2021-2022学年重庆市南川区八年级（下）期中数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年重庆市南川区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48分）

1. 要使得式子有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 能判定四边形为平行四边形的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

3. 下列条件中，不能判断为直角三角形的是(    )

A. ，， B. ：：：：
C.  D. ：：：：

4. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 设，在两个相邻整数之间，则这两个整数是(    )

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

6. 已知一个直角三角形的两边长分别为和，则第三边长是(    )

A.  B.  C.  D. 或

7. 如图，在矩形中，、、、分别为边、、、的中点，若，，则图中阴影部分四边形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在中，，，，点，分别是直角边，的中点，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，长为的橡皮筋放置在水平的轴上，固定两端和，然后把中点垂直向上拉升至点，则橡皮筋被拉长了(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知、为实数，且，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

12. 如图，点为正方形的中心，平分交于点，延长到点，使，连结交的延长线于点，连结交于点，连结则以下四个结论中：，，，正确结论的个数为(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共4小题，共16分）

13. 计算：______．
14. 矩形的两条对角线的夹角为，较短的边长为，则对角线长为______ ．
15. 如图，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为、、，且，，则的长为______ ．

16. 某公司急需生产一批不超过套的工装服一套工装服含领带、衬衣、裙子各一件该公司计划将员工分为甲、乙、丙三个组，分别生产领带、衬衣、裙子，他们于某天零时同时开工，每天小时轮班连续工作假设每小时工作效率相同，若干天后的零时甲完成任务，再几天后不少于一天的中午时乙完成任务，再过几天不少于一天后的时丙完成了任务，已知三个组每天完成的任务分别是件，件，件，则该公司甲组完成任务工作了______天．

三、解答题（本大题共9小题，共86分）

17. 计算：
    ；
    ．
18. 我校要对如图所示的一块地进行绿化，已知米，米，，米，米，求这块地的面积．

19. 如图，是平行四边形的对角线．
    尺规作图：作线段的垂直平分线，直线分别交、、于点、、不写作法，保留作图痕迹；
    证明：．

20. 已知：，，求：
    ；
    的值．
21. 如图，已知菱形的对角线相交于点，延长至点，使，连接．
    求证：；
    若，求的大小．

22. “某市道路交通管理条例“规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过千米时，如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方米的处，过了秒后到达处，测得小汽车与车速检测仪间的距离为米，请问这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？

23. 如图，矩形中，，点、分别在边、上．
    若，求证：；
    若四边形是菱形，求菱形的周长．

24. 对于任意一个两位数，如果等于两个正整数的平方和，那么称这个两位数为“平方和数”，若、为正整数，记例如：，就是一个“平方和数”，则．
    判断是否是“平方和数”，若是，请计算的值；若不是，请说明理由；
    若是一个“平方和数”，且，求的值．
25. 如图，正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交、或它们的延长线于点、．
    当绕点旋转到时如图，证明：．
    当绕点旋转到时如图，求证：．
    当绕点旋转到如图位置时，线段、和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据题意，得
，
解得．
故选：．
根据二次根式有意义，被开方数大于等于，列不等式求解．
本题主要考查二次根式有意义的条件的知识点，代数式的意义一般从三个方面考虑：当代数式是整式时，字母可取全体实数；当代数式是分式时，分式的分母不能为；当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，，则四边形是平行四边形或等腰梯形；故本选项错误；
B、，，则四边形为平行四边形；故本选项正确；
C、，，则四边形为等腰梯形或矩形；故本选项错误；
D、，，不能判定四边形为平行四边形；故本选项错误．
故选：．
直接利用平行四边形的判定定理判定，即可求得答案．注意掌握排除法在选择题中的应用．
此题考查了平行四边形的判定．注意掌握举反例的解题方法是解此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理，直角三角形的判定，根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理结合解方程是解题的关键．
A、根据勾股定理的逆定理进行判定即可；
B、根据比值并结合勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状；
C、根据三角形的内角和为度，即可计算出的值；
D、根据角的比值求出各角的度数，便可判断出三角形的形状．
【解答】
解：、正确，符合勾股定理的逆定理，故成立；
B、正确，因为：：：：，
所以设，，，
则，
故为直角三角形；
C、正确，因为，，
则，故为直角三角形；
D、错误，因为：：：：，
所以设，则，，
故，解得，
即，，，
故此三角形是锐角三角形．
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：．，故此选项符合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用二次根式的乘法运算法则、二次根式的性质以及二次根式的加减运算法则分别计算，进而判断得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
在两个相邻整数和之间；
故选：．
先对进行估算，再确定是在哪两个相邻的整数之间，然后计算介于哪两个相邻的整数之间．
此题主要考查了估算无理数的大小，注意首先估算无理数的值，再根据不等式的性质进行计算．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
 

