2021省双鸭山一中高二下学期期中考试数学（文）试卷含答案

双鸭山市第一中学2020-2021学年高二下学期期中考试

数学试题（文科) 

满分：150分   考试时间：120分钟

第I卷(选择题共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．设复数（为虚数单位）的共轭复数为，则（    ）

A． B． C． D．

2．在{3,5}和{2,4}两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个数能被5整除的概率是（    ）

A． B． C． D．

3．从某班50名同学中选出5人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将50名同学按01，02，……，50进行编号，然后从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为（注：表为随机数表的第1行与第2行）

A．24 B．36 C．46 D．47

4．某校高一年级某班共有名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取名学生做“跑操与健康”的调查，为此将学生编号为，选取的这名学生的编号可能是

A． B．

C． D．

5．下表是某工厂6～9月份电量(单位：万度)的一组数据：

由散点图可知，用电量y与月份x间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是，则等于

A．10.5 B．5.25 C．5.2 D．14.5

6．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=｛抽到一等品｝，事件B =｛抽到二等品｝，事件C =｛抽到三等品｝，且已知 P（A）=0.65 ,P(B)=0.2，,P(C)=0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为（ ）

A．0.35       B．0.65       C．0.7          D．0.3

7．函数的导函数为，则函数有（　　）

A．最小值   B．最小值    C．极大值   D．极大值

8．设复数（，i为虚数单位），若，则的概率为

A． B． C． D．

9．一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是

A．两次都中靶 B．至少有一次中靶

C．两次都不中靶 D．只有一次中靶

10．将1、、、按如图所示的方式排列，若规定（m，n）表示第m排从左往右第n个数，则（7，5）表示的数是

A．1 B． C． D．

11．已知函数，在区间（）上存在极值，则实数a的取值范围是

A．（ 0,1） B．（，1） C．（ ，1） D．（ , 1）

12．定义在上的函数满足,,则不等式的解集为

A． B． C． D．

第Ⅱ卷(非选择题共90分)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)

13．若，，且为纯虚数，则实数     ;

14．已知函数，则在点处的切线方程为___________.

15．已知在R上是减函数，则a的取值范围为______________.

16．已知函数在区间上只有一个零点，则实数的取值范围是_______

三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．（10分）在极坐标系中，已知点的极坐标为，圆的极坐标方程为

，试判断点和圆的位置关系

18．（12分）某种农作物可以生长在滩涂和盐碱地，它的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某实验基地为了研究海水浓度对亩产量(吨)的影响,通过在试验田的种植实验,测得了该农作物的亩产量与海水浓度的数据如下表：

绘制散点图发现,可以用线性回归模型拟合亩产量(吨)与海水浓度之间的相关关系，用最小二乘法计算得与之间的线性回归方程为.

（1）求的值；

（2）统计学中常用相关指数来刻画回归效果，越大，回归效果越好，请计算相关指数(精确到),并指出亩产量的变化多大程度上是由浇灌海水浓度引起的？

（附：残差，相关指数，其中）

19．（12分）某手机生产企业为了解消费者对某款手机功能的认同情况，通过销售部随机抽取50名购买该款手机的消费者，并发出问卷调查，该问卷只有30份给予回复，这30份的评分如下：

（Ⅰ）完成下面的茎叶图，并求16名男消费者评分的中位数；

（Ⅱ）若大于40分为“满意”，否则为“不满意”，完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为消费者对该款手机的“满意度”与性别有关.       

参考公式：，

其中

参考数据：

20．（12分）在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，

l的极坐标方程为，C的参数方程为（为参数，）．

（1）写出l的直角坐标方程和C的普通方程；

（2）在C上求一点M，使点M到l的距离最小，并求出最小值．

21．（12分）某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示，该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以（单位：盒，）表示这个开学季内的市场需求量，（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润．

（1）根据频率分布直方图估计这个开学季内市场需求量的众数和平均数；

（2）将表示为的函数；

（3）根据频率分布直方图估计利润不少于4800元的概率．

22．（12分）已知，函数，.

（1）讨论的单调性；

（2）记函数，求在上的最小值

高二下文科数学期中考试参考答案

1．D

【分析】

先求得复数，再根据复数的乘法运算法则，即可求解.

【详解】

由题意，复数的共轭复数为，

则.

故选：D.

