2023太原师范学院附中高二上学期分班考试数学试题含解析

太原师院附中21级高二分班考试

数学试题

一､单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】解一元二次不等式求集合A，由函数定义域求集合B，最后应用集合交运算求结果.

【详解】由，

，

所以.

故选：C

2. 已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】用复数运算法则及复数几何意义求解即可.

【详解】解：复数，其在复平面内对应点的坐标为：，

故复数在复平面内对应的点位于第二象限.

故选：B.

3. “”是“向量，，则”的（ ）条件

A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要

【答案】A

【解析】

【分析】由于，即可判定

【详解】由题意，

因此“”是“向量，，则”的充分不必要条件

故选：A

4. 函数在区间的图象大致为（      ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】判断出函数奇偶性，再利用特殊值的正负得出选项．

【详解】设，

则，即在上是奇函数，排除B，D，

又，

故选：A

5. 已知、、是不重合的直线，、是不重合的平面，对于下列命题

①若，，则

②且，则

③且，则

④若、是异面直线，，，且，则

其中真命题的序号是（    ）

A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①③

【答案】B

【解析】

【分析】根据空间中线线、线面位置关系的性质定理与判定定理一一判断即可.

【详解】解：对于①若，，则与可能平行也可能异面，故①错误；

对于②，若，且，则或，故②错误；

对于③，若，且，则由线面垂直的判定定理得，故③正确；

对于④，若、是异面直线，，，且，

如图，因为，所以存在直线，且满足，又，所以

同理存在直线，且满足，又，所以，

因为、是异面直线，所以与相交，设，

又，所以，故④正确.

故选：B

6. 若事件A与B相互独立，P（A）＝，P（B）＝，则P（A∪B）＝（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据事件A与B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B），再由P（A∪B）＝P（A）+P（B）-P（AB）求解.

【详解】因为事件A与B相互独立，且P（A）＝，P（B）＝，

所以P（AB）＝P（A）P（B）＝，

所以P（A∪B）＝P（A）+P（B）-P（AB）=+-=

故选：C

【点睛】本题主要考查独立事件的概率以及并集事件的概率，属于基础题.

7. 八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2中的正八边形，其中，给出下列结论：

①与的夹角为；

②；

③；

④向量在向量上的投影向量为（其中是与同向的单位向量）.

其中正确结论的个数为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】利用正八边形的特征，结合向量的线性运算及投影向量的定义逐一分析各个命题即可求解.

【详解】对于①，因为八边形为正八边形，所以，

所以与的夹角为，①错误；

对于②，，显然不成立，②错误；

对于③，，所以，，所以，③正确；

对于④，，向量在向量上的投影向量为，④正确，

故选：B.

8. 已知函数，给出下列四个结论

①函数最小正周期是；

②函数在区间上是减函数；

③函数的图象关于直线对称；

④函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到.

其中正确结论的个数是（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】由题意知，，由此即可判断出答案.

【详解】，

①因为，则的最小正周期，结论错误.

②当时，，则在区间上是减函数，结论正确.

③因为为的最大值，则的图象关于直线对称，结论正确.

④设，则，结论错误，

故选：B.

9. 已知定义在上的函数在上单调递增，若，且函数为偶函数，则不等式的解集为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】分析可知函数的图象关于直线对称，可得出函数的单调性，分析的符号变化，由可得或，解之即可.

【详解】因为函数为偶函数，则，故函数的图象关于直线对称，

因为函数在上单调递增，故函数在上单调递减，

因为，则，

所以，由可得，由可得或，

解不等式，可得或，解得或，

故不等式的解集为.

故选：D.

10. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，若只有一解，则实数x的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D. 或

【答案】D

【解析】

【分析】画出三角形，数形结合分析临界条件再判断即可

【详解】如图， ，为正三角形，则点在射线上.易得当在时，只有一解，此时；当在或右边时只有一解，此时.故 或

故选：D

11. 已知四边形为正方形，平面，四边形与四边形都为正方形，连接，H为的中点，有下述四个结论：

①；②与所成角为；③平面；④与平面所成角为．其中所有正确结论的编号是（    ）

A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ②③④

【答案】B

【解析】

【分析】将原图补充为正方体，然后在正方体中对各个结论逐一判断即可.

