专题03：二次根式的加减-2021-2022学年下学期八年级数学期末复习备考一本通（人教版&全国通用）

专题03：二次根式的加减

1．设，，，……，．其中n为正整数，则的值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据题意，先求出，然后把代数式进行化简，再进行计算，即可得到答案．

【详解】解：∵n为正整数，

∴

＝

＝

＝

＝

＝；

∴

＝（1+）+（1+）+（1+）+…+（1+）

＝2021+1﹣

＝2021+1﹣

＝．

故选：D．

【点评】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是用裂项法将分数化成，再化简，寻找抵消规律求和．

2．下列各式计算正确的是（　　）

A．2+2＝4 B．2﹣＝2 C．÷＝3 D．＝±3

【答案】C

【解析】根据二次根式的加减法则、除法法则及二次根式的性质逐一求解即可．

【详解】解：A．2与2不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；

B．2﹣＝，此选项错误，不符合题意；

C．÷＝＝＝3，此选项计算正确，符合题意；

D．＝|﹣3|＝3，此选项错误，不符合题意；

故选：C．

【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．

3．图是嘉嘉的试卷，答对1题得25分，答错或者不答不得分，则嘉嘉的得分是（       ）

A．25分 B．50分 C．75分 D．100分

【答案】B

【解析】直接利用二次根式的性质、二次根式的加减乘除运算法则以及完全平方公式分别计算即可得出答案．

【详解】解：①，故此小题计算错误，

②，故此小题计算正确，

③，故此小题计算错误，

④，故此小题计算正确，

答对l题得25分，答错或者不答不得分，

嘉嘉的得分是：25×2=50(分)．

故选：B．

【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算以及二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键．

4．下列计算正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据二次根式的性质对A进行判断；根据二次根式的加减法对B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的乘方对D进行判断．

【详解】解：A．，所以A选项不符合题意；

B．，所以B选项不符合题意；

C．，，所以C选项不符合题意；

D．，所以D选项符合题意；

故选：D．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．

5．已知a＝，b＝，则的值为（　　）

A．﹣2 B．2 C．﹣2 D．2

【答案】A

【解析】先进行通分计算，然后代入求值即可．

【详解】解：原式＝

＝

当a＝，b＝时，

原式＝

＝

＝﹣2

故选：A．

【点评】本题主要考查了分式的化简求值以及二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算成为解答本题的关键．

6．若，则x2－y2的值为（       ）

A． B． C．0 D．2

【答案】A

【解析】首先利用平方差公式分解因式，再把字母的值代入，即可求解．

【详解】解：∵，，

∴

故选：A．

【点评】本题考查了利用平方差公式分解因式，代数式求值问题，熟练掌握和运用平方差公式是解决本题的关键．

7．估计的值应在（       ）

A．7和8之间 B．6和7之间

C．5和6之间 D．4和5之间

【答案】A

【解析】原式利用二次根式乘除法运算法则计算得到结果，估算即可．

【详解】解：

∵16＜24＜25，即42＜＜52，

∴4＜2＜5，

∴7＜3＋2＜8，

∴的值应在7和8之间．

故选：A．

【点评】此题考查了估算无理数的大小，以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

8．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则剩余部分（阴影部分）的面积等于（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】如图，由题意知S正方形BCDM＝BC2＝32(cm2)，S正方形HMFG＝HG2＝18(cm2)，得BC=（cm），HG=（cm），进而求得S阴影部分=S矩形ABMH+S矩形MDEF．

【详解】解：如图．

由题意知：S正方形BCDM＝BC2＝32(cm2)，S正方形HMFG＝HG2＝18(cm2)．

∴BC=（cm），HG=（cm）．

∵四边形BCDM是正方形，四边形HMFG是正方形，

∴BC=BM=MD=4cm，HM=HG=MF=3cm．

∴S阴影部分=S矩形ABMH+S矩形MDEF

=BM•HM+MD•MF

=4×3+4×3

=48（cm2）．

故选：C．

【点评】本题主要考查二次根式，熟练掌握二次根式的化简以及运算是解决本题的关键．

9．在ABC中，AB＝，BC＝，下列选项中，可以作为AC长度的是（　　）

A．2 B．4 C．5 D．6

【答案】A

【解析】根据三角形三边关系，两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可以得到AC的长度的取值范围，从而得到答案．

