陕西省汉中市某校2022-2023学年高三上学期第一次质量检测数学（理）试题（含答案）

2023届高三第一次质量检测数学试题（理）

第I卷（选择题）

一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分）

1．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ）．

A． B． C． D．

2．设全集U是实数集R，，则图中阴影部分所表示的集合是 （   ）

A． B．

C． D．

3．牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间后的温度将满足，其中是环境温度，称为半衰期.现有一杯85℃的热茶，放置在25℃的房间中，如果热茶降温到55℃，需要10分钟，则欲降温到45℃，大约需要多少分钟（    ）（，）

A．12 B．14 C．16 D．18

4．如图，正方形ABCD中灰色阴影部分为四个全等的等腰三角形，已知，若在正方形ABCD内随机取一点，则该点落在白色区域的概率为（     ）

A.                                    B． 

C．                      D．

5．现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人，每人一张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为（    ）

A．12 B．24 C．36 D．48

6．已知二次函数的值域为，则的最小值为（    ）

A．4 B．6 C．8 D．10

7．函数在区间的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

8.设数列的通项公式为，其前项和为，则（     ）

A． B． C．180 D．240

9．在三棱锥中，平面，，且，则三棱锥外接球的体积等于（     ）

A． B． C． D．

10．若，则的值是（    ）

A． B． C． D．

11．已知关于的方程有2个不相等的实数根，则的取值范围是.（    ）

A． B． C． D．

12．已知数列的各项均为正数，且满足(为常数，．给出下列四个结论：

①对给定的数列，设为其前n项和，则有最小值；

②若数列是递增数列，则；

③若数列是周期数列，则最小正周期可能为2；

④若数列是常数列，则

其中，所有正确结论的个数是（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知函数的导函数是.若，则         .

14.已知随机变量X服从正态分布，且，则         .

15.若函数在区间上是增函数，则的取值范围是         .

16.已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且截直线x－y－3＝0所得的弦长为，则圆C的标准方程为                .

三、解答题（本题共6小题，每小题12分，共60分）

17.（12分）如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，平面平面.

(1)证明：.

(2)若四棱锥的体积为，

求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

18．（12分）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．

(1)求甲学校获得冠军的概率；

(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．

19. (12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．

（1）求角C；

（2）CD是∠ACB的角平分线，若, △ABC的面积为，求c的值．

20 .(12分）已知椭圆：的离心率为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．

(1)求椭圆的方程．

(2)如图，A，B是椭圆的左、右顶点，过点F且斜率不为0的直线交椭圆C于点M，N，直线AM与直线交于点P．记PA，PF，BN的斜率分别为，，，是否存在实数，使得？

21. (12分）已知函数，且当a＝0时，f（x）的最大值为﹣1．

（1）当a＝0时，求f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）当a∈（1，e）时，证明：f（x）的极大值小于．

四、选做题（请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.）

22.（10分）选修4﹣4：坐标系与参数方程

如图，在极坐标系中，圆O的半径为2，半径均为1的两个半圆弧所在圆的圆心分别为，是半圆弧上的一个动点.

(1)  当时，求点的极坐标；

(2)  以为坐标原点，极轴为轴正半轴，的方向为轴正方向建立

平面直角坐标系.若点为线段的中点，求点轨迹的参数方程.

23.（10分）选修4﹣5：不等式选讲

（1）已知：，，，求证：；

（2）某长方体从一个顶点出发的三条棱长之和等于3，求其对角线长的最小值．

高三第一次质量检测 参考答案：

1．B

【解析】

【分析】

先根据复数几何意义得，再根据复数乘法法则得结果.

【详解】

由题意得，.

故选：B.

【点睛】

本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.

2．C

【解析】

【详解】

阴影部分表示的是，

根据题意，或，

则，

所以，

故选C.

本题主要考查集合的运算.

3．C

【解析】

【分析】

先计算出，再根据条件计算即可.

【详解】

根据题意有：，

∴.

故选：C.

4．A

【解析】

【分析】

求出白色区域的面积和正方形的面积，利用几何概型的概率公式求解即可

【详解】

由题易知四边形EFGH为正方形，且

由得，所以的高为，

故白色区域的面积为

又正方形ABCD的面积为8，

所以若在正方形ABCD内随机取一点，该点落在白色区域的概率为，

故选：A.

5．D

【解析】

【详解】

甲、乙分得的电影票连号有 种情况,其余三人有 分法,所以共有 ，选D.

点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：

(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.

6．A

【解析】

【分析】

根据函数值域可推出，利用均值不等式即可求解.

【详解】

因为二次函数的值域为，

所以，

即，，

所以，当且仅当，即时等号成立，

故选：A

7．A

【解析】

【分析】

由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.

