2022年山东省聊城市临清市中考数学二模试卷（含解析）

2022年山东省聊城市临清市中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1. 实数，，，中，最小的数是

A.  B.  C.  D.

2. 几何体的三视图如图所示，这个几何体是

A.  B.
C.  D.

3. 下列调查中，适宜采用抽样调查的是

A. 调查某批次医用口罩的合格率
B. 了解某校八年级一班学生的视力情况
C. 了解张百元钞票中有没有假钞
D. 调查神舟十四号载人飞船各零部件的质量

4. 如图，若，，那么

A.
B.
C.
D.

5. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

6. 对于实数，定义运算“”：，则方程的解为

A.  B.  C.  D.

7. 下表是有关企业和世界卫生组织统计的种新冠疫苗的有效率，则这种疫苗有效率的中位数是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，中，点为弦中点，连接，，，点是上任意一点，则度数为

A.
B.
C.
D.

9. 如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是

A. 或 B. 或
C.  D.

10. 在设计人体雕像时，使雕像上部腰部以上与下部腰部以下的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是
    参考数据：，，

A.
B.
C.
D.

11. 如图，中，，，，则的内切圆的半径为

A.
B.
C.
D.

12. 如图，在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴，直线沿轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形截得的线段长为，直线在轴上平移的距离为，、间的函数关系图象如图所示，那么矩形的面积为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

13. 分解因式： ______ ．
14. 不等式组的解集为______．
15. 一个不透明的口袋中有两个完全相同的小球，把它们分别标号为，随机摸取一个小球后，放回并摇匀，再随机摸取一个小球，两次取出的小球标号的和等于的概率为______ ．
16. 如图，中，，是上任意一点，于点，于点，若，则 ______ ．
     

17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，，已知，作点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，，依此类推，则点的坐标为______．

三、解答题（本大题共8小题，共69分）

18. 计算：．
    化简：．
19. 为了解学生寒假阅读情况，某学校进行了问卷调查，对部分学生假期的阅读总时间作了随机抽样分析．设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为小时，阅读总时间分为四个类别：，，，，将分类结果制成如下两幅统计图尚不完整．
    根据以上信息，回答下列问题：
    本次抽样的样本容量为______；
    补全条形统计图；
    扇形统计图中的值为______，圆心角的度数为______；
    若该校有名学生，估计寒假阅读的总时间少于小时的学生有多少名？

20. 如图，矩形中，，，点是对角线的中点，过点的直线分别交、边于点、．
    求证：四边形是平行四边形；
    当时，求的长．
21. 某公司生产的一种营养品信息如表已知甲食材每千克的进价是乙食材的倍，用元购买的甲食材比用元购买的乙食材多千克．

问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？
该公司每日用元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．
问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？
已知每日其他费用为元，且生产的营养品当日全部售出若的数量不低于的数量，则为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？

22. 
    今年是建党周年，学校新装了国旗旗杆如图所示，星期一该校全体学生在国旗前举行了升旗仪式仪式结束后，站在国旗正前方的小明在处测得国旗处的仰角为，站在同一队列处的小刚测得国旗处的仰角为，已知小明目高米，距旗杆的距离为米，小刚目高米，距小明米，求国旗的宽度是多少米？最后结果保留一位小数
    参考数据：，，
23. 已知点为函数图象上任意一点，连接并延长至点，使，过点作轴交函数图象于点，连接．
    
    如图，若点的坐标为，求点的坐标；
    如图，过点作，垂足为，求四边形的面积．
24. 如图，是直径，弦，垂足为点弦交于点，点在延长线上，且．
    求证：为切线；
    若，，，求的长．

25. 如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，连接．
    求该抛物线的函数表达式；
    如图，直线：经过点，点为直线上的一个动点，且位于轴的上方，点为抛物线上的一个动点，当轴时，作，交抛物线于点点在点的右侧，以，为邻边构造矩形，求该矩形周长的最小值；
    如图，设抛物线的顶点为，在的条件下，当矩形的周长取最小值时，抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，
，
，
最小的数是，
故选：．
先估算出的范围，再求出的范围，再根据实数的大小比较法则比较大小，再得出选项即可．
本题考查了算术平方根和实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键，注意：正数都大于，负数都小于，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
 

2.【答案】

【解析】解：根据该组合体的三视图发现该几何体为
．
故选：．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
考查了由三视图判断几何体的知识，解题时要认真审题，仔细观察，注意合理地判断空间几何体的形状．
 

3.【答案】

【解析】解：、调查某批次医用口罩的合格率，适合采用抽样调查，故A符合题意；
B、了解某校八年级一班学生的视力情况，适合采用全面调查，故B不符合题意；
C、了解张百元钞票中有没有假钞，适合采用全面调查，故C不符合题意；
D、调查神舟十四号载人飞船各零部件的质量，适合采用全面调查，故D不符合题意；
故选：．
根据全面调查与抽样调查的特点判断即可．
本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：，，
，．