【详解】解：∵在△ABC中，AB＝，BC＝，

∴﹣＜AC＜+，

∵（+）2＝8+4＜8+4×2＝16＝42，

∴+＜4，

∵＞，

∴﹣＞0，

∴0＜AC＜4，

∴AC的长度可以是2，

故选项A正确，选项B、C、D不正确，

故选：A．

【点评】本题考查三角形三边关系以及二次根式的比较大小，解答本题的关键是明确题意，利用三角形三边关系解答．

10．已知最简二次根式与2可以合并成一项，则a，b的值分别为（　　）

A．a＝1，b＝2 B．a＝﹣1，b＝0 C．a＝1，b＝0 D．a＝﹣1，b＝2

【答案】C

【解析】根据最简二次根式和合并同类二次根式的法则得出方程组，求出方程组的解即可．

【详解】∵最简二次根式与2可以合并成一项，

∴，

解得：a＝1，b＝0，

故选：C．

【点评】本题考查最简二次根式和同类二次根式，二元一次方程组的解法，掌握这些知识点是关键.

11．已知，那么的值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据，求的值，即可求得的值

【详解】解：

=12

所以，．

故选B．

【点评】本题考查完全平方公式和二次根式的的运用，解题的关键是与的关系．

12．如图，数轴上与1，对应的点分别为A，B，点B关于点A的对称点为点C，设点C表示的数为x，则|x﹣|＋＝（       ）

A． B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】根据题意A点表示的数是B，C两点表示的数的平均数，可求出x的值为2﹣，接下来进行实数的简单计算，即可得出结论．

【详解】解：∵点B关于点A的对称点为点C，

∴AB＝AC．

∴1﹣x＝﹣1，

解得，x＝2﹣，

∴点C表示的数x为2﹣，

∵|x﹣|＝2﹣2，＝2＋，

∴2﹣2＋2＋＝3，

故选：C．

【点评】本题考查了绝对值的化简、二次根式的化简等知识点．利用对称的性质求出x的值是解决本题的关键．

13．当时，式子_____________．

【答案】2021

【解析】将所求式子变形为，再将x值代入计算即可．

【详解】解：∵，

∴

=

=

=

=

=2021

故答案为：2021．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值，解题的关键是将所求式子合理变形．

14．计算：______．

【答案】

【解析】先分母有理化，再根据二次根式的加减运算法则求解即可．

【详解】解：

故答案为：．

【点评】本题考查分母有理化、二次根式的加减运算，熟练掌握分母有理化的方法是解答的关键．

15．已知4x2+y2﹣4x﹣6y+10＝0，则（x+y2）﹣（x2﹣5x）的值为 _____．

【答案】-

【解析】先利用配方法得到（2x﹣1）2+（y﹣3）2＝0，则利用非负数的性质可解得x＝，y＝3，再化简原式，先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并得到原式＝，然后把x和y的值代入计算即可．

【详解】解：∵4x2+y2﹣4x﹣6y+10＝0，

∴（2x﹣1）2+（y﹣3）2＝0，

∴2x﹣1＝0，y﹣3＝0，

∴x＝，y＝3，

原式＝

=

当x＝，y＝3，

原式＝

故答案为-．

【点评】本题考查了完全平方公式及二次根式的化简求值，解题的关键是求出x＝，y＝3．

16．观察下列各式：

；；；……请利用你发现的规律，计算：其结果为_________．

【答案】

【解析】先根据所给式子，找到规律，判断出每个式子的值，再整体求和．

【详解】

=

故答案为：

【点评】本题主要考查探索规律，二次根式的化简等内容，根据给出式子，找到规律是解题关键．

17．已知m、n分别表示的整数部分和小数部分，求＝________．

【答案】6

【解析】先判断在哪两个连续整数之间，再判断的整数部分和小数部分得到m、n的值代入所求代数式即可求解．

【详解】解：∵，

∴，

∴，

∴，

∴，，

∴，

故答案为：

【点评】本题考查了代数式的求值问题，根据夹逼法求得的整数部分和小数部分得到m、n的值是解题的关键．

18．已知x、y满足关系式子，则的值为_________．

【答案】

【解析】先分别化简各二次根式，再计算加减法，由得到，求出x、y的值代入原式计算即可．

【详解】解：原式=

=

=，

∵，

∴，

∴，

得2x-1=0，y-3=0，

解得，y=3，

∴原式==．

【点评】此题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式的计算法则，正确掌握二次根式的性质进行化简及完全平方公式是解题的关键．

