2022云南省师大附中高三上学期高考适应性月考卷（二）理科数学试题扫描版含答案

理科数学参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

【解析】

1．，则，故选A．

2．，，故选D．

3．

，故选A．

4．该几何体是一个4个面都是直角三角形的三棱锥，如图1所示，   

，故选B．

5．不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个，从中取出2个不同的数有28种，其中取出的两个数之差的绝对值为2的有(3，5)，(5，7)，(11，13)，(17，19)，共4种，所以所求的概率是，故选D．

6．，

   的夹角是，故选C．

7．

，故选D．

8．选项A：故A正确；选项B：，故B正确；选项C：上不单调，故C错误；选项D：向左平移个单位得到故D正确，故选C.

9．垂直于x轴，， 或(舍)，故选D.

10．易知的外接圆直径为，所以半径长为，设外接球半径为则设的内切圆半径为，则，故该直三棱柱内半径最大的球的半径为，，，故选D．

11．设直线由得设则有①，②，又，③，由②③得或

(舍)，代入①得，故选B．

12．设

，则

又，，

，故选A．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

【解析】

13．作出可行域如图2中阴影部分所示，其中

，令，则可看作可行域内的点与原点的连线的斜率，由图可知，故．

14．由题意得，则，展开式的通项为，令，则故常数项为．

15．令，则，所以是首项为2，公比为2的等比数列，当时，；当时，

.

16．①当时，曲线可化为，它表示半径为的圆，故①错误；②当时，曲线可化为，又，所以曲线表示焦点在轴上椭圆，其离心率为，故②正确；③当时，曲线可化为即，它表示两条与轴平行的直线，故③错误；④当时，曲线是双曲线，令，则渐近线为，故④正确．

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

解：（1）

              …………………………………………………（6分）

（2）

为锐角三角形，

……………………………………………（12分）

（其他解法酌情给分）

18．（本小题满分12分）

（1）证明：取的中点，连接，，，

又，则平面，

平面，.         ……………………………………………（6分）

（2）解：由（1）知的平面角为，

如图3，以为原点建立空间直角坐标系，则，

设平面的法向量为

设平面的法向量为

，

的正弦值为     …………………………………………………（12分）

19．（本小题满分12分）

解：（1）列联表如下：

的观测值

所以有的把握认为“在校期间使用手机和学习成绩有关”．

                         …………………………………………………………………（6分）

（2）从学习成绩优秀的学生中按在校是否使用手机分层抽样选出6人，

其中在校使用手机的学生有人，

在校不使用手机的学生有人．

可能的取值为

的分布列为：

的数学期望为…………………………………（12分）

20．（本小题满分12分）

（1）解：由题意得

椭圆的方程为.       …………………………………………………（4分）

（2）证明：当的斜率不存在时，设：

    则

(不符合题意)；

当的斜率存在时，设：

由得

设则

又点

直线：

直线恒过定点.          …………………………………………………（12分）

（其他解法酌情给分）

21．（本小题满分12分）

解：（1）

在处的切线与轴平行，

又在上为增函数，且

存在唯一的使得

令得

令得

在上单调递减，在上单调递增.   …………………………（6分）

（2）

令即在上有两个实根，

令得

令得

令得

在上单调递减，在上单调递增，

在上有两个实根，

解得，

                  …………………………………………………（12分）

（其他解法酌情给分）

22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】

解：（1）直线可化为，

设的倾斜角为，则，

故曲线的直角坐标方程为   ………………………………………（5分）

（2）曲线表示圆心为，半径的圆，

圆心到直线的距离，

，

又点到的最大距离为，

    ………………………………（10分）

23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】

解：（1）如图4所示，

当时，或

由图可知不等式的解集为   ………………………………（5分）

（2）由图可知当时，，

，

             …………………………………………………………（10分）