2021-2022学年新疆乌苏市第一中学高二3月月考数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年新疆乌苏市第一中学高二3月月考数学（文）试题

一、单选题

1．已知全集，集合，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.

【详解】由题意可得：，则.

故选：A.

2．若命题：，，则命题的否定为（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】将任意改为存在，再否定结论即可得到答案.

【详解】由题意知，命题的否定为，.

故选：C.

3．设i是虚数单位，若复数（）是纯虚数，则a的值为（       ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】C

【分析】利用复数运算法则化简，再根据纯虚数得到等量关系，求出a的值.

【详解】，复数z是纯虚数，则，所以，

故选：C.

4．若函数在上为增函数，则的取值范围为（        ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】转化为，即对恒成立，继而得解.

【详解】由题意函数在上为增函数,

可知，

即对恒成立，

所以．

故选：C

【点睛】本题考查了导数在函数单调性中的应用，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于中档题.

5．若复数满足（为虚数单位），则下列说法正确的是（       ）

A．的虚部为 B．

C． D．在复平面内对应的点在第二象限

【答案】B

【分析】根据复数的除法运算可得，在根据复数相关概念和几何意义，逐项判断，即可得到正确结果.

【详解】因为，所以，

所以的虚部为，故A错误；

，故B正确；

，故C错误；

在复平面内对应的点为，所以在复平面内对应的点在第一象限，故D错误.

故选：B.

6．已知函数，则该函数的导函数（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】结合导数的四则运算法则以及基本初等函数的导数公式即可求得.

【详解】由题可得，

故选：B

7．已知向量，且，则实数a的值为（       ）

A．1 B． C．或-1 D．或1

【答案】C

【分析】利用向量垂直的坐标表示，列式计算作答.

【详解】向量，又，则有，解得或，

所以实数a的值为或-1.

故选：C

8．若是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（       ）

A．若，则 B．若，，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【分析】. 若，有可能，可判断选项A；若，，则与也可能相交，可判断选项B；若，有可能，可判断选项C；由线面垂直的定义和面面平行的判定定理可以判断选项D.

【详解】对于选项A，有可能，故选项A为假命题；

对于选项B，若，，则与也可能相交，故选项B为假命题；

对于选项C，有可能，故选项C为假命题；

对于选项D，过的平面与平面的交线分别为，则，则，

过的另一个平面与的交线分别为，同理可得，

进而可证得，故选项D为真命题.

故选：D.

9．已知直线：与直线：，若，则（       ）

A．1或2 B．1 C．-1或2 D．-1

【答案】B

【分析】根据两直线平行，列出方程，即可求解.

【详解】由题意，直线：与直线：，

因为，可得且，解得.

故选：B.

10．记为等差数列的前项和，且，则的值是（       ）

A．9 B．12 C．24 D．36

【答案】C

【分析】利用等差数列求和公式结合等差数列的性质可求得结果.

【详解】由题意可得，

，，

.

故选：C.

11．若满足约束条件则的最小值为（       ）

A．18 B．10 C．6 D．4

【答案】C

【分析】由题意作出可行域，变换目标函数为，数形结合即可得解.

【详解】由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，

由可得点,

转换目标函数为，

上下平移直线，数形结合可得当直线过点时,取最小值，

此时.

故选：C.

12．设是可导函数，当，则（       ）

A．2 B． C． D．

【答案】C

【分析】由导数的定义可得，即可得答案．

【详解】根据题意，，

故.

故选：C

13．已知函数（是的导函数），则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】对函数进行求导，求出，再令代入解析式，即可得到答案；

【详解】，，

，，

故选：D.

14．已知函数，若函数为常数)有三个零点，则实数a的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】分段函数，利用导数研究函数单调性，逐段分析函数单调性及极值、端点值；因为函数为常数)有三个零点，则曲线与直线有三个交点，结合的值域分析，即可求解。

【详解】①当时，，，

令，则

时，单调递增，；

时，单调递增，

②当时，，二次函数，开口向上，对称轴，且

时，单调递减，；时，单调递增，.

因为函数为常数)有三个零点，则曲线与直线有三个交点，则

故选：B.

【点睛】函数有零点问题，转化为方程的根的问题.

二、填空题

15．已知函数，则函数在区间上的平均变化率为___________.

【答案】3

【分析】根据平均变化率的定义即可计算.

【详解】设，因为，，

所以.

故答案为：3

16．有下列结论，其中正确的有______个．

①；②；③；④．

【答案】2

【分析】根据基本初等函数的求导公式逐个计算即可.

【详解】，故①正确；

，故②错误；

，故③错误；

，故④正确.

故答案为：2.

17．函数的减区间是____________.

【答案】

【分析】求出，然后由可得答案.

【详解】由可得

所以由可得

所以函数的减区间是

故答案为：

18．已知函数有零点，则的取值范围是___________.

