2021楚雄师范学院附中高二上学期期中考试数学试题含答案

楚雄师范学院附属高中2020-2021学年高二上学期期中考试

数学试卷

出题人：   考试时间:120分钟     总分：150分

注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上.

一、选择题（每小题5分，共60分）

1.设集合,则(       )

A. B. C. D.

2.直线的斜率是(       )

A． B． C． D．2

3.圆的圆心坐标和半径分别为(       )

A. 和       B. 和      C. 和      D. 和

4.已知向量，且，则(       )

A.-8 B.-6 C. 6 D. 8

5.下图为一个四棱锥的三视图，其体积为(       )

A．　　 　 B．　     　　C．4　　　　   D．8

(第5题图)                                 (第6题图)

6.如图，点是正方体的棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是(       )

A.  B.  C.  D.

7.圆的圆心到直线的距离为(       )

A. 1 B. 2 C.  D.

8.已知两条平行直线和之间的距离等于2，则实数a的值为(       )

A．-1        B．4       C．4或-16       D．-16

9.已知圆截直线所得线段的长度是，则圆M与圆 的位置关系是(       )

A.内切　　 B.相交　　 C.外切　　 D.相离

10.在棱长为1的正方体中，是线段（含端点）上的一动点，则

①；②面；③三棱锥的体积不是定值；④与所成的最大角为．上述命题中正确的个数是(       )

A．1            B．2            C．3     D．4

11.设点,直线过点且与线段相交,则l的斜率k的取值范围是(       )

A. 或 B.  C.  D.以上都不对

12.已知点,直线将分割为面积相等的两部分,则的取值范围是(       )

A.            B.          

C.           D.

二、填空题（每小题5分，共20分）

13.已知空间两点,则、两点间的距离是             ．

14.经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为             ．

15.已知顶点的坐标为，则其外接圆的标准方程为             ．

16.如图,半径为的球中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面积之差是             ．
 

三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分）

17.已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)．

(1).求BC边所在的直线方程；

(2).求BC边上的高所在直线方程．

18.已知两直线,

(1).求直线与交点P的坐标；

(2).设,求过点P且与距离相等的直线方程．

19.如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，过点的三条棱两两垂直且相等，分别是的中点．

(1).证明：平面；

(2).求与平面所成角的大小．

20.直线与坐标轴的交点是圆一条直径的两端点．

(1).求圆的方程；

(2).圆的弦长度为且过点,求弦所在直线的方．

21.已知圆上的一定点,点为圆内一点,为圆上的动点.

(1)求线段中点的轨迹方程；

(2)若,求线段中点的轨迹方程.

22.如图,在三棱锥中, ,为线段的中点,将折叠至,使得交于的中点．

1.求证:平面平面；

2.求三棱锥的体积．

高二数学试卷答案

一、选择题

1.设集合,则(   )

A. B. C. D.

解析：集合,.故选B.

2.直线的斜率是(   )

A． B． C． D．2

解析：直线可化为它的斜率是.选B

3.圆的圆心坐标和半径分别为(   )

A. 和      B. 和      C. 和    D. 和

解析：可化为,

由圆心为,半径,

易知圆心的坐标为,半径为.答案：C

4.已知向量，且，则(    )

A.-8 B.-6 C. 6 D. 8

解析：因为向量，所以，又，所以,解得，故选 D.

5.下图为一个四棱锥的三视图，其体积为(   )

A．　　　　  B．　　　　 C．4　　　　   D．8

解析：在棱长为2的正方体中还原该几何体，由几何体的三视图可知，该几何体为四棱锥，如图所示，

正方形的面积所以故选：B

6.如图，点是正方体的棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是(   )

A.  B.  C.  D.

.答案：A

7.圆的圆心到直线的距离为(   )

A. 1 B. 2 C.  D.

解析：由题意知圆心坐标为,

则圆心到直线的距离为故选C.

