2023昆明师大附中高三上学期适应性月考卷（三）数学试题扫描版含解析

数学参考答案

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

【解析】

1．复数的虚部为，故选A．

2．因为，所以．则由，可得，故选D．

3．因为为幂函数，所以设，则，所以，，则，故选B．

4．因为，所以，则随机抽取该地区1000名成年女性，其中身高不超过的人数服从，所以，故选D．

5．因为，所以，又，所以，所以，则，故选C．

6．将方程与抛物线方程联立，得，设，则由与抛物线有四个不同的交点可得有两个不等的正根，得即，由抛物线定义可得，故选B．

7．表示5个相乘，含的项可以是在5个中选3个2，2个相乘得到，也可以是在5个中选2个2，2个，1个相乘得到，也可以是在5个中选1个2，4个相乘得到，所以含的项为，故选C．

8．如图1，取BD的中点M，连接．由，可得为正三角形，且，所以，则

．以M为原点，MC为轴，过点M且与平面垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系如图2，则，，，所以．设为三棱锥的外接球球心，则在平面的投影必为的外心，则设．由可得，解得，所以．由张衡的结论，，所以，则三棱锥的外接球表面积为，故选B．

二、不定项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）

【解析】

9．选择自由行的游客人数为，其小于40岁的概率是，故A错误；选择自由行中小于40岁和不小于40岁的人数比为2:1，则按年龄分层抽样抽取的6人中，有4人小于40岁，有2人不小于40岁，设事件A为2人均小于40岁，则2人中至少有1人不小于40岁的概率为，故B正确；因为，所以可推断旅行方式与年龄没有关联，但对零假设犯错误的概率是不可知的，故C错误；因为，所以推断旅行方式与年龄有关联，且犯错误概率不超过0.05，故D正确，故选BD．

10．，，则，，，，则，A错误（若在内，则，即）；当时，，，，，所以，所以两圆相交，共两条公切线，B正确；，得，即，令解得所以定点为，C正确；公共弦所在直线的斜率为，令，无解，所以D错误，故选BC．

11．因为经过点，所以，又在的单调递减区间内，所以①；又因为经过点，所以，，又是在时最小的解，所以②．联立①、②，可得，即，代入①，可得，又，所以，则．的最小正周期为，A正确．向左平移个单位后得到的新函数是，为偶函数，B正确．设在上的6个根从小到大依次为．令，则，根据的对称性，可得，则由的周期性可得，，所以，C错误．作与平行的直线，使其与有公共点，则在运动的过程中，只有当直线与相切时，直线与l存在最小距离，也是点M到直线的最小距离，令，则，解得或，又，所以（舍去），又，令，，，则由可得到直线的距离大于到直线的距离，所以到直线的距离最小时，的横坐标为，D正确，故选ABD．

12．由为黄金分割双曲线可得，即，对两边同除以可得，则，A正确；对继续变形得，，

，，由射影定理（即三角形相似）可得B正确；设，，，将坐标代入双曲线方程，作差后整理可得，故C正确；设直线，代入双曲线方程，可得，则，，将换成即得，则与，的值有关，故D错误，故选ABC．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

【解析】

13．不妨设，起点都在原点，设，则为，点分别在所在直线x轴上的投影为点和点，所以在上的投影向量为．

14．因为，所以，又，所以在处的切线方程为，即．

15．设该四位数为，则，，且．令，，则，且．所以该问题相当于把11个完全相同的小球放入4个不用的盒子，且每个盒子至少放一个小球，采用隔板法：在11个小球的10个空隙中选择3个插入隔板，所以共有种放法．

16．设，则，则点在单位圆上，根据三角函数的定义，可设，，则，则由可得，则，所以，则，又，所以当且仅当，即时，．

四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

解：（1），，，

，，

，………………………………（4分）

，

关于的线性回归方程为．………………………………………（6分）

（2）令，解得，

则该样本中所含的还原糖大约相当于的标准葡萄糖溶液.

……………………………………………………………………………………（10分）

18．（本小题满分12分）

解：（1）成等差数列，

，……………………………………………………………………………（1分）

又，

，，

又，

，，

………………………………………………………………………………………（3分）

．…………………………………………………………………………………（5分）

（2）由题意可得，，即，

………………………………………………………………………………………（6分）

由余弦定理结合（1）可得，

，…………………………………………………………………………………（8分）

由正弦定理可得，

又，

，…………………………………………（10分）

，

又，

，为直角三角形. ……………………………………………………（12分）

19．（本小题满分12分）

解：（1）由题意，当时，，

………………………………………………………………………………………（2分）

则，………………………………………………………（4分）

又，

是首项为，公比为的等比数列，

，

. ……………………………………………………（6分）

（2）记为第次射击击中目标，则由题意可得，，，

可取到的值为，且

，

，

，

则的分布列为：

……………………………………………………………………………………（10分）

. …………………………………………………（12分）

20．（本小题满分12分）

（1）证明：平面平面，平面平面，，且平面，

平面，

又平面，

，

又平面，平面，

，

且，平面，

平面，

又平面，

. ……………………………………………………………………………（4分）

（2）解：法一（几何法）：，

，

如图3，过点作直线平行于，则，

则同时在平面与平面内，是两平面的交线，

又由（1）平面，可得，，

且，

由二面角的平面角的定义可得是平面与平面所成角，

………………………………………………………………………………………（8分）

设，则，

过点作于点，

则，

且，

，

，

解得. ……………………………………………………………………………（12分）

法二（向量法）：如图4，以点为原点，分别以，，过点且与平面垂直的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

设，则，

，，，，

则，，，

………………………………………………………………………………………（6分）

由，可得，

，

，，

………………………………………………………………………………………（8分）

设为平面的法向量，则

可得一组解为，……………………………………………………（10分）

取平面的法向量，

则，

令，则，化简得，即，.

……………………………………………………………………………………（12分）

21．（本小题满分12分）

（1）解：设点，，

则由点G与P，Q两点的距离之和为，

可得点G的轨迹是以P，Q为焦点且长轴长为的椭圆，其轨迹方程为．

由，可得，代入点G的轨迹方程，可得：

，即．…………………………………………………（4分）

（第一问也可以利用几何法：由条件可知G为的重心，延长PG，QG，必分别交NQ，NP的中点（分别设为H，I），取，，则

，由椭圆定义可得的方程．）

（2）证明：设点，则，即，

，

令，得，，……………………………………………（6分）

过作直线ME的垂线，垂足为点T，

则要证ER为的角平分线，只需证，

又，

，………………………………………………………………………（8分）

，

，当且仅当，

即时，

又在上，则，即，

代入上式可得恒成立，

为的角平分线得证．……………………………………………………（12分）

（第（2）问也可利用二倍角公式，证明）

22．（本小题满分12分）

解：（1），

①当时，在上恒成立，在上单调递减；

………………………………………………………………………………………（2分）

②当时，在上单调递增，且当时，，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

………………………………………………………………………………………（4分）

（2），

若，，与在上恒成立矛盾，

，…………………………………………………………………………………（6分）

则，

令，

则由可知在上单调递减，

又当时，，，

，

又，

，使得，………………………………（8分）

，

，

，

且当时，单调递增；

当时，单调递减，

，

……………………………………………………………………………………（10分）

又，

，解得，

令，

则在上恒大于0，

在上单调递增，

．…………………………………………………………（12分）