6.【答案】 

【解析】解：
分为两种情况：斜边是有一条直角边是，由勾股定理得：第三边长是；
和都是直角边，由勾股定理得：第三边长是；
即第三边长是或，
故选：．
分为两种情况：斜边是有一条直角边是，和都是直角边，根据勾股定理求出即可．
本题考查了对勾股定理的应用，注意：在直角三角形中的两条直角边、的平方和等于斜边的平方．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接、，
四边形为矩形，
，，，
、、、分别为边、、、的中点，
，，，
，
故选：．
连接、，根据矩形的性质得到，求出，，，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是中点四边形，掌握矩形的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：在中，，
，
，分别是直角边，的中点，
，
故选：．
根据直角三角形的性质求出，根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
 

9.【答案】 

【解析】解：中，，；
根据勾股定理，得：；
；
故橡皮筋被拉长了．
故选：．
据勾股定理，可求出、的长，则即为橡皮筋拉长的距离．
此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，
故选：．
根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数求出的值，代入求得的值，代入代数式求值即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，，
，
由折叠的性质得：，
，
，
设，，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
的面积；
故选：．
由矩形的性质和折叠的性质得出，证出，设，，在中，根据勾股定理得出方程，解方程求出，的面积，即可得出结果．
本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【解答】
解：作于，连接，根据正方形性质和角平分线可知，，，

平分，
，
，，
，
，，
，
、、在同一直线上，
易证≌




，
是的中位线
；故正确；
，，
是的中位线，
，，
，

，
，故错误．
由可知，，
，，
，
，
，故正确；
，
，
，
；故正确．
故选B．
【分析】
此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质以及正方形的性质．解答此题的关键是作出辅助线，构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质结合角平分线的性质逐步解答．
根据已知对各个结论进行分析，从而确定正确的个数．作于，连接，由全等三角形的判定定理可得≌，得出是的中位线即可得出结论；
根据是的中位线，得出，由，可得出结论；
易证得是等腰三角形，继而证得；
求出即可求出结论．  

13.【答案】 

【解析】解：．
故答案为．
根据算术平方根的性质进行化简，即．
此题考查了算术平方根的性质，即．
 

14.【答案】 

【解析】解：设对角线的交点为，又矩形的对角线互相平分，矩形的两条对角线夹角为，
则为等边三角形，
所以对角线的一半为，
则对角线长度为．
故答案为：．
若对角线的交点为，可证为等边三角形，即可求得对角线的一半，继而可得对角线长度．
此题主要考查了矩形的性质以及等边三角形的判定，根据已知得出为等边三角形是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是勾股定理的应用及正方形的面积公式，熟知勾股定理是解答此题的关键．
先设的三边分别为、、，再分别用、、表示、、的值，由勾股定理即可得出的值．
【解答】
解：设的三边分别为、、，
，，，
是直角三角形，
，即，
，
则．
故答案是：．  

16.【答案】 

【解析】解：设甲组工作了天，乙工作了天零小时，丙工作了天零小时，
由题意得：，
，
由题意可知：，
解得：，
，，均为正整数，
，
故答案为：．
设甲组工作了天，乙工作了天零小时，丙工作了天零小时，根据题意列出方程组，进而用表示出和，再由题意可知：，得出，由，，均为正整数，得出，，的值，即可得出答案．
本题考查了三元一次方程组的应用，根据题意正确列出三元一次方程组及不等式组求出的取值范围是解决问题的关键．
 

