2022渭南尚德中学高三上学期第一次质量检测考试数学（理）试题含答案
展开渭南市尚德中学高三（2022届）第一次教学质量检测
数 学 试 题（理）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题 (本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若集合A={x∈R|x +1＞0 }，集合B=={x∈R|}，则A∩B= （ ）
A．（-1,1） B．（-2，-1）C．（-∞，-2） D．（1，+∞）
2．函数=的最小正周期是 （ ）
A． B．2 C． D．4
3．复数的共轭复数是 （ ）
A. B. C. D.
4．某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是,则（ ）
A.
B.
C.
D.
5．已知平面向量, 满足||=1，||=2，且（+）⊥，则，的夹角（ ）
A． B． C D．
6．将函数的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于轴对称，则的一个可能取值为 （ ）
A． B． C． D．
7．设变量满足不等式组，则2x+3的最大值等于 （ ）
A．1 B．10 C. 41 D．50
8．已知数列中，，若其前n项和为Sn，则Sn的最大值为 （ ）
A．167 B．168 C．169 D．170
9． 设定义在R上的奇函数满足，则的解集
A． B． C． D．
10．已知四棱锥P-ABCD是三视图如图所示，则围成四棱锥P-ABCD的五个面中的最大面积是 （ ）
A．3
B．6
C．8
D．10
11．已知，，，，则的最大值为 （ ）
A. B.2 C. D.
12．函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于 （ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．在等差数列中，若，则=
14．函数=2lnx+在x=1处的切线方程是
15．已知平面向量,都是单位向量，且·=-，则|2-|的值为
16．在中，，则的最大值为
三、解答题：（本大题共六小题，17-21每题12分，选做题22,23每题10分, 共70分）
17．（本小题满分12分）
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB。
（1）求角B的大小；
（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值.
18.（本小题满分12分）
已知公差不为零的等差数列，等比数列，满足，，．
（Ⅰ）求数列、的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列{}的前n项和．
19.（本小题满分12分）
由于受大气污染的影响，某工程机械的使用年限x（年）与所支出的维修费用(万元)之间，有如下统计资料：
x(年) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
(万元) | 2.2 | 3.8 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |
假设与x之间呈线性相关关系.
（Ⅰ）求维修费用(万元)与设备使用年限x(年)之间的线性回归方程；（精确到0.01）
（Ⅱ）使用年限为8年时，维修费用大概是多少？
参考公式：回归方程，其中.
- （本小题满分12分）
设函数f(x)＝.
（1）求f(x)的对称轴方程；
（2）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b＋c＝2，求a的最小值．
- （本小题满分12分）
已知函数f（x）=，g（x）=alnx，aR。
（1）若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；
（2）设函数h(x)=f(x)- g(x),当h(x)存在最小之时，求其最小值（a）的解析式；
（3）对（2）中的（a），证明：当a（0，+）时， （a）1.
选考题：(共10分。请考生在第22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题计分。)
22.（本题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，以0为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l的参数方程为(t为参数)，曲线的极坐标方程为=12，定点A(6，0)，点P是曲线上的动点，Q为AP的中点．
（Ⅰ）求点Q的轨迹的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线l与曲线交于A，B两点，若，求实数a的值．
- （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)=x+3.
（Ⅰ）当a =-2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；
（Ⅱ）设a＞－1，且当x∈[－，)时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围.
答案（理）
一.选择题： ACCAA BDCDC CB
二.填空题：13. 10； 14. 4x-y-3=0； 15. ； 16.
三.解答题：
17、(本小题12分)解：
（1）由及正弦定理，得所以， 所以，..........6
（2）由及，得
由及余弦定理，得
所以 .....................................12
18(本小题12分)解析：
（Ⅰ）（1） ……………………….6分
(2)
…………………9分
………………12分
19．（本小题满分12分）
解：(1) =（2+3+4+5+6）/5=4……………1分
=（2.2+3.8+5.5+6.5+7.0）/5=5…………………2分
=20………………………………………3分
=(2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7.0)=112.3………4分
=90-80=10……………5分
所以……………7分
=5-1.23×4=0.08……………8分
故线性回归方程为……………9分
(2)将x=8，代入回归方程得
（万元）………………………12分
20、（本小题满分12分）
[解析]：(1)∵f(x)＝＝ , ----- 2分
由得的对称轴方程为 -------- 4分
(2)由f()＝＝，
可得cos＝-，由A∈(0，π)，可得A＝ --------- 7分
在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos＝(b＋c)2－3bc，
由b＋c＝2知bc≤＝1，当b＝c＝1时bc取最大值，此时a取最小值1. --------12分
21（本小题12分）
解 （1）f’(x)=,g’(x)=(x>0),
由已知得 =alnx
=， 解德a=,x=e2,
两条曲线交点的坐标为（e2,e） 切线的斜率为k=f’(e2)= ,
切线的方程为y-e=(x- e2).
（2）由条件知
Ⅰ 当a.>0时，令h (x)=0,解得x=,
所以当0 < x< 时 h (x)<0，h(x)在（0，）上递减；
当x>时，h (x)>0，h(x)在（，+∞）上递增。
所以x=是h(x)在（0， +∞ ）上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点。
所以Φ （a）=h()= 2a-aln=2a-2aln2a
Ⅱ当a ≤ 0时，h｀(x)=>0,h(x)在（0，+∞）递增，无最小值。
故 h(x) 的最小值Φ （a）的解析式为2a(1-ln2a) (a>o)
（3）由（2）知Φ （a）=2a(1-ln2a)
则 Φ 1（a ）=-2ln2a，令Φ 1（a ）=0 解得 a =1/2
当 0<a<1/2时，Φ 1（a ）>0，所以Φ （a ） 在(0,1/2) 上递增
当 a>1/2 时， Φ 1（a ）<0，所以Φ（a ） 在 (1/2, +∞)上递减。
所以Φ（a ）在处取得极大值Φ（1/2 ）=1
因为Φ（a ）在(0, +∞)上有且只有一个极值点，所以Φ（1/2）=1也是Φ（a）的最大值
所当a属于 (0, +∞)时，总有Φ（a） ≤ 1
22（本小题10分）
选修4—4解：（Ⅰ）由题意知，曲线的直角坐标方程为
设P()，Q(x，y)由中点坐标公式得代入中，
得点Q的轨迹的直角坐标方程。
（Ⅱ）直线的普通方程y=ax,由题意得：，
解得。-----------10分
23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
解：（I）当<g(x)化为<0.
设函数y=，则
................................3分
当且仅当x时，y<0，所以原不等式的解集是；...........5分
（II）当 不等式≤g(x)化为1+a≤x+3...........8分
所以x≥a-2对x都成立，故，即，
从而a的取值范围是.....................................10分
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