2021-2022学年四川省仁寿第一中学南校区高二上学期入学考试数学试题含答案

四川省仁寿第一中学南校区2021-2022学年高二上学期入学考试数学试题

一、选择题：本大题共12小题，每个小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1、如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，且，斜边，则这个平面图形的面积是（    ）

A．       B．        C．      D．

2.已知A＝{x|≤0}，B＝{x|x2＋4x＋3>0}，则A∪B＝（  ）

A.(－1，0]                       B.(－1，0)  

 C.(－∞，－3)∪(－1，＋∞)        D.(－∞，－3)∪(－2，＋∞)

3.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2b，sinA＝，则sinB的值为（    ）

A.         B.          C.         D.

4.已知a，b为不共线向量，且＝2a＋b，＝－a＋4b，＝3(a－b)，则（   ）

A.A、B、C三点共线            B.A、B、D三点共线

C.B、C、D三点共线            D.A、C、D三点共线

5、设表示不同直线，表示不同平面，则下列结论中正确的是（   ）

A．，则

B．是两条异面直线，若则

C．若，则

D．若则

6．圆的半径是(　　)

A．1                B．2               C．               D．

7．下图是由哪个平面图形旋转得到的（   ）

8.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）

 A．2         

B. 1    

C．     

D．

9．中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“二百五十二里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人走252里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，则最后一天走了（）

A．4里 B．16里 C．64里 D．128里

10．已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S．若asin＝bsinA，2S＝，则△ABC的形状是（　　）

A．等腰三角形 B．直角三角形 

C．正三角形 D．等腰直角三角形

11.设圆C:,若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦,则线段PC长度的最大值为(　　) 

A.4 B.      C.     D.

12．在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边，＝且，若点O是△ABC外一点，OA＝2，OB＝1．则平面四边形OACB的面积的最大值是（　　）

A． B． C．3 D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13、已知点在圆外，则实数的取值范围为___．

14、的内角所对的边分别为，若，则____

15、设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为_______

16、已知等差数列的公差，前项和为，等比数列是公比为的正整数，前项和为，若，且是正整数，则=_______

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17、已知函数，，．

（1）若关于的不等式的解集为，求实数，的值；

（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围

18、在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2＝（b2+c2﹣a2）（1﹣tanA）．

（1）求角C；

（2）若，D为BC中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度．

条件①：△ABC的面积S＝4且B＞A；

条件②：．

19、已知是数列的前项和，.

（1）求的通项公式；

（2）若，求数列前项和.

20．实数x，y滿足x2+y2+2x﹣4y+1=0，

求（1）的最大值和最小值；（2）2x+y的最大值和最小值。

21.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，E，F分别是PB，AC的中点．

（1）证明：EF∥平面PCD；

（2）求三棱锥E－ABF的体积．

22.已知数列满足，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和；

（3）设，记数列的前项和为，证明：．

答案

1-12 DDCBB  DABAC  AA

13.

14.

15. 4

16.

17．解：（1）的解集为，

，是方程的两个根；

；；，．------5分

（2）在上有解；

在上有解；；

，；--------8分

（当且仅当时取“”），，

．-----10分

18.解：（1）2b2＝（b2+c2﹣a2）（1﹣tanA）．∴2b2＝2bccosA•（1﹣tanA）．

∴b＝c（cosA﹣sinA），--------2分

由正弦定理可得：sinB＝sinC（cosA﹣sinA），∴sin（A+C）＝sinCcosA﹣sinCsinA，

∴sinAcosC＝﹣sinCsinA≠0，∴tanC＝﹣1，解得C＝．--------6分

（2）选择条件②，cosB＝，∴sinB＝．--------8分

∵sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC＝，由正弦定理可得：a＝＝2．--------10分

在△ABD中，由余弦定理可得：AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BDcosB，

解得AD＝．--------12分

19.解：（1）在中，令得，，即，.-------2分

当时，，

，即，.--------4分

是以为首项，以为公比的等比数列，所以，，即.--------6分

（2），，，--------8分

，--------10分

，

，

.--------12分

或，或.

20.（1） 表示圆上的点（x，y）与点A（4，0）连线的斜率，

设圆的切线斜率为k，圆的切线方程为 y﹣0=k（x﹣4），

即 kx﹣y﹣4k=0，由 2=，k=0 或﹣20，

结合图形知， 的最大值为0，最小值为﹣20．--------6分

（2） 令 2x+y=t，t表示过圆上的点且斜率等于﹣2的直线在y轴上的截距，

当直线2x+y=t和圆相切时，有 2=，∴t=±2，--------10分

故 2x+y的最大值为 2，最小值为﹣2．--------12分

21.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，F是AC的中点，

∴B，F，D三点共线，且F是BD的中点，

又E是PB的中点，∴EF∥PD，    

又EF⊄平面PCD，PD ⊂平面PCD，

∴EF∥平面PCD．             --------6分

（2）解：∵PA⊥平面ABCD，E是PB的中点，

∴E到平面ABCD的距离为PA＝1，--------8分

∵四边形ABCD是正方形，AD＝2，∴S△ABF＝S正方形ABCD＝1，--------10分

三棱锥E﹣ABF的体积为：VE﹣ABF＝＝．--------12分

22． 解：（1），

，

为等比数列，

设公比为，，，

，

，--------2分

．--------4分

（2）

①

②

②①得：--------6分

.--------8分

（3）①先证右边：，

，

，

．

．--------10分

②再证左边：

当时，，成立．

当时，设恒成立，

则，

，

．

当时，

．

．--------12分