2．C

【解析】

【分析】

数出组成的所有两位数的个数，即能被5整除的两位数的个数，即可得到这个两位数能被5整除的概率．

【详解】

解：在{3,5}和{2,4}两个集合中各取一个数组成的两位数有：32,34,52,54,23,25,43,45，共8个，其中能被5整除的两位数有：25,45，共2个，故所求概率，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查古典概型的概率，主要考查计算能力，属于基础题．

3．A

【分析】

按要求两个数字为一个号，不大于50且前面未出现的数依次写出即可得．

【详解】

由随机数表．抽样编号依次为43，36，47，36前面出现过去掉，46，24，第5个是24．

故选：A．

【点睛】

本题考查随机数表法，属于简单题．

4．B

【分析】

根据系统抽样的定义进行求解即可．

【详解】

根据系统抽样的定义，从60名学生中抽取6名学生，编号的间隔为

∴编号组成的数列应是公差为10的等差数列，
故选B．

本题主要考查系统抽样的应用，求出号码间隔是解决本题的关键．

5．D

【详解】

由题意知线性回归直线过点（7.5,4），代入方程解得＝14.5，故选D.

考点：线性回归方程.

6．A

【分析】

直接根据对立事件的概率公式求解即可.

【详解】

因为事件“抽到的不是一等品”是事件A=｛抽到一等品｝的对立事件，

而P（A）=0.65 ,所以，

故选A.

【点睛】

本题主要考查对立事件的概率公式，属于基础题.

7．C

【分析】

根据导函数求出函数的单调区间，根据极值的定义即可得出结果.

【详解】

由，

令，解得，即函数的单调递增区间为；

令，解得或；

令，解得或，

即函数的单调递减区间为，，

所以函数的极大值.

故选：C

8．D

【分析】

首先由题意画出图形，分别求出圆的面积以及满足的区域面积，利用几何概型的概率公式计算可得答案.

【详解】

解：由题意：，且，

可得：，故点在以为圆心，1为半径的圆及其内部，

而表示上方部分，如图所示，

可得所求概率为弓形面积与圆面积之比，

可得所求概率：

故选：D.

【点睛】

本题主要考查几何概型的概率计算问题，解题的关键是求出弓形面积与圆的面积.

9．A

【分析】

利用对立事件、互斥事件的定义直接求解．

【详解】

一个人打靶时连续射击两次，

事件“至多有一次中靶”的互斥事件是两次都中靶．

故选A．

【点睛】

本题考查互事件的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件、互斥事件的定义的合理运用．

10．B

【详解】

试题分析：：∵第6排最后一个数为1+2+3+4+5+6==21，

∴（7，5）表示21+5=26个数，

∵26÷4=6…2，

∴（7，5）表示的数为

考点：数字的变化规律

11．D

【详解】

试题分析：,令，得到，当，，当，，所以是函数的极大值点，区间存在极值，所以，解得：，故选D．

考点：1．导数的应用；2．极值

12．B

【分析】

由已知条件构造辅助函数g(x)=f(x)+lnx，求导，根据已知求得函数的单调区间，结合原函数的性质和函数值，即可的解集．

【详解】

令g(x)=f(x)+lnx (x>0) ，

则g'(x)= ，

又函数满足，

∴g'(x)= ，

g(x)在单调递增.

∵，

∴，

∴当，，当，，

∴当，则不等式成立.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查导数在研究函数中的应用和函数综合，一般采用构造函数法，求导后利用条件判断函数的单调性，再根据特殊值解出不等式所对应的区间即可，属于中等题.

13．

【详解】

解：因为为纯虚数，所以-4

14．

【分析】

根据导数的几何意义，求出导数得到，即可由点斜式写出切线方程．

【详解】

因为，所以，所以在点处的切线方程为，即．

故答案为：

【点睛】

本题主要考查导数几何意义的应用，解题关键是“在某点”和“过某点”的区分，“在某点”该点一定是切点，“过某点”该点不一定是切点．

15．

【分析】

先求得导函数，由函数在R上是减函数可得一元二次不等式；由一元二次不等式恒成立问题，即可求得a的取值范围.

【详解】

函数在R上是减函数，

则

当时，在上不能恒成立，所以不成立；

当时，在上恒成立，

需，解得

即a的取值范围为

故答案为：.

【点睛】

本题考查了导函数与函数单调性关系，一元二次不等式恒成立问题的解法，属于基础题.

16．

【分析】

等价于与的图像在区间上有唯一一个公共点，再画出的图象分析得解.

【详解】

由题意可知，在区间上只有一个根，

等同于在区间上只有一个根，

等价于与的图像在区间上有唯一一个公共点，

由得，则得，

当时，，则在上单调递减，

当时，，则在上单调递减，

∴在区间内，当时取极小值也是最小值，∴当，

又，，且，

∴作的图像如图，

则满足条件的的取值范围是.

