2022届吉林省东北师大附中、长春市十一高中、吉林一中、四平一中、松原实验中学高三上学期联合模拟考试数学（文）试题含解析

2022届吉林省东北师大附中、长春市十一高中、吉林一中、四平一中、松原实验中学高三上学期联合模拟考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，则的真子集共有（       ）个．

A．3 B．4 C．6 D．7

【答案】A

【分析】解一元二次不等式求集合A，根据所得集合的元素个数判断其真子集的个数.

【详解】由题设，，

∴的真子集共有个.

故选：A.

2．已知为虚数单位，复数，则复数在复平面内对应的点位于(       )

A．第二象限 B．第三象限 C．直线上 D．直线上

【答案】D

【分析】根据复数的运算法则求出z和，根据复数的几何意义即可求解.

【详解】，

对应的点在第四象限，且在直线上.

故选：D.

3．已知，则“”是“”的（       ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

【答案】B

【分析】解不等式转化条件，结合充分必要性定义即可作出判断.

【详解】由得或，

∴“”是“”的必要非充分条件．

故选：B．

4．工厂生产某种产品的月产量与月份满足关系式，现已知该工厂今年1月份､2月份生产该产品分别为1万件､1.5万件，则此工厂4月份生产该产品的产量为（       ）

A．1.275万件 B．1.750万件 C．1.875万件 D．2.725万件

【答案】C

【分析】运用代入法，通过解方程组进行求解即可.

【详解】因为该工厂今年1月份､2月份生产该产品分别为1万件､1.5万件，

所以，

此工厂4月份生产该产品的产量为万件，

故选：C

5．在棱长为4的正方体内任取一点，则这个点到该正方体的中心距离不超过1的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用几何概型的概率公式求解，先求出以正方体的中心为球心，1为半径的球的体积，再求出正方体的体积，两体积相比可得答案

【详解】因为棱长为4的正方体的体积为，以正方体的中心为球心，1为半径的球的体积为，

所以在棱长为4的正方体内任取一点，则这个点到该正方体的中心距离不超过1的概率为，

故选：D

6．已知，若，则等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用同角三角函数的基本关系可得，再利用两角和的余弦公式，即可得到答案.

【详解】，，

，

.

故选：B.

7．已知向量，满足，，且与的夹角为，则（       ）

A．6 B．8 C．10 D．12

【答案】B

【分析】应用平面向量数量积的运算律展开目标式，根据已知向量的模和夹角求值即可.

【详解】由题设，.

故选：B.

8．一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，则这个圆柱的体积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据圆柱的侧面展开图确定圆柱的底面半径和高，即可求出其体积.

【详解】设圆柱的底面半径为r，高为h，

因为圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，

所以，，

所以，

所以圆柱的体积为.

故选：D.

9．已知是上的奇函数，且当时，，若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由奇函数性质有，结合已知条件及函数解析式求参数a，再利用奇函数性质求的值.

【详解】由题设，则，故，

所以时，，

则.

故选：C

10．已知线段是圆的一条动弦，且，若点为直线上的任意一点，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】过圆心作，将问题转化为，结合点到直线距离公式来进行求解.

【详解】圆的圆心为，半径为，为直线上的任意一点，

过作，垂足为，则是的中点.

由，可得，

，则，又，

的最小值为．

故选：D.

11．已知数列的首项是，前项和为，且（），设，若存在常数，使不等式（）恒成立，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据数列的递推式可得到，构造等比数列求出，继而求出，再利用基本不等式求得的最大值，则可得答案.

【详解】当 时，由可得，

两式相减得： ，即，

而，，故 ，

所以 是以为首项，为公比的等比数列，

则 ，

故，

所以，

而 ，当且仅当 时取等号，

故，当且仅当 时取等号，

所以若存在常数，使不等式（）恒成立，

则的最小值为 ，

故选：C

12．已知，分别是双曲线：（，）的左､右焦点，直线与交于，两点，且，四边形的周长与面积满足，则的渐近线方程是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】不妨设，结合双曲线定义和余弦定理可得，再由

四边形的周长与面积关系求得关系，由得出关系即可求双曲线的渐近线.

【详解】不妨设，

由双曲线的定义可知，，即，

又，所以由余弦定理可得，

由可得 ，

由可得，

所以.

由题意可知，四边形为平行四边形，

所以四边形的周长，

 四边形的面积.

因为，所以，

整理得，由，得，即.

所以的渐近线方程是.

故选：C.

二、填空题

13．已知是公差为3的等差数列.若，，成等比数列，则的前6项和___________.

【答案】63

【分析】由等比中项的性质及等差数列通项公式求得，进而写出通项公式，利用等差数列前n项和公式求.

【详解】由题设，，则，解得，

所以，则.