．
故选：．
先利用平行线的性质说明、、、间关系，再利用角的和差关系求出．
本题主要考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”是解决本题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C正确，符合题意；
与不是同类二次根式，相加不能合并，故选项D错误，不符合题意；
故选：．
根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以判断哪个选项符合题意．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：，，
，
，
，
经检验是方程的解，
故选：．
先求出，，得出方程，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程和实数的运算，能根据新运算得出是解此题的关键，注意解分式方程一定要进行检验．
 

7.【答案】

【解析】解：从小到大排列此数据为：、、、、，其中处在第位为中位数．
故选：．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
本题考查了中位数的概念．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．
 

8.【答案】

【解析】解：作所对的圆周角，如图，
，，
平分，
，
，
，
．
故选：．
作所对的圆周角，如图，先利用等腰三角形的性质得到平分，则，再根据圆周角定理得到，然后根据圆内接四边形的性质计算的度数．
本题考查了圆周角定理：求出所对的圆周角的度数是解决问题的关键．
 

9.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数与不等式的关系，关键是利用数形结合的思想，把不等式解集转化为图象的交点问题． 与 的图象关于 轴对称，利用数形结合思想，把不等式的解集转化为图象的交点问题求解即可．
【解答】
解： 与 的图象关于 轴对称，
直线 与抛物线 的交点 、 与点 、 也关于 轴对称，
如图所示：

， ，
， ，
根据函数图象得：不等式 的解集是 ．   

10.【答案】

【解析】解：设雕像的下部高为 ，则上部长为，
雕像上部腰部以上与下部腰部以下的高度比，等于下部与全部的高度比，雷锋雕像为，
，
，
即该雕像的下部设计高度约是，
故选：．
设雕像的下部高为 ，由黄金分割的定义得，求解即可．
本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：如图，，，，
，
设三边内切于点、、，连接、、，
，，，且，
可得四边形是正方形，
，
连接、、，

，
即，
，
解得．
的内切圆的半径为．
故选：．
根据，，，可得，设三边内切于点、、，连接、、，可得，，，且，可得四边形是正方形，，连接、、，由，列出方程即可求出的内切圆的半径的值．
本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是掌握三角形内心的定义．
 

12.【答案】

【解析】解：如图所示，过点、分别作的平行线，交、于点、．
由图象和题意可得，，，，
则，，
矩形的面积为．
故选：．
根据函数图象中的数据可以分别求得矩形的边长，的长，从而可以求得矩形的面积．
本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

13.【答案】

【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
 

14.【答案】

【解析】解：由，得：，
由，得：，
不等式组的解集为，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：画树状图如图：

共有种等可能的结果，两次取出的小球标号的和等于的结果有种，
两次取出的小球标号的和等于的概率为，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，两次取出的小球标号的和等于的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

16.【答案】

【解析】解：如图所示，连接，则，
于点，于点，
，，
又，，
，
即，
，
故答案为：．
连接，则，依据，，代入计算即可得到．
本题主要考查了等腰三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线将等腰三角形分割成两个三角形，利用面积法进行计算．
 

17.【答案】

【解析】解：由题意得，作出如下图形：

点坐标为，
点关于点对称的点的坐标为，
点关于点对称的点的坐标为，
点关于点对称的点的坐标为，
点关于点对称的点的坐标为，
点关于点对称的点的坐标为，
点关于点对称的点的坐标为，此时刚好回到最开始的点处，
其每个点循环一次，
，
即循环了次后余下，
故的坐标与点的坐标相同，其坐标为．
故答案为：．
先求出至点的坐标，找出其循环的规律为每个点循环一次即可求解．
本题考查了平面直角坐标系内点的对称规律问题，本题需要先去验算前面一部分点的坐标，进而找到其循环的规律后即可求解．
 

18.【答案】解：


；



．

【解析】根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值可以解答本题；
先算括号内的减法，然后计算括号外的除法即可．
本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

19.【答案】   

【解析】解：本次抽样的人数人，
样本容量为，
故答案为：；
组的人数为人，
补全统计图如下：

组所占的百分比为，
的值为，
，
故答案为：，；
总时间少于小时的学生的百分比为，
估计寒假阅读的总时间少于小时的学生有名，
答：估计寒假阅读的总时间少于小时的学生有名．
根据组的人数和百分比即可求出样本容量；
根据组所占的百分比即可求出组的人数；
根据组的人数即可求出组所占的百分比，根据组所占的百分比即可求出对应的圆心角；
先算出低于小时的学生的百分比，再估算出全校低于小时的学生的人数．
本题主要考查统计图形的应用，能看懂统计图是关键，一般求总量所用的公式是一个已知分量除以它所占的百分比，第一问基本都是求总量，所以要记住，估算的公式是总人数乘以满足要求的人数所占的百分比，这两种问题中考比较爱考，记住公式，平时要多加练习．
 

