2022昆明一中高三上学期第一次摸底测试理科数学试题扫描版含答案

昆明一中2022届高三第一期联考

参考答案（理科数学）

一、选择题 

1. 解析：由题意，选D．
2. 解析：根据此频率分布直方图，成绩在内的人数为人，A对；

这名学生中成绩在内的频率为， B对；

这名学生成绩的中位数 ，C错；，D对 ，选C.

3. 解析：由题意，，选A．
4. 解析：由已知得：密位，密位写成，选C .
5. 解析：可设的方程为，将点代入得，则的方程为选C．
6. 解析：将三视图还原可得下图，设正方体棱长为，挖去多面体为四棱锥，其体积，剩余几何体体积，所以，选A.

7. 解析：由解得，代入，得或，选D.
8. 解析：在△中，由，得，由正弦定理得，所以，选B.
9. 解析：由且得，，

所以，选C.

10. 解析：将把椅子依次编号为，任何两人不相邻的做法，可安排： 号位置坐人，故两人不相邻有4种可能，所以，选B.
11. 解析：设点，分别是正，的中心，球的半径为，则且，，三点共线，正三棱台的高为，因为，，所以，，在中，，解得，在中，，解得，如果三棱台的上下底面在球心的两侧，则正三棱台的高为，如果三棱台的上下底面在球心的同侧，则正三棱台的高为，所以正三棱台的高为或4，选D .
12. 解析：因为的定义域为，对于定义域内的任意实数，都有，所以为奇函数，又因为在上单调递减，在上单调递减，且，所以在上单调递减，所以在上单调递减，所以等价于，即，解得，选C .

二、填空题

13. 解析：.
14. 解析： ， ， 所以切线方程为 ，即 .
15. 解析：由题意，不妨记，，则，设点的坐标为，则点到直线的距离为，

得.

16. 解析：因为的图象向右平移个单位后与的图象重合，所以是一个周期，又，所以，，所以，的最小值为，所以①正确；进而，由，解得,当时，的单调增区间为，当时，的单调增区间为，所以②③错误，而，所以④错误，，所以⑤正确，所以正确的结论的编号是①⑤ .　

三、解答题

（一）必考题

17. 解析：（1）                       ………5分

（2）

………7分

所以有的把握认为竞赛成绩是否优秀与性别有关.                  ………12分

18. 解：选①（1）由得：，所以，又因为，

所以，所以，

所以，

令，则，此方程无正整数解，

所以不是数列中的项.                                 ………6分

（2）令，即，解得：，

所以时，，当时，，

所以，当时，的最小值为.  ………12分

选②（1）由得：，又因为，所以，

所以，所以，

令，则，所以是数列中的第项.  ………6分                    

（2）令，即 ，解得：，

所以时，，当时，，

所以，当或时，的最小值为.    ………12分

19. 证明：(1) 设交于，连结.

因为，分别是，的中点，

所以，.

又因为，所以,

所以,

又因为平面, 平面

所以平面   ………6分 

(2) 如图，以为原点，，，分别为，，轴

建立空间直角坐标系.设.

在菱形中，因为，

所以是等边三角形，故.

又因为，平面，所以.

所以，，，，

所以，，.

设平面（即平面）的一个法向量为，

由，得，

取得；

同理可求得平面的一个法向量．   

所以. 

故二面角的余弦值为.………12分

20. 解：（1）当时，，所以；

当时，，在区间上单调递减；

当时，，在区间上单调递增；

所以是在区间上的最小值，所以.     ………5分

（2）依题意，.

若，则当时，，在区间上单调递增，不合题意，舍去；

若，令，则.

因为时，，所以在上单调递增.

因为，而

所以存在，使得

此时函数在上单调递减，在上单调递增，符合条件；

综上所述，实数的取值范围是.                    ………12分

21. 解：（1）因为圆与椭圆均关于轴对称，故可设，，过圆心作于点，设与轴交于点，

由得，即，而点在椭圆上，

故，即，故.       ………6分

（2）由题意可知直线与斜率和均存在，设过且与

圆相切的直线方程为：，即，

则圆心到该直线的距离，即，

联立，可得：，

即，则方程异于的实数解

，

，

设，，

则直线的斜率，

故直线的方程为：，

则圆心到的距离，故直线与圆相切.   ………12分

（二）选考题：第22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分。

22. 解：（1）由得，，,

因为，

所以曲线的直角坐标方程为（）. …………5分

（2）设，则

，

其中满足.

当时，取最大值.此时，.

所以当点的坐标为时，取得最大值.………10分

23. 解：（1）,

或或

或或，

所以不等式的解集为.………5分

（2）画出函数和的图象如下:

不等式的解集为的图象在的图象的上方或者部分重合，所的图象至少向上平移个单位，实数的取值范围是.………10分