河北省高碑店一中2020-2021学年高二上学期期末考试（普通班）数学试卷（含答案）

高碑店一中2020～2021学年度高二年级期末考试数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从高中生中抽取70人，则为（   ）

A.100               B.150                C.200              D.250

2.若复数z满足z(1＋i)＝2，则|z|＝(    )

A.1－i     B.     C.1＋i     D.2

3.已知命题：，：，则是的（   ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4.若直线x－y＋m＝0被圆(x－1)2＋y2＝5截得的弦长为2，则m的值为(　　)

A．1   B．－3      C．1或－3   D．2

5.右图是一个正方体的展开图，则在该正方体中(     )

A.直线AB与直线CD平行        B.直线AB与直线CD相交

C.直线AB与直线CD异面垂直    D.直线AB与直线CD异面且所成的角为60°

6. 从3个红球、2个白球中随机取出2个球,则取出的2个球不全是红球的概率是(　)

A.                 B.              C.           D.

7. 某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出m与销售额（单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：

经测算，年广告支出m与年销售额满足线性回归方程，

则的值为(　)                   

A．45    B．50    C．55    D．60

8. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（  ）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9. 设z1，z2是复数，则下列命题中正确的是(　　)

A．若|z1－z2|＝0，则1＝2   B．若z1＝2，则1＝z2

C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2  D．若|z1|＝|z2|，则z＝z

10. .函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论正确的是(　　)

A．在(1,2)上函数f(x)为增函数     B．在(3,5)上函数f(x)为增函数

C．在(1,3)上函数f(x)有极大值   D．x＝3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点

11.已知双曲线C的方程为，则下列说法正确的是（    ）

A. 双曲线C的实轴长为8 

B. 双曲线C的渐近线方程为

C. 双曲线C的焦点到渐近线的距离为3 

D. 双曲线C上的点到焦点距离的最小值为

12. 如图所示,在正方体中,,分别为棱,的中点,有以下四个结论:(     )

A直线与是相交直线； B直线与是平行直线；

C直线与是异面直线； D直线与所成的角为.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 命题“”的否定是_______．

 14.  函数的最大值为_________。

 15.已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为F，，点Q在抛物线上，则的最小值为___________。

16.已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是           。

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分) 某市教育局为了了解高三学生体育达标情况,在某学校的高三学生体育达标成绩中随机抽取50个进行调研,按成绩分组:第1组[75,80),第2组[80,85),第3组[85,90),第4组[90,95),第5组[95,100]得到的频率分布直方图如图所示,若要在成绩较高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进行复查.

(1)已知学生甲和学生乙的成绩均在第5组,求学生甲或学生乙被选中复查的概率;

(2)在已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生接受篮球项目的考核,求其中一人在第3组,另一人在第4组的概率.

18.(12分) 已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，点A(3，5)．

(1)求过点A的圆的切线方程；

(2)O点是坐标原点，连接OA，OC，求△AOC的面积S.

19.(12分) 某市房地产数据研究所的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，3月至7月房价上涨过快，政府从8月采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制.

（1）地产数据研究所发现，3月至7月的各月均价（万元/平方米）与月份之间具有较强的线性相关关系，试求关于的回归直线方程；

（2）若政府不调控，按照3月份至7月份房价的变化趋势预测12月份该市新建住宅的销售均价.

参考数据：参考公式：.

20.(12分) 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，，，点E、F分别为CA1与AB的中点.

（1）证明：平面；

（2）求与平面所成角的正弦值.

21.(12分) 已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.

(Ⅰ)求的方程；

（Ⅱ）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程

22.(12分) 设,函数.

(1) 若，求曲线在处的切线方程；

(2)求函数单调区间

(3) 若有两个零点,求证: .

高碑店一中2020～2021学年度高二年级期末考试数学

1A.  2.B  3A.  4.C  5.D  6.B  7.D

8. C。详解设点A关于直线的对称点，

的中点为，，故，解得，

要使从点A到军营总路程最短，即为点到军营最短的距离，

“将军饮马”的最短总路程为，故选C．

9.ABC   10.AC   11.ABC   12.CD

13. .

14.易知函数的定义域为．由题，得，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时函数取得最大值，即．

15.抛物线的焦点为在抛物线内部，

抛物线的准线方程为.

过作垂直抛物线的准线，垂足为，则与抛物线的交点为时，的值最小.根据抛物线的几何性质有,此时..

16.当时，

当时，；当时，

在上单调递增；在上单调递减

时，

由此可得图象如下图所示：

若函数有个零点，则与有个交点由图象可知：当时，与有个交点,

17.解:(1)设“学生甲或学生乙被选中复查”为事件A,

第3组人数为50×0.06×5=15,第4组人数为50×0.04×5=10,第5组人数为50×0.02×5=5,根据分层抽样知,第3组应抽取3人,第4组应抽取2人,第5组应抽取1人,

所以P(A)=.

(2)记第3组选中的三人分别是A1,A2,A3,第4组选中的二人分别为B1,B2,第5组选中的人为C,从这六人中选出两人,共15个基本事件,符合一人在第3组,另一人在第4组的基本事件有,共6个,所以所求概率P==.

18解：

(2)直线OA的方程为y＝x，即5x－3y＝0，点C到直线OA的距离为

d＝＝，又|OA|＝＝，

所以S＝|OA|d＝.

19.（1）

计算可得，，，

所以，，

所以关于的回归直线方程为.

（2）将代入回归直线方程得，

所以预测12月份该市新建住宅的销售均价约为1.52万元/平方米.

20．（1）如图，连接、，

因为三棱柱为直三棱柱，所以为的中点.

又因为为的中点，所以.

又平面，平面，所以平面；

（2）以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则、、、，

所以，，，

设平面的法向量为，则，

令，得，

记与平面所成角为，则.

21.(Ⅰ) 设，由条件知，得，又，所以a=2， ,故的方程.

（Ⅱ）依题意当轴不合题意，故设直线l：，设

 将代入，得，

当，即时，

从而，又点O到直线PQ的距离，所以OPQ的面积 ，设，则，，

当且仅当，等号成立，且满足，

所以当OPQ的面积最大时，的方程为：或.

22.在区间上,.

（1）当时，则切线方程为，即

（2）若,则,是区间上的增函数,

若,令得: .

在区间上, ,函数是增函数;

在区间上, ,函数是减函数;

 (3)设

,

原不等式

令,则,于是.（9分）

设函数 ,

求导得:

故函数是上的增函数,

即不等式成立,故所证不等式成立.