2022眉山彭山区高二上学期入学考试数学试题含答案

彭山一中23届高二入学考试

数学试题

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）. 

1．过点P（1，﹣1）且平行于l：x﹣2y+1＝0的直线方程为（　　）

A．x+2y+1＝0 B．2x+y﹣1＝0 C．x﹣2y﹣3＝0 D．2x﹣y+3＝0

2．若a＞b，则一定有（　　）

A． B．|a|＞|b| C． D．a3＞b3

3．在等差数列{an}中，若a4＝5，则数列{an}的前7项和S7＝（　　）

A．15 B．20 C．35 D．45

4．不论m为何值，直线（m﹣2）x﹣y+3m+2＝0恒过定点（　　）

A．（3，8） B．（8，3） C．（﹣3，8） D．（﹣8，3）

5．若实数x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最小值是（　　）

A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0

6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2＝（a﹣b）2+8，C＝，则△ABC的面积为（　　）

A． B．2 C．3 D．4

7．已知实数a＞0，b＞0，是4a与2b的等比中项，则的最小值是（　　）

A． B． C．8 D．4

8．在△ABC中，已知a＝2bcosC，且sin2A＝sin2B+sin2C，则△ABC的形状是（　　）

A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 

C．直角三角形 D．等边三角形

9．某药店有一架不准确的天平（其两臂不等）和一个10克的砝码．一名患者想要20克中药，售货员将砝码放在左盘中，将药物放在右盘中，待平衡后交给患者；然后又将药物放在左盘中，将砝码放在右盘中，待平衡后再交给患者．设两次称量后患者实际得到药物为m克，则下列结论正确的是（　　）

A．m＞20 B．m＜20 C．m＝20 D．以上都可能

10．已知数列{an}满足an+1＝，a1＝1，数列{bn}满足b1＝1，bn﹣bn﹣1＝（n≥2），则b8＝（　　）

A．64 B．81 C．80 D．82

11．在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边，＝且，若点O是△ABC外一点，OA＝2，OB＝1．则平面四边形OACB的面积的最大值是（　　）

A． B． C．3 D．

12．直线l：2kx﹣2y﹣3k+1＝0分别与直线l1：x+2y﹣5＝0和l2：2x﹣y﹣5＝0交于A，B两点，l1与l2交于点P，O为坐标原点，当O到l的距离最大时，＝（　　）

A．1 B．﹣1 C．2 D．0

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．已知平面向量＝（2，5），＝（10，x），若⊥，则x＝　   　．

14．设a＞0，b＞0，且5ab+b2＝1，则a+b的最小值为　              　．

15．已知A（1，12），B（3，4），过点C（﹣1，0）且斜率为k的直线l1与线段AB相交，点D（0，1）到直线l2：3x+4y+k＝0的距离为d，则实数d的取值范围是 　      　．

16．已知正项等比数列{an}中，a4﹣a2＝6，a5﹣a1＝15，则an＝　     　，又数列{bn}满足；若Sn为数列{an+1bn}的前n项和，那么S3n＝　     　．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、推演步骤．）

17．（10）已知关于x的不等式2kx2+kx﹣＜0，k≠0．

（1）若k＝，求不等式的解集；

（2）若不等式的解集为R，求k的取值范围．

18．（12）已知||＝2，||＝3，（2﹣3）•（2+）＝﹣7．

（1）若﹣与3+k垂直，求k的值；

（2）求与+夹角的余弦值．

19．（12）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asinBcosC+csinBcosA＝b，且a＞b．

（1）求角B的值；

（2）若A＝，且△ABC的面积为4，求BC边上的中线AM的长．

20．（12）已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是正项等比数列、且a1＝b1＝1，a3+b2＝8，a5＝b3．

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

（2）若cn＝anbn（n∈N*），求数列{cn}的前n项和Tn．

21．（12）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2＝（b2+c2﹣a2）（1﹣tanA）．