【详解】

将原空间图形补形为正方体，如图．

连接，由正方体的几何特征可知，，所以．故①正确．

连接，因为，所以与所成角为，在正三角形中，，因此与所成的角为，故②正确．

连接，设，因为平面平面，所以．

因为平面，所以平面．

连接，因为平面，所以．同理，又，所以平面，故③正确．

连接，因为平面平面，则，所以即为与平面所成的角．

在直角三角形中，显然，所以与平面所成角不是，故④错误．综上可知①②③正确．

故选:B．

12. 已知函数，若方程有5个不同的实数解，则实数a的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】画出函数的大致图象，令，方程有5个不同的实数解，转化为根的分布问题，分情况讨论即可.

【详解】函数的大致图象如图所示，对于方程有5个不同的实数解，

令，则在，上各有一个实数解或的一个解为-1，另一个解在内或的一个解为-2，另一个解在内.

当在，上各有一个实数解时，设，则解得；

当的一个解为-1时，，此时方程的另一个解为-3，不在内，不满足题意；

当的一个解为-2时，，此时方程的另一个解为，在内，满足题意.

综上可知，实数a的取值范围为.

故选：D.

三､填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

13. 某单位共有职工人，其中高级职称人，中级职称人，初级职称人.现采用分层抽样方法从中抽取一个容量为的样本，则从高级职称中抽取的人数为___________.

【答案】

【解析】

【分析】利用分层抽样可计算得出从高级职称中抽取的人数.

【详解】设高级职称中抽取的人数为，则，解得.

故答案为：.

14. “鲅鱼公主”形象源于一个古老的传说，寓意深刻，美丽动人，象征和平，鲅鱼圈也因此得名， 享誉中外.“鮁鱼公主”雕塑作为渤海明珠景区的重要组成部分，东与望儿山翘首相望、北与鱼跃龙腾雕塑交相辉映，是山海文化、鱼龙文化相互交融的经典力作，是鲅鱼圈的标志性建筑.高中生李明与同学进行研究性学习，为确定“鲅鱼公主”雕塑的高MN，选择点A和附近一楼顶C作为测量观测点.从A点测得M点的仰角，C点的仰角从C点测得，已知楼高BC=40m，则“鲅鱼公主”雕塑的高MN=_____m

【答案】60

【解析】

【分析】由题意可知，解三角形ABC可求得AC，继而解三角形AMC求得AM，再解三角形AMN，即可求得答案.

【详解】由题意可知，

由于，故 ，

又因为， ，

所以,

,

又因为，故，

故答案为：60

15. 唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画､漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示.已知球的半径为R，酒杯内壁表面积为，设酒杯上部分（圆柱）的体积为，下部分（半球）的体积为，则___________.

【答案】##0.5

【解析】

【分析】根据给定的几何体，利用表面积求出圆柱的高，再借助体积公式计算作答.

【详解】设酒杯上部圆柱的高为h，依题意，，解得，

则，，

所以.

故答案为：

16. 设三棱柱的侧棱垂直于底面，，，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是___________.

【答案】

【解析】

【分析】直棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点，底面外接圆的半径、球的半径和直棱柱的高的一半构成直角三角形，由题意求出外接球的半径，可得答案．

【详解】由题意知底面外接圆的圆心为点，设外接圆的半径为，

三棱柱的外接球的半径为，

，，由余弦定理得，

由正弦定理得，

所以，过作垂直于底面的直线交中截面于点，则为外接球的球心，

由题意得：，所以外接球表面积，

故答案为：

四､解答题（本大题共5小题，共48分）

17. 计算下列各式的值：

（1）(2)0＋22·－；

（2）log23·(log32＋log92)＋()2＋ln－lg1.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用分数指数幂运算法则计算即得解；

（2）利用对数的运算法则计算即得解.

【小问1详解】

解：原式=.

【小问2详解】

解：原式=.