8.已知两条平行直线和之间的距离等于2，则实数a的值为（   ）

A．-1        B．4       C．4或-16       D．-16

解析：由已知可得：，解得答案：C

9.已知圆截直线所得线段的长度是，则圆M与圆 的位置关系是（　　）

A.内切　　 B.相交　　 C.外切　　 D.相离

解析：由题知圆，圆心到直线的距离，所以2 ，解得.圆M，圆N的圆心距，两圆半径之差为1，故两圆相交.选B

10.在棱长为1的正方体中，是线段（含端点）上的一动点，则

①；②面；③三棱锥的体积不是定值；④与所成的最大角为．上述命题中正确的个数是(   )

A．1 B．2 C．3 D．4

解析：①利用平面,可得，正确；

②利用平面面,可得面，正确；

③三棱锥的体积=三棱锥的体积,底面为定值,E到平面的距离为定值,∴三棱锥的体积为定值，正确；

④在处与所成的最大角为，正确。故选D.

11.设点,直线过点且与线段相交,则l的斜率k的取值范围是(   )

A. 或 B.  C.  D.以上都不对

解析：建立如图所示的直角坐标系.

由图可得或.因为,所以或.选A

12.已知点,直线将分割为面积相等的两部分,则的取值范围是(   )

A.       B.        C.          D.

解析：由题意可得,三角形的面积为,

由于直线与轴的交点为,由题意知可得点在射线上.

设直线和的交点为,则由,可得点的坐标为,

若点和点重合,则点为线段的中点,则,且,解得,

若点在点和点之间,则点在点和点之间,由题意可得三角形的面积等于,即,即,解得,故

若点在点的左侧,则,设直线和得交点为,则由求得点的坐标为,此时, ,此时,点到直线的距离等于,由题意可得,三角形的面积等于,即,化简可得,由于此时,

∴

两边开方可得,则,综合以上可得的取值范围是,答案选C

二、填空题

13.已知空间两点,则、两点间的距离是__________.答案：6

14.经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为___________.  

15.已知顶点的坐标为，则其外接圆的标准方程为 _________ .

解析：设圆的方程为，把的顶点坐标

代入可得.解得，

故所求的的外接圆的方程为，

16.如图,半径为的球中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面积之差是__________.
 

解析：设圆柱的底面半径为,高为,则,所以,
所以圆柱的侧面积.
当.即时, 取得最大值.
此时球的表面积与圆柱的侧面积之差为.答案：

三、解答题

17.已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)．

(1).求BC边所在的直线方程；

(2).求BC边上的高所在直线方程．

解：（1）由两点式得的方程为,即
（2）由得的高线方程的斜率,所以,即所求直线方程为

18.已知两直线,

(1).求直线与交点P的坐标；

(2).设,求过点P且与距离相等的直线方程.

解(1).由解得，∴点P的坐标为

(2).设过点且与距离相等的直线为l，则有以下两种情况：

①时，,不妨设直线l方程为：

∵直线l过点P,∴，得  ∴直线方程为： 

 即     （此题按点斜式解题亦可）  

②当l过线段中点时，不妨设线段中点为M，则由中点坐标公式得

∵，∴所求的直线方程为：，即

综上所述，所求直线方程为：或

19.如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，过点的三条棱两两垂直且相等，分别是的中点．

(1).证明：平面；(2).求与平面所成角的大小．

解(1).证明：如图，连接，则是的中点

又是的中点，，

∵不在平面内，∴平面。

(2).连接，是正方形，∴

又平面，∴。

∴平面，故是与平面所成的角，

，与平面所成的角的大小等于

，，

∴≌，因此

在中，，

∴与平面所成角的大小是

20.直线与坐标轴的交点是圆一条直径的两端点

（1）求圆的方程;

（2）圆的弦长度为且过点,求弦所在直线的方程

解析：（1）.令,则即令则即

圆心坐标为,直径

所以圆的方程为
（2）设直线方程为,即

因为,,所以圆心到直线的距离为

即解得或

所以直线方程为或.

21.已知圆上的一定点,点为圆内一点,为圆上的动点.

(1)求线段中点的轨迹方程；

(2)若,求线段中点的轨迹方程.

(1)设的中点为且,则点的坐标为.

因为点在圆上,

所以,

整理,得.

故线段中点的轨迹方程为,除去点.

(2)设的中点为.

在中,.

连接,则,

所以,

所以,即.

故线段中点的轨迹方程为.

22.如图,在三棱锥中, ,为线段的中点,将折叠至,使得交于的中点.

（1）求证:平面平面.

（2）求三棱锥的体积.

答案：（1）证明:在三棱锥中, ,所以平面,

∴平面平面,

∵是的中点,

∴,

∴平面.

又平面,

∴平面平面.
（2）∵  

∴

由已知, ∴

∴