（1）求角C；

（2）若，D为BC中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度．

条件①：△ABC的面积S＝4且B＞A；

条件②：．

22．（12）设函数f（x）＝1+ln，设a1＝1，．

（1）求数列{an}的通项公式．

（2）若b1＝，bn＝，数列{bn}的前n项和为Sn，若Sn＜λ（an+1+1）对一切n∈N*成立，求λ的取值范围．

参考答案

CDCCB   BCBAA  AD    13.﹣4   14.   15.[1，2]   16.2n﹣1；

17.解：（1）因为，关于x的不等化为，即2x2+x﹣3＜0，解集为，

（2）∵关于x的不等式的解集为R．∴分情况讨论，

当2k＝0，即k＝0时，原不等式为，恒成立，

当2k≠0，即k≠0时，，解得﹣3＜k＜0，

综上，故k的取值范围为（﹣3，0]．

18.解：（1）因为，，

所以＝＝16﹣4﹣27＝﹣7，

所以＝﹣1，

因为﹣与3+k垂直，所以，

即，所以12﹣k+3﹣9k＝0，即．故k的值为．

（2）＝，

设向量与的夹角为θ，

则cosθ＝，

所以向量与的夹角的余弦值为．

19.解：（1）因为asinBcosC+csinBcosA＝b，

由正弦定理得sinAsinBcosC+sinCsinBcosA＝sinB，整理得sinAcosC+sinCcosA＝，

即sin（A+C）＝，得sinB＝．又a＞b，所以0，可得B＝．

（2）由（1）知B＝，若A＝，

则S△ABC＝absinC＝＝4，所以a＝4，a＝﹣4（舍）．

又在△AMC中，AM2＝AC2+MC2﹣2AC•MCcos，

所以AM2＝AC2+（AC）2﹣2AC•ACcos＝42+22﹣2×＝28，

所以AM＝2．

20.解：（1）设等差数列{an}的公差为d，正项等比数列{bn}的公比为q，q＞0，

由a1＝b1＝1，a3+b2＝8，a5＝b3，可得1+2d+q＝8，1+4d＝q2，

解得d＝2，q＝3，则an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，bn＝3n﹣1；

（2）cn＝anbn＝（2n﹣1）•3n﹣1，

Tn＝1•30+3•31+5•32+...+（2n﹣1）•3n﹣1，

3Tn＝1•3+3•32+5•33+...+（2n﹣1）•3n，

两式相减可得﹣2Tn＝1+2（31+32+...+3n﹣1）﹣（2n﹣1）•3n

＝1+2•﹣（2n﹣1）•3n，化简可得Tn＝1+（n﹣1）•3n．

21.解：（1）2b2＝（b2+c2﹣a2）（1﹣tanA）．∴2b2＝2bccosA•（1﹣tanA）．∴b＝c（cosA﹣sinA），

由正弦定理可得：sinB＝sinC（cosA﹣sinA），∴sin（A+C）＝sinCcosA﹣sinCsinA，

∴sinAcosC＝﹣sinCsinA≠0，∴tanC＝﹣1，解得C＝．

（2）选择条件②，cosB＝，∴sinB＝．

∵sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC＝，由正弦定理可得：a＝＝2．

在△ABD中，由余弦定理可得：AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BDcosB，解得AD＝．

22.解：（1）f（x）＝1+ln，则f（x）+f（1﹣x）＝1+ln+1+ln＝2+ln1＝2，

当n≥2时，an＝f（）+f（）+...+f（），①

an＝f（）+f（）+...+f（），②

①+②可得2an＝[f（）+f（）]+[f（）+f（）]+...+[f（）+f（）]

＝2+2+...＝2＝2（n﹣1），

即an＝n﹣1，所以an＝；

（2）b1＝，当n≥2时，bn＝＝﹣，

当n≥2时，Sn＝+﹣+﹣+...+﹣＝1﹣＝，

上式对n＝1时，也成立，

所以Sn＜λ（an+1+1）即为＜λ（n+1），

即为λ＞＝，

由n+的最小值为2，当且仅当n＝1时取得等号．所以λ＞．