【点睛】

方法点睛：函数的零点问题的处理常用的方法有：（1）方程法（解方程即得解）；（2）图象法（直接画出函数的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令得到，再分析的图象得解）.要根据具体的情景选择合适的方法求解.

17．点在圆外

【解析】

试题分析：先根据将点的极坐标化为直角坐标为，圆的极坐标方程化为直角坐标方程为，再根据点A到圆心距离得点在圆外．

试题解析：解：点的直角坐标为，

圆的直角坐标方程为，

则点到圆心的距离，

所以点在圆外．

考点：极坐标方程化为直角坐标方程

18．（1）；（2）.

【解析】

分析：（1）先求出，再代入方程即得的值；再求，最后利用残差定义求m,n.(2)直接利用相关指数公式求相关指数，并指出亩产量的变化多大程度上是由浇灌海水浓度引起的.

详解：（1）因为,

,

所以，即,

所以线性回归方程为,

所以,

.

（2）,

所以相关指数,

故亩产量的变化有是由海水浓度引起的.

点睛：（1）本题主要考查回归方程的性质和残差，考查相关指数，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2) 称为样本点的中心，回归直线过样本点的中心.

19．（1）见解析（2）没有的把握

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由茎叶图可得到16名男消费者的中位数，同理可求出女消费者评分的平均值，根据所给的数据可得列联表；（Ⅱ）根据列联表求出, ，所以没有的把握认为消费者对该款手机的“满意度”与性别有关.

试题解析：

（Ⅰ）茎叶图如图.

由图可知男消费者评分的中位数是45.5。

（Ⅱ）列联表如图， ，所以没有的把握认为消费者对该款手机的“满意度”与性别有关.

点睛：本题考查了古典概型，列联表，独立性检验的方法等知识，考查了学生处理数据和运算求解的能力.

20．（1），；（2）最小值，.

【分析】

（1）的极坐标方程转化为，由，，能求出的普通方程；C的参数方程消去参数θ，能求出C的普通方程．

（2）在C上取点，利用点到直线的距离公式求出，由此能求出结果．

【详解】

（1）由，及．

∴l的方程为．

由，消去得．

（2）在C上取点，则．

其中，当时，d取最小值，此时．

【点睛】

方法点睛：该题考查参数方程向普通方程转化，极坐标方程向平面直角坐标方程的转化，考查点到直线的最小距离的求法，解题方法如下：

（1）利用正余弦平方关系消参，将参数方程化为普通方程，利用极坐标

（2）利用参数方程设出点的坐标，利用点到直线的距离公式，结合辅助角公式求得最值，得到结果.

21．(1)众数150，平均数153；(2) ；(3) 0.9.

【分析】

（1）根据频率最大一组的中点值即为众数，即可需求量的众数；再计算出每一组的频率，根据每组的中点值乘以该组频率，即可求出平均数；

（2）分和两种情况，即可求出关系式；

（3）由（2）的结果，解不等式，求出范围，再根据（1）中计算的频率，即可求出结果.

【详解】

（1）由频率分布直方图得：最大需求量为150盒的频率为．

这个开学季内市场需求量x的众数估计值是150．

需求量为[100，120）的频率为，

需求量为[120，140）的频率为，

需求量为[140，160）的频率为，

需求量为[160，180）的频率为，

需求量为[180，200]的频率为．

则平均数

（2）因为每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元，

所以当时，，

当时，，

所以（）．

（3）因为利润不少于4800元，所以，解得．

所以由（1）知利润不少于4800元的概率．

【点睛】

本题主要考查由频率分布直方图求众数与平均数，以及函数模型的应用，会分析频率分布直方图即可，属于常考题型.

22．（1）答案见解析；（2）答案见解析.

【分析】

（1）求得函数的定义域与导数，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间；

（2）求得函数的导数，分、、三种情况讨论，利用导数分析函数在区间上的单调性，由此可得出函数在区间上的最小值.

【详解】

（1），则.

当时，当时，，函数单调递增；

当时，当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减.

综上所述，当时，函数的单调递增区间为；

当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；

（2），，

.

①当时，对任意的，，函数单调递增，

所以，函数在上的最小值为；

②若，对任意的，，函数单调递减，

所以，函数在上的最小值为；

③若时，当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

又因为，，

.

（i）当时，即当时，，

此时，函数在区间上的最小值为；

（ii）当时，即当时，.

此时，函数在区间上的最小值为.

综上所述，.