17.【答案】解：原式
；

原式

． 

【解析】直接化简二次根式，进而合并得出答案；
直接化简二次根式，再利用二次根式的除法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

18.【答案】解：如右图所示，连接，
，
，
，
又，，
，
是直角三角形，
．
答：这块地的面积是平方米． 

【解析】先连接，在中，利用勾股定理可求，进而求出，利用勾股定理逆定理可证是直角三角形，再利用，即可求地的面积．
本题考查了勾股定理及其逆定理的应用．关键是根据，构造直角三角形，并证出是直角三角形．
 

19.【答案】解：如图，为所作；

证明：垂直平分，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
即． 

【解析】利用基本作图作的垂直平分线即可；
先利用垂直平分得到，再根据平行四边形的性质得到，，则，接着证明≌得到，从而得到．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质．
 

20.【答案】解：，，
，，
；
． 

【解析】先计算出和的值，
利用因式分解的方法把变形为，然后利用整体代入的方法计算；
利用通分和完全平方公式把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代入的方法可简化计算．
 

21.【答案】证明：菱形，
，，
又，
，，
四边形是平行四边形，
；

解：平行四边形，
，
，
又菱形，
丄，
． 

【解析】根据菱形的对边平行且相等可得，，然后证明得到，，从而证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；
根据两直线平行，同位角相等求出的度数，再根据菱形的对角线互相垂直可得，然后根据直角三角形两锐角互余计算即可得解．
本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握菱形的对边平行且相等，菱形的对角线互相垂直是解本题的关键．
 

22.【答案】解：根据题意，得，，，
在中，根据勾股定理，，
所以，
小汽车秒行驶米，则小时行驶米，
即小汽车行驶速度为千米时，因为，
所以小汽车已超速行驶． 

【解析】根据题意得出由勾股定理得出的长，进而得出小汽车小时行驶米，进而得出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用，根据已知得出的长是解题关键．
 

23.【答案】证明：四边形为矩形，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
．
解：四边形是菱形，
，
设，
则，，
则，
化简有，
解得：，
将代入原方程检验可得等式两边相等，
即为方程的解．
则菱形的边长为：，
菱形的周长为． 

【解析】首先根据矩形的性质可得平行且等于，然后根据，可得平行且等于，即可证明四边形是平行四边形；
根据四边形是菱形，可得，然后设，表示出，的长度，根据相等求出的值，继而可求得菱形的边长及周长．
本题考查了矩形的性质和菱形的性质，解答本题的关键是则矩形对边平行且相等的性质以及菱形四条边相等的性质．
 

24.【答案】解：是“平方和数”，
，
是“平方和数”，
；
是一个“平方和数”，
设，
则，
，
，
即，
，
、为正整数，为两位数，
当，或，时，；
当，或，时，；
当，或，时，；
当，或，时，；
当，或，时，；
综上，的值为或或或或． 

【解析】根据“平方和数”的定义进行判断并求解即可；
根据“平方和数”的定义可得，可得，分别给、取正整数并且为两位数求解即可．
本题考查了因式分解的应用与新定义相结合，熟练掌握因式分解的方法以及理解新定义是解题的关键．
 

25.【答案】证明：如图，把绕点顺时针旋转，得到，
≌，
，，
四边形是正方形，
，
，
点、、三点共线．
，
又，
在与中，
，
≌，
，
，
，
，
；

证明：如图，把绕点顺时针旋转，得到，
≌，
，，
四边形是正方形，
，
，
点、、三点共线．
，
又，
在与中，
，
≌，
，
，
；

．
理由：如图，在线段上截取，连接，
在与中，
，
≌，
，
．
在和中，
，
≌，
，
． 

【解析】把绕点顺时针旋转，得到，证得、、三点共线，即可得到≌，从而证得；
证明方法与类似；
在线段上截取，判断出≌，同的方法，即可得出结论．
本题是四边形综合题，考查正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题．