云南省昆明市第一中学2021-2022学年高三上学期第三次双基检测文科数学试题

昆明一中2022届高三第三期联考

参考答案（文数）

命题、审题组教师   杨昆华 张波 杨仕华 张兴虎 王海泉 卢碧如 江明 丁茵 易效荣 杨耕耘 李建民

一、选择题 

1. 解析：由题意，则，选B．

2. 解析：由于，则，选A．

3. 解析：设球的半径为，由球的体积公式，所以．由于，，所以与最为接近，选B .

4. 解析：由三视图得几何体为四棱锥（如图），选C. 

5. 解析：，选B .

6. 解析：甲输的概率为，选A .

7. 解析：由及，解得，，，所以函数在内有个零点， 选D .

8. 解析：因为，所以是奇函数，排除C、D，又当时，，且，排除B，选A.

9. 解析：由题意，，由于圆半径为，则圆心到直线的距离，得，，选C．

10.解析：由题意，,又，，则，，由双曲线定义，，则离心率，选D．

11．解析：因为，

所以，化简得，则，又，所以，由余弦定理可得，解得所以的最大值为，选B .

12. 解析：因为球是正方体的内切球，是球的直径，所以，

因为，又点是正方体表面上的一个动点，所以当为正方体顶点时，有最大值为；当为内切球与正方体的切点时，有最小值为，所以，选B .

二、填空题

13. 解析：因为，且，所以，所以.

14. 解析：由分层抽样得从一年级抽取的学生人数是人.

15. 解析：如图：的最小值转化为可行域里面的点到坐标原点的距离的平方的最小值，再转化为坐标原点到直线的距离的平方，即，所以的最小值为．

16. 解析：是奇函数，所以，又因为时，，所以，解得，所以当时，，因为为偶函数图象关于轴对称，所以的图象对称，得，又，所以，即，得，所以周期为，所以，所以的值为.

三、解答题

（一）必考题

17.解：(1)当时，由已知，得，

所以是以为首项，为公差的等差数列.    

所以()，所以，

所以.                 ………6分

(2)令，，

因为，，

由二次函数与指数函数的不同增长模型可得：时，，

所以正整数的最小值为.                             ………12分

18．解：（1）设中位数为，则，

        ………6分

（2）根据题意可得，抽取的8名同学中，时间在的有6名，记为，，，，，，时间在的有名，记为，，从8名同学中随机取2人的基本事件为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 共个，记事件为两名同学中至少有一名每天体育锻炼时间在，则包含的基本事件个数有个，所以．                                     ………12分

19．（1）证明：因为圆所在的平面，所以平面，而平面，

所以，

又因为是圆的直径，为圆周上一点，所以，

所以平面，又平面，所以，

又因为，所以平面，又平面，

所以，

又在直角三角形中，，所以,

又，所以，

所以为的中点，所以．………6分

（2）当为的中点时，平面．证明如下：

由（1）知为的中点，所以点在上，设的中点为，连接，因为 为的中点，所以，

又平面，平面，

所以平面．………12分

20. 解：（1）设，，则，

因为，在椭圆上，所以，两式作差：，

整理得：，故，又因为，

所以，，故椭圆的方程为；                ………4分

（2）设直线的方程为，与椭圆：联立得：

，整理得：，，

故，则，

因为点恰为△的重心，故点坐标为，即

因为点在椭圆上，所以，解得，

则，

而，，

故；

故.  ………12分

21. 解：（1）当时，，

，

当，即时，，

当，即时，，

所以的增区间是，

减区间是．                     ………5分

（2），

，

由题意在上有两个不等实根，

即有两个实根，

设，则，

时，，所以时，，递增，

时，，递减，

所以，其中，，

所以当时，在上有两个实根，

所以函数在上有两个极值点．                   ………12分

（二）选考题：第22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分。

22. 解：（1）曲线：的普通方程为，经过伸缩变换 后得到曲线：，化成极坐标方程为. ………5分

（2）设点到直线的距离为，，因为，所以，

所以，

因为△的面积，

所以.………10分

23. 解：（1），

因为，所以.因为，，为正实数，所以

所以.………5分

（2）由柯西不等式可得，

又因为，所以，等号当且仅当时成立.………10分