2021河北省正定中学高二上学期期末考试数学试题含答案

河北正定中学高二年级期末试卷

数学

（考试时间：120分钟　分值：150分）

注意事项：

1.答题时，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色黑色签字笔把答案写在答题卡规定的位置上。答案如需改正，请先划掉原来的答案，再写上新答案，不准使用涂改液、胶带纸、修正带。

4.考试结束后，只将答题卡交回。

一、单选题（每小题5分，共40分）

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

2．已知函数，则函数的图象在处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

3．从一个装有2个白球，3个黄球和1个黑球的袋中随机抽取两个球，则没有抽到黑球的概率为（    ）

A． B． C． D．

4．若的展开式中的系数为，则（   ）

A． B． C． D．

5．已知点是曲线上任意一点，则的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

6．已知两个向量，则的最大值是（  ）

A． B． C． D．

7．定义在上的偶函数满足，且当时，，函数是定义在上的奇函数，当时，，则方程的解的个数是（    ）

A．9 B．10 C．11 D．12

8．设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为

A． B． C． D．

二、多选题（每小题5分，共20分，部分得分3分）

9．下列判断不正确的是（    ）

A．函数在定义域内是减函数

B．奇函数，则一定有

C．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是

D．已知在上是增函数，则的取值范围是

10．若数列的前项和是，且，数列满足，则下列选项正确的为（    ）

A．数列是等差数列 B．

C．数列的前项和为 D．数列的前项和为，则

11．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，则下列结论中正确的是（ ）

A．异面直线､所成角为定值

B．

C．的面积与的面积相等

D．三棱锥的体积为定值

12．已知函数若函数恰有3个零点，则的值可能为（    ）

A． B． C． D．2

三、填空题（每小题5分，共20分）

13．已知随机变量服从正态分布且，则_____________

14．以下四个关于圆锥曲线的命题中：

①设为两个定点，为非零常数，若,则动点的轨迹是双曲线；

②方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

③双曲线与椭圆有相同的焦点；

④已知抛物线，以过焦点的一条弦为直径作圆，则此圆与准线相切，其中真命题为__________．（写出所有真命题的序号）

15．下列4个命题：

①为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔为40；

②四边形为长方形，，，为中点，在长方形内随机取一点，取得的点到的距离大于1的概率为；

③把函数的图象向右平移个单位，可得到的图象；

④已知回归直线的斜率的估计值为，样本点的中心为，则回归直线方程为.

其中正确的命题有__________．(填上所有正确命题的编号)

16．已知圆的圆心是抛物线的焦点，过点的直线交该抛物线的准线于点，与该抛物线的一个交点为，且，则__________.

三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分10分）已知是公差不为0的等差数列，若是等比数列的连续三项．

（1）求数列的公比；

（2）若，数列的前和为且，求的最小值．

18．（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，平面点为线段的中点.

（1）求证:平面平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

19.（本小题满分12分）如图，锐角外接圆的半径为，点在边的延长线上，，，的面积为.

（1）求；

（2）求的长.

20．（本小题满分12分）为了解某市2021届高三学生备考情况，教研所计划在2020年11月、2021年1月和2021年4月分别进行三次质量检测考试，第一次质量检测考试（一检）结束后，教研所分析数据，将其中所有参加考试的理科生成绩数据绘制成了扇形统计图，分数在之间的理科学生成绩绘制成频率分布直方图，已知参加考试的理科生有12000人.

（1）如果按照上届高三理科生60%的二本率来估计一检的模拟二本线，请问一检考试的模拟二本线应该是多少；

（2）若甲同学每次质量检测考试，物理、化学、生物及格的概率分别为，，，请问甲同学参加三次质量检测考试，物理、化学、生物三科中至少2科及格的次数分布列及期望.

21.（本小题满分12分）已知函数，．

（1）若在处取得极值，且满足函数有三个零点，求的取值范围；

（2）若，对任意，恒成立，求实数的取值范围.

22.（本小题满分12分）已知椭圆的左右焦点分别为，，且椭圆C上的点M满足，.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）点是椭圆的上顶点，点在椭圆C上，若直线，的斜率分别为，满足，求面积的最大值.

参考答案

1．B   2．C    3．D    4．D   5．B   6．C    7．C     8．B

9．AB    10．BD    11．BD   12．BC

13．0.76      14．②③④     15．③④    16．

17.【解析】（1）设等差数列的公差为，由是等比数列的连续三项，得，即，化简得．

．

设数列的公比的公比为，则． ........5分

（2）若，则，

．

由，得，故的最小值为1011．........10分

18．【解析】（1）因为四边形是菱形，所以

因为平面平面所以

又因为所以平面

因为平面所以平面平面.................................6分

（2）设因为平面为的中点，为的中点，

所以平面.

分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示

由条件可知四边形是正方形，

则，

所以，

设平面的法向量为，

则，即，

取得平面的一个法向量为，

易得平面的一个法向量为，

设二面角为，由已知可得，

所以

即二面角的余弦值为.................................................12分

19.【解析】（1）由正弦定理可得，所以，

又因为为锐角三角形，所以.

因为，所以，，

；....................................6分

（2）为锐角，则为钝角，

由（1）知，从而.

因为的面积为，所以，解得.

由，得.....................12分

20．【解析】（1）分以上的频率为：，

要达到60%的二本率，所以，之间频率为：

因为的频率总和为

所以模拟二本线应在之间，设为

则解得：；............................5分

（2）至少2科及格的概率

，，，1，2，3

.........................................................12分

21.【解析】（1），

由已知得，得，，............................1分

，

令，

得或，

由得或，此时为增函数，

由得，此时为减函数，

即当时，函数取得极大值，当时，取得极小值，

即，，....................................4分

所以函数有三个不同零点，

因此，只需，即，解得，

的范围是．........................................................6分

（2），，

对任意，，即，

变形得，，

令，，则，

，所以，

所以在上单调递增，从而，

故. ...........................................................................................12分

22.【解析】（1）依题意得：，.

由椭圆定义知，

又，则，

在中，，由余弦定理得：

即，解得

又

故所求椭圆方程为................................................4分

（2）设，直线

联立方程组，得，

，得，

，，................................................6分

，

由题意知，由，，代入化简得

，

解得，故直线过定点，................................................9分

由，解得，

，

令，则，当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值为.  ................................................12分