20.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
又因为，，
≌，
，
又因为，
四边形是平行四边形；
解：，四边形是平行四边形
四边形是菱形，
，，，
设，则
在中，根据勾股定理，有
，
解之得：，
，
在中，根据勾股定理，有
，
 ，
在中，根据勾股定理，有，
，
．

【解析】根据矩形的性质得到，由平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到四边形是平行四边形；
推出四边形是菱形，得到，，，设，则根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：设乙食材每千克进价为元，则甲食材每千克进价为元，
由题意得，
解得，
经检验，是所列方程的根，且符合题意，
元，
答：甲食材每千克进价为元，乙食材每千克进价为元；
设每日购进甲食材千克，乙食材千克，
由题意得，解得，
答：每日购进甲食材千克，乙食材千克；
设为包，则为包，
的数量不低于的数量，
，
，
设总利润为元，根据题意得：
，
，
随的增大而减小，
当时，的最大值为，
答：当为包时，总利润最大，最大总利润为元．

【解析】设乙食材每千克进价为元，则甲食材每千克进价为元，根据“用元购买的甲食材比用元购买的乙食材多千克”列分式方程解答即可；
设每日购进甲食材千克，乙食材千克，根据的结论以及“每日用元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完”列方程组解答即可；
设为包，则为包，根据“的数量不低于的数量”求出的取值范围；设总利润为元，根据题意求出与的函数关系式，再根据一次函数的性质，即可得到获利最大的进货方案，并求出最大利润．
本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和一次函数关系式，利用一次函数的性质和不等式的性质解答，注意分式方程要检验．
 

22.【答案】解：作于，于，
由题意得米，
则米，
在中，，
米，
米，
米，
米，
米，
在中，，
，
米，
米
故国旗的宽度约为米．

【解析】先过点作于，在中，得到米，即可求得米，进而求得米，再在中，利用锐角三角函数，求得，即可根据求得即可．
本题主要考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解：将点坐标代入到反比例函数中得，
，
，
点的坐标为，
，，
点的坐标为，
轴，
点的纵坐标为，
令，则，
，
点的坐标为；
设

，
，
点的坐标为

，
轴，
轴，
又，
轴，
点的坐标为，

，
轴，且点在函数图象上，
 

，

，
 

，
 

，
四边形的面积为：．

【解析】先由反比例函数解析式求出点坐标，再由点的坐标平移规律求得点坐标，由于轴，得到点和点的纵坐标相同，从而得到点的纵坐标，再由反比例函数解析式求出点的横坐标，即可解决；
由于轴，点和点坐标中已经求解，故可以得到的长度，进而求得的面积，由于，可以证明轴，从而求得点坐标，得到线段和的长度，进一步得到的面积，与的面积之差即为四边形的面积．
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征，是解决本题的关键．
 

24.【答案】
证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是半径，
为切线；

解：如图，连接，过点作，垂足为，
是直径，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
在中，，，
，，
，
，
，，
，
，，
∽，
，即，
解得：，
的长为．

【解析】连接，由，，得到，即可证明；
连接，过点作，垂足为，由，，求得的长度，继而利用三角函数求得，，求出，，再利用∽，即可求出的长．
本题考查了切线的判定方法，利用等角之间的转化，能够求得半径与直线的垂直是证明切线的关键，能够灵活应用三角函数和三角形相似是解决线段长度的关键．
 

25.【答案】解：设抛物线的表达式为，
即，
即，解得，
故抛物线的表达式为；
将点的坐标代入直线的表达式得：，解得，
故直线的表达式为，
设点的坐标为，则点的坐标为，
由题意得，点、关于抛物线对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线，
故点的横坐标为，则，
设矩形周长为，则，
，开口向上，故C有最小值，
当时，矩形周长最小值为；
当时，，即点的坐标为，
由抛物线的表达式知，点的坐标为，

过点作于点，
则，
同理可得，，
则，
，
故，
当点在下方时，
在中，，
故BF和重合，
故点和点重合，
即点．
当点在上方时，故A点关于的对称点在直线上
，，，
，
，
，
为中点，即
由点，可得直线：
联立直线与二次函数：
解得舍或，即
综上所述，抛物线上存在点，使得，点的坐标为或

【解析】用待定系数法即可求解；
设点的坐标为，则点的坐标为，设矩形周长为，则，即可求解；
过点作于点，则，同理可得，，则，在中，，即可求解，再证得，找到点关于的对称点，求得点坐标．
本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．