18. 第24届北京冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日由北京和张家口联合举办，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，它掀起了中国人民参与冬季运动的热潮.某比赛场馆为了顺利完成比赛任务，招募了100名志愿者，并分成医疗组和服务组，根据他们的年龄分布得到如图频率分布直方图.

（1）试估计100名志愿者的平均年龄及第75百分位数；

（2）已知医疗组40人，服务组60人，如果按分层抽样的方法从医疗组和服务组中共选取5人，再从这5人中选取3人组成综合组，求综合组中至少有1人来自医疗组的概率.

【答案】（1）平均年龄岁，第75百分位数为52.5   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据频率分布直方图中，所有小矩形面积和为1，可求得a值，根据频率分布直方图中平均数的求法，代数即可得平均值，根据百分位数的求法，可得答案.

（2）根据分层抽样，可得医疗组抽取2人，设为a，b，服务组抽取3人，设为A、B、C，列出综合组所有可能情况，选出满足题意的情况，代入概率公式，即可得答案.

【小问1详解】

由题意得，解得，

所以100名志愿者的平均年龄为岁，

因为，

，

所以第75百分位数位于[50,60）内，设第75百分位数为x，

则，解得，

所以第75百分位数为52.5

【小问2详解】

医疗组抽取人数为人，设为a，b，则服务组抽取5-2=3人，设为A、B、C，

5人中选取3人组成综合组，情况可能为

，共10种，

至少有1人来自医疗组的情况为，共9种，

所以综合组中至少有1人来自医疗组的概率

19. 已知锐角的内角所对的边分别是，在以下三个条件中任选一个：

①；②；③；

并解答以下问题：

（1）若选________（填序号），求的值；

（2）在（1）的条件下，若，的面积为，求的周长．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）若选①，利用正弦定理角化边可配凑出余弦定理的形式求得，由此可得；若选②，利用正弦定理角化边可配凑出余弦定理的形式求得，由此可得；若选③，利用正弦定理边化角可化简等式求得，由此可得；

（2）利用三角形面积公式可求得，利用余弦定理可得到关于的方程求得，由此可得三角形周长.

【小问1详解】

若选条件①：由正弦定理得：，即，

由余弦定理得：，又，；

若选条件②：，，

由正弦定理得：，即，

由余弦定理得：，又，；

若选条件③：由正弦定理得：，

，，，则.

【小问2详解】

，；

由余弦定理得：，解得：，

的周长为.

20. 某水库堤坝因年久失修，发生了渗水现象，当发现时已有的坝面渗水，经测算知渗水现象正在以每天的速度扩散，当地政府积极组织工人进行抢修，已知每个工人平均每天可抢修渗水面积，每人每天所消耗的维修材料费25元，劳务费75元，另外给每人发放100元的服装补贴，每渗水的损失为75元．现在共派去x名工人，抢修完成共用n天．

（1）写出n关于x的函数关系式；

（2）要使总损失最小，应派多少名工人去抢修（总损失=渗水损失+政府支出）．

【答案】（1）（且）   

（2）21名

【解析】

【分析】（1）根据抢修的面积等于渗水的面积列出方程，求出（且）；

（2）求出总损失关于x的关系式，再利用基本不等式求出最小值，得到答案.

【小问1详解】

由题意知：抢修n天时，维修工人抢修的面积之和为，而渗水的面积为

所以有，可得（且）．

【小问2详解】

设总损失为y，则

，

当且仅当时，即时，等号成立．

所以应派21名工人去抢修，总损失最小．

21. 如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，.

（1）证明：平面；

（2）在线段（不含端点）上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由.

【答案】（1）证明见解析.   

（2）存在；．

【解析】

【分析】（1）由面面垂直的性质可得，再得出即可证明；

（2）设，求出平面和平面的法向量，利用向量关系建立方程求出即可得出.

【小问1详解】

正方形中，，

平面平面，平面平面，平面，

平面，，且，又，

，又，

，又，，，

平面；

【小问2详解】

由（1）知，平面，

以B为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则，，

设点，，，

，

，

设平面的法向量为，

，

令，

显然，平面的法向量为，

，

即，即

即，解得或（舍），

则存在一点，且.