【详解】

令，

则，

所以为奇函数，排除BD；

又当时，，所以，排除C.

故选：A.

8．D

【解析】

【分析】

分别取，，和，，可验证出，利用周期性可验算得到结果.

【详解】

当，时，，；

当，时，，；

当，时，，；

当，时，，.

，.

故选：D

9．C

【解析】

【分析】

将三棱锥放入一个长方体中，求出长方体的体对角线即为长方体外接球的直径，利用球的体积公式即可求解.

【详解】

因为三棱锥中，平面，

不妨将三棱锥放入一个长方体中，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，

因为长方体的体对角线即为其外接球的直径，

因为，则长方体的长宽高分别为

所以三棱外接球的半径为

.

所以三棱锥外接球的体积为

.

故选：C.

10．A

【解析】

【分析】

运用赋值法可求解.

【详解】

令，得，

令，得，

则.

故选：A

11．A

【解析】

【分析】

将问题转化为直线与函数的图象有两个公共点问题，并且可发现直线与曲线有一个公共点原点，考虑临界位置，即直线与曲线的图象切于原点时，利用导数求出临界值，结合图象观察直线斜率变化，求出的取值范围．

【详解】

由，得，令，

则问题转化为：当直线与曲线有两个公共点时，求的取值范围．

由于，所以，直线与曲线有公共点原点，

如下图所示：

易知，

①先考虑直线与曲线切于原点时，的取值，

对函数求导得，当直线与曲线切于原点时，

，结合图象知，当时，直线与函数的左支有两个公共点；

②考虑直线与曲线切于原点时，的取值，

对函数求导得，当直线与曲线切于原点时，

，结合图象知，当时，直线与函数的右支有两个公共点．

因此，实数的取值范围是，故选A．

【点睛】

本题考查利用函数的零点个数求参数的取值范围问题，对于这类问题，一般是转化为两曲线的交点个数问题，本题是转化为直线与曲线有两个公共点，而且有一个明显的公共点，所以要考虑直线与曲线有公共点这个临界位置，并利用导数求出临界位置的参数值，借助图形观察直线斜率的变化，从而求出参数的取值范围，属于难题．

12．B

【解析】

【分析】

利用数列的各项均为正数以及前项和表达式判断①；若数列是递增数列，则有，进而根据已知条件化简式子求出的取值情况判断②；若数列是最小正周期为的数列，则有，对和取特殊值验证判断③；若数列是常数列，设，则，从函数的角度求的取值情况判断④.

【详解】

对于①，在数列的各项均为正数的情况下，设为其前n项和，

则，易知递增，因此有最小值，①正确；

对于②，若数列是递增数列，则成立，又，

成立，即成立，则，②错误；

③错误；

对于④，若数列是常数列，设，则，

令，则，，

，④正确.

综上所述，所有正确结论的个数是个.

故选：B.

二、填空题：

13.        14.          15.           16. 

三、解答题：

17.(1)

因为在中，，故，所以，解得，故，故.又平面平面且交于，故平面，又平面，故................6分

(2)

由（1）结合锥体的体积公式可得，

故，解得.又

故以为坐标原点建立如图空间直角坐标系.............8分

则，，，故，，设平面的一个法向量为，则，即，

令有，故，............................................................10分

又平面的一个法向量为，设平面与平面所成的锐二面角为，则.....................................................12分

18.(1)

设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为

．...................................................................................6分

(2)

依题可知，的可能取值为，所以，

,

，

，

..................................................................................10分

即的分布列为

期望............................................12分

19.

20.(1)

解：设椭圆的焦距为，因为椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，

所以．.......................................................................................................2分

因为椭圆的离心率为，所以，解得，

所以，...........................................................................4分

所以椭圆的方程为．................................................................5分

(2)

设，，直线的方程为，

与椭圆联立，得，

因为直线MN交椭圆C于M，N两点，所以，

所以，， .............................................7分

所以．...............................................................................8分

直线：与直线的交点的坐标为，则．

假设存在满足条件的实数，则，.................10分

所以，.......................................................................................................11分

所以．.......................................................................................................................12分

21.

.

四、选做题：

23.解：（Ⅰ）a，b，c∈R+，根据柯西不等式有：

（a2+b2+c2）（12+12+12）≥（a•1+b•1+c•1）2，

即，当且a＝b＝c时等式成立．…（5分）

（Ⅱ）不妨设长方体同一个顶点出发的三条棱长分别等于a、b、c，

故有a+b+c＝3，其对角线长，

当且仅当a＝b＝c＝1时对角线长取得最小值．…（10分）