可.

【详解】

因为不等式恒成立，

所以不等式 在上恒成立，

令，

则，

令，

则，

所以在上是递增，又，

所以当时，，即，

当时，，即，

所以当时，取得最小值，

所以 ，

故选：A

【点睛】

方法点睛：恒成立问题的解法：

若在区间D上有最值，则；；

若能分离常数，即将问题转化为：（或），则；.

13．

【分析】

根据复数的乘法运算求出，再根据复数的加法运算求出，再根据复数的模长公式可求出结果.

【详解】

，，

，

所以.

故答案为：

14．5.25；

【分析】

由数据的中心点为(4.5, 3.5)及回归方程为＝x+0.35，可求出并得到回归方程，进而估计x＝7时的值即可

【详解】

数据的中心点为(4.5, 3.5)，且线性回归方程为＝x+0.35

可知：，得即

∴可估计x＝7时，

故答案为：5.25

【点睛】

本题考查了利用数据的中心求回归方程的参数，并由回归方程进行数据值估计

15，由题意在时恒成立，

即在时恒成立，，

由对勾函数性质知在单调递增，所以，

所以，即．

故答案为：．

16．

【分析】

由抛物线的方程可得焦点坐标及准线方程，因为，可得在，之间，设垂直于准线交于，由抛物线的性质可得，可得，求出直线的方程，代入抛物线的方程求出的横坐标，进而求出的面积．

【详解】

由题意抛物线的标准方程为：，所以焦点，准线方程为，

设垂直于准线交于，如图，

由抛物线的性质可得，

因为，可得在，之间，

所以，所以，

所以，

即直线的斜率为，所以直线的方程为，

将直线的方程代入抛物线的方程可得：，解得或（舍），

所以，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查抛物线的几何性质，抛物线的定义，三角形的面积公式，属于中档题．

17．（1）；（2）.

【分析】

（1）利用公式直接将椭圆的参数方程转化为普通方程即可.

（2）首先求出直线的参数方程，代入椭圆的普通方程得到，再利用直线参数方程的几何意义求弦长即可.

【详解】

（1）因为曲线（为参数），

所以曲线的普通方程为：.

（2）由题知：直线的参数方程为（为参数），

将直线的参数方程代入，得.

，.

所以.

18．（1）证明见详解；（2）

【分析】

（1）由题意可得，，再利用线面垂直的判定定理即可证明.

（2）利用等体法：，即可求解.

【详解】

（1）底面是正方形，，

平面，，

，

平面.

（2）由题意可得,

设点到平面的距离为，

由，即，

，

解得.

19．(1)答案见解析；(2).

【解析】

试题分析：

(1)由题意结合所给的表可得，计算的观测值，则有99.9%的把握认为有意愿做志愿者与性别有关.

(2)由题意列出所有可能的事件，然后结合古典概型公式可得这2个同学是同年级的概率是.

试题解析：

（1）由表得，

∵的观测值，

∴99.9%的把握认为有意愿做志愿者与性别有关.

（2）记3个大三同学分别为，2个大四同学分别为，则从中抽取2个的基本事件有：共10个，其中抽取的2个是同一年级的基本事件有4个，则所求概率为或直接求.

20．（1）：，：；（2）最大值为.

【分析】

（1）由直线的参数方程(为参数)，消去参数即可得到直线的普通方程；由曲线的极坐标方程，转化为，然后利用求解.

由曲线的参数方程(为参数)，设曲线上的动点，利用点到直线的距离，结合三角函数的性质求解.

【详解】

（1）直线的参数方程为(为参数)，

消去参数，得.

曲线的极坐标方程为，

,

即，

曲线的直角坐标方程为，

即.

曲线的参数方程为(为参数)，

设曲线上的动点，

则点到直线的距离，

曲线上的点到直线的距离的最大值为.

【点睛】

思路点睛：本题第二问思路是根据曲线的参数方程，设，再利用点到直线的距离，转化为三角函数而得解.

21．（1）；（2）.

【分析】

（1）由离心率及点的坐标列出关于的方程组，解之可得椭圆标准方程；

（2）设，设直线的方程为，代入椭圆方程后应用韦达定理得，代入，利用不等式的性质可得取值范围．

【详解】

（1）由条件知，

解得

因此椭圆的方程为.

（2）设，

则，

设直线的方程为，

代入椭圆的方程消去，得，

由韦达定理得，

，

，

，

所以.

【点睛】

方法点睛：本题考查由离心率求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交中的范围问题，解题方法是设而不求的思想方法：设交点坐标坐标为，设直线方程为，代入椭圆方程消元后（可以消去）应用韦达定理得得（），代入所求的量化简变形后利用不等式的知识可得取值范围．

22．（1）；（2）．

【分析】

（1）求函数导数得，进而得切点，得斜率，由点斜式求切线方程即可；

（2）讨论得当时，不成立，当时，由函数导数判断只有一个极值点，进而根据单调性列不等式求解即可.

【详解】

由已知函数定义域是，

（1），，

由解得（舍去），

又，所以切线方程为，即；

（2）当时，，函数单调递增，则不存在两个零点，舍

当时，，

易知只有一个极值点，要使得有两个零点，则，即，

此时在上，递减，在上，递增，

在时取得极小值，

所以解得．综上的范围是．