2022昆明一中高三上学期第一次摸底测试文科数学试题扫描版含答案

昆明一中2022届高三第一期联考

参考答案（文科数学）

一、选择题 

1. 解析：由题意，选D．
2. 解析：根据此频率分布直方图，成绩在内的人数为人，A对；

这名学生中成绩在内的频率为， B对；

这名学生成绩的中位数 ，C错；，D对 ，选C.

3. 解析：由题意，，选A．
4. 解析： ， ， ， ， 选A.
5. 解析：由题意，点到点的距离等于它到直线的距离，则点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，则点的轨迹方程为，选B .
6. 解析：由已知得：密位，密位写成，选C .
7. 解析：将三视图还原可得下图，挖去多面体为四棱锥，其体积，选D.

8. 解析：由解得，代入，得，解得，选A．
9. 解析：在△中，由，得，由正弦定理得，所以，选B.
10. 解析：设三人用表示，空座位用表示，

三人坐座位有：，共种不同坐法，任何两人不相邻有种坐法，所以，选C．

11. 解析：因为的图象向右平移个单位后与的图象重合，所以是一个周期，又，所以，，所以，的最小值为，所以由，解得,当时，的单调增区间为，当时，的单调增区间为，所以A，B错误，而，所以C错.，选D .　
12. 解析：因为的定义域为，对于定义域内的任意实数，都有，所以为奇函数，又因为在上单调递减，在上单调递减，且，所以在上单调递减，所以在上单调递减，所以等价于，即，解得，选C .　

二、填空题

13. 解析：.
14. 解析：当球与正方体各面相切时体积最大，此时球半径，所以该球的表面积为．
15. 解析：，又，且，所以，所以

.

16. 解析：设，则，且，又，所以，，得，即对于或恒成立，故，即，所以双曲线的离心率为.

三、解答题

（一）必考题

17. 解析：（1）                       ………5分

（2）

  ………7分

所以有的把握认为竞赛成绩是否优秀与性别有关.                  ………12分

18. 解：选①（1）由得：，所以，又因为，

所以，所以，

所以，

令 ，则，此方程无正整数解，

所以不是数列中的项.                                 ………6分

（2）令， 即，解得：，

所以时，，当时，，

所以，当时，的最小值为.              ………12分

选②（1）由得：，又因为，所以，

所以，所以，

令，则，所以是数列中的第项.   ………6分                    

（2）令， 即，解得：，

所以时，，当时，，

所以，当或时，的最小值为.     ………12分

19. 证明：(1) 设交于，连结.

因为，分别是，的中点，

所以，.

又因为，所以,

所以,

又因为平面, 平面

所以平面   ………6分

 (2) 在菱形中，因为，，

所以是边长为2的等边三角形，故.

因为，平面，所以.

故点到平面的距离等于

所以，即三棱锥的体积为. ………12分

20. 解：（1）由题知函数的定义域为，

对任意恒成立，

当且仅当时，，所以在上单调递增.

又，所以函数有且仅有1个零点.          ………5分

（2）因为，

所以.

由题意知，是方程在内的两个不同的实数解.

令，

又，且函数图象的对称轴为，

所以只需

解得，即实数的取值范围为.                        ………12分

21. 解：（1）因为圆与椭圆均关于轴对称，故可设，，过圆心作于点，设与轴交于点，

由得，即，而点在椭圆上，

故，即，故.       ………6分

（2）由题意可知直线与斜率和均存在，设过且与

圆相切的直线方程为：，即，

则圆心到该直线的距离，即，

联立，可得：，

即，则方程异于的实数解

，

，

设，，

则直线的斜率，

故直线的方程为：，

则圆心到的距离，故直线与圆相切 .     ………12分

（二）选考题：第22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分。

22. 解：（1）由得，，,

因为，

所以曲线的直角坐标方程为（）. …………5分

（2）设，则

，

其中满足.

当时，取最大值.此时，.

所以当点的坐标为时，取得最大值.………10分

23. 解：（1）,

或或

或或，

所以不等式的解集为.………5分

（2）画出函数和的图象如下:

不等式的解集为的图象在的图象的上方或者部分重合，所以的图象至少向上平移个单位，实数的取值范围是.………10分