【答案】

【分析】利用导数可求得函数的最小值，要使函数有零点，只要，求得函数的最小值，即可得解.

【详解】解：，

当时，，当时，，

所以在上递减，在上递增，

所以，

因为函数有零点，

所以，解得.

故答案为：.

三、解答题

19．在△中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，

（1）求角A.

（2）求△的面积.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由题设条件，结合余弦定理可得，即可求角A；

（2）应用三角形面积公式直接求△的面积即可.

【详解】（1）由，得，

∴，，可得.

（2）.

20．如图，四棱锥中，四边形为菱形，，，.

(1)证明：平面；

(2)求点到平面PBC的距离h.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）证明出，，利用线面垂直的判定定理证明平面；

（2）利用等体积法，求出.

【详解】(1)（1）连接AC，因为四边形ABCD为菱形，，

所以三角形ABC为正三角形，

所以.

因为，，

所以，，

所以，.

因为，平面，

所以平面.

(2)因为四边形为菱形，，，

所以.

在中，，，

所以.

因为，所以，

所以，解得.

21．某乡为了解居民的半年收入情况，随机抽取辖区内的1200个家庭进行调查，半年收入均在（单位：万元）范围内，将调查的数据分成五组，并绘制成频率分布直方图（如图）.

(1)求该直方图中的值；

(2)若从第一组和第二组中利用分层抽样的方法抽取6个家庭，并在这6个家庭中选2个家庭进行深入调研，求这2个家庭的半年收入不在同一组的概率.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小长方形的面积和为1可得答案.

（2）列出从6个家庭中任选2个家庭情况和这2个家庭半年收入不在同一组的情况，由古典概型概率计算公式可得答案.

【详解】(1)由频率分布直方图知，

解得.

(2)第一组共有个家庭，第二组共有个家庭，

从第一组和第二组中利用分层抽样的方法抽取6个家庭，则第一组选出2个家庭，第二组选出4个家庭，第一组选出的2个家庭记为，第二组选出的4个家庭记为.

从6个家庭中任选2个家庭有：，

共有15种情况，

这2个家庭半年收入不在同一组的情况有共8种，所以这2个家庭半年收入不在同一组的概率.

22．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为：（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)已知，直线l与曲线C交于，两点．求的值．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用极坐标方程和直角坐标方程的互化公式可得曲线的直角坐标方程，直接消去参数可得到直线的普通方程；

（2）将直线的参数方程代入，可得，然后由韦达定理利用参数的几何意义求解即可

【详解】(1)因为，

由，得，即为曲线C的直角坐标方程，

由得直线l的普通方程为．

(2)将直线l的参数方程代入，得，

设对应参数分别为，，则，，

可得互为相反数，

故．

23．已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）证明：当时，．

【答案】（1）切线方程是（2）证明见解析

【分析】（1）求导，由导数的几何意义求出切线方程．

（2）当时，,令，只需证明即可．

【详解】（1），．

因此曲线在点处的切线方程是．

（2）当时，．

令，则，

当时，，单调递减；当时，，单调递增；

所以 ．因此．

【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，由导数的几何意义可求出切线方程，第二问构造很关键，本题有难度．

24．已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值.

(1)求函数的解析式；

(2)当时，求函数的最大值.

【答案】(1)；

(2)11.

【分析】（1）根据导数的几何意义，结合极值的性质进行求解即可；

（2）根据导数的性质进行求解即可.

【详解】(1)，由题意得即

解得，，.所以，

，令，得或.

符合题意；

(2)由（1）可知：，而，

所以.

25．给定函数．

(1)判断函数的单调性，并求出的极值；

(2)求出方程的解的个数．

【答案】(1)函数在单调递增，在单调递减，的极小值为：，无极大值.

(2)当时，方程无解；当或时，方程有个解；当时，方程有个解.

【分析】（1）求导求单调性即可求解；

（2）画出函数的大致图像，数形结合即可判断.

【详解】(1)因为，所以，

令，解得，令，解得，所以函数在单调递增，

函数在单调递减，所以为函数的极小值点，

所以的极小值为：，无极大值.

综上所述：函数在单调递增，在单调递减，的极小值为：，无极大值.

(2)易知当时，，当时，，当时，，

再根据（1）中函数的单调性和极值可以大致作出函数图像如下所示：

由（1）知，的极小值即为函数最小值，方程的解的个数

等价于函数的图像与直线交点的个数，由下图可知：

当时，函数的图像与直线没有交点，故方程无解；

当时，函数的图像与直线有个交点，

故方程有个解；

当或时，函数的图像与直线有个交点，

故方程有个解；

综上所述：当时，方程无解；当或时，方程有个解；当时，方程有个解.

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，

对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：

 (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．

(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．

 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．