19．先化简，再求值

，其中，

【答案】，

【解析】先去括号，把除法变为乘法把分式化简，再把数代入求值，最后分母有理化．

【详解】解：原式

；

当，时，

原式．

【点评】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．

20．已知，求下列代数式的值：

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)

【解析】先计算出a+b=2，a-b=4，ab=7-4=3，再利用因式分解法得到（1）原式=ab（a+b）；

（2）原式=（a+b）（a-b），然后利用整体代入的方法计算．

(1)

解：∵a=+2，b=−2，

∴a+b=2，a-b=4，ab=7-4=3，

∴原式=ab（a+b）=3×2=6；

(2)

解：原式=（a+b）（a-b）=2×4=8．

【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代入的方法可简化计算．

21．计算：．

【答案】

【解析】根据二次根式的混合计算法则求解即可．

【详解】解：

．

【点评】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．

22．先化简后求值：当时，求的值

【答案】，

【解析】首先把分式的分子分母分解因式，先算括号再算除法，最后再代入x的值即可得到答案．

【详解】原式．

．

．

．

当时，原式=

【点评】本题考查了分式的化简求值以及二次根式的运算，正确对分式的分子、分母进行分解因式是关键．

23．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：

已知，求的值．他是这样解答的：

，

，

．

．

．

请你根据小明的解题过程，解决如下问题：

(1)______________；

(2)化简；

(3)若，求的值．

【答案】(1)

(2)12

(3)4

【解析】（1）利用分母有理化计算；

（2）先分母有理化，然后合并即可；

（3）先利用a＝＋2得到a−2＝，两边平方得到a2−4a＝1，然后利用整体代入的方法计算．

(1)

故答案为：

(2)

解：原式＝

；

(3)

，

a−2＝，

∴（a−2）2＝5，即a2−4a＋4＝5．

∴a2−4a＝1．

∴a4−4a3−4a＋3＝a2（a2−4a）−4a＋3

＝a2×1−4a＋3

＝a2−4a＋3

＝1＋3

＝4．

【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．

24．如图，数轴上点B，C关于A成中心对称，若点A表示的数是1，点B表示的数是．

(1)填空：线段AB的长是___________，点C表示的数为___________；

(2)点C表示的数为a，a的小数部分为b，求ab的值．

【答案】(1)，

(2)1

【解析】（1）根据点A表示的数是1，点B表示的数是．可得，再由点B，C关于A成中心对称，可得，即可求解；

（2）根据题意可得，再估算出的整数部分，可得，即可求解．

(1)

解：∵点A表示的数是1，点B表示的数是．

∴，

∵点B，C关于A成中心对称，

∴，

∴点C表示的数为；

故答案为：，；

(2)

解：∵点C表示的数为a，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵a的小数部分为b，

∴，

∴．

【点评】本题主要考查了二次根式的应用，无理数的估算，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键．

25．“分母有理化”是我们常见的一种化简的方法．

如：．

除此之外，我们也可以平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．

如：化简．

解：设，易知．故．

由于．

解得，即．

根据以上方法，化简：．

【答案】

【解析】由常见的分母有理化利用平方差公式化解，由题提供的方式化简，之后再整理即可得．

【详解】解：，

设，

∵，

∴，

∵

，

∴，

∴原式．

【点评】本题考查了分母有理化以及提取题干信息的能力；关键在于要会用平方差公式进行分母有理化，读懂题干，能用平方差公式进行有理化．

26．阅读下面材料，然后回答问题：

在进行类似二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：

方法一：；

方法二：；

(1)请选一种方法化简：；

(2)化简：．

【答案】(1)；

(2)

【解析】（1）分子、分母都乘以，再进一步计算即可；

（2）先将各分数分母有理化，再进一步计算即可．

(1)

=；

(2)

=

=

=．

【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．