故答案为：

14．已知函数的最小正周期为，则函数在区间上的最大值与最小值的和是___________.

【答案】1或或1

【分析】由最小正周期可得，讨论并结合正弦函数的性质求的值域，即可求最大值与最小值的和.

【详解】由题设，，则，

在上，当则，故；

当则，故；

综上，最大值与最小值的和为1或.

故答案为：1或

15．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为___________.

【答案】

【详解】首先将三视图的直观图放入长方体里，再计算其体积即可.

【点睛】将三棱锥放入长方体中，如图所示：

，三棱锥的体积.

故答案为：

16．已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【分析】利用函数奇偶性的定义可判断为奇函数，由导数判断为上的增函数，则所求不等式等价于，分离参数可得，构造函数，利用导数求的最大值即可求解.

【详解】因为，

所以为奇函数，

因为，所以为上的增函数，

由得，则，

因为，所以．

令，则，令，得，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

故，所以，即，

所以实数的取值范围为.

故答案为：

三、解答题

17．在中，角所对的边分别为，已知.

(1)求角；

(2)若，的面积为，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理边角互化得，进而得，在求解即可得答案；

（2）由面积公式得，进而根据题意得，，再根据余弦定理求解即可.

【详解】(1)解：因为，

所以，

因为，

所以，即，

因为，所以.

(2)解：因为的面积为，，

所以，即，

因为，所以，

所以，解得.

所以.

18．如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

（Ⅰ）求证：平面BCD；

（Ⅱ）求点E到平面ACD的距离.

【答案】（Ⅰ）详见解析 （Ⅱ）

【详解】试题分析：（Ⅰ）要证明平面BCD，需要证明，，证明时主要是利用已知条件中的线段长度满足勾股定理和等腰三角形三线合一的性质（Ⅱ）中由已知条件空间直角坐标系容易建立，因此可采用空间向量求解，以为坐标原点，以方向为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，

求出平面的法向量和斜线的方向向量，代入公式计算

试题解析：（Ⅰ）证明：为的中点，，

,，，，

又，，

，均在平面内，平面

（Ⅱ）方法一：以为坐标原点，以方向为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，则，

设为平面的法向量，则，

取，

，则点到平面的距离为

方法二：设点在上，且，连，

为的中点，

平面，平面，

平面，平面

平面，平面平面，且交线为

过点作于点，则平面

分别为的中点，则平面，平面，

平面，点到平面的距离即，

故点到平面的距离为

【解析】1.线面垂直的判定；2.点到面的距离

19．为了了解某工厂生产的产品情况，从该工厂生产的产品随机抽取了一个容量为20的样本，测量它们的尺寸（单位：），数据分为，，，，，，七组，其频率分布直方图如图所示.

(1)求上图中的值；

(2)根据频率分布直方图，求200件样本尺寸在内的样本数；

(3)记产品尺寸在内为等品，每件可获利5元；产品尺寸在内为不合格品，每件亏损2元；其余的为合格品，每件可获利3元.若该机器一个月共生产3000件产品.以样本的频率代替总体在各组的频率，若单月利润未能达到11000元，则需要对该工厂设备实施升级改造.试判断是否需要对该工厂设备实施升级改造.

【答案】(1)；

(2)（件）；

(3)需要对该工厂设备实施升级改造.

【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为进行求解即可；

（2）根据频率分布直方图中的数据进行求解即可；

（3）根据题意，结合频率分布直方图中的数据求出单月利润，最后比较大小即可.

【详解】(1)因为，

解得；

(2)200件样本中尺寸在内的样本数为（件）

(3)由题意可得，这批产品中优等品有（件），

这批产品中不合格品有件，

这批产品中合格品有（件），

元.

所以该工厂生产的产品一个月所获得的利润为10680元，

因为，

所以需要对该工厂设备实施升级改造.

20．已知椭圆：（）过点，､分别为椭圆的左､右焦点，且焦距为.

(1)求椭圆的方程；

(2)过椭圆左顶点的直线与椭圆交于另一点（点在第二象限），的垂直平分线交轴负半轴于点，为椭圆右顶点.设直线的斜率为，直线的斜率为，且满足，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用椭圆的焦距求出的值，然后将的坐标代入椭圆方程，求得的值，即可得出椭圆C的方程.

（2）设直线的方程为，将此直线方程与椭圆的方程联立，求出点的坐标，求出线段的中垂线方程，可求得点的坐标，由，求出的值，即可得出直线的方程

【详解】(1)设椭圆的焦距为（），则､，，

由已知可得,解得，

所以椭圆的方程为；

(2)设直线的方程为（），设点，

联立，可得，故，即点，

所以，解得，

因为点，所以，线段的中点为，

因为点，，

线段的中垂线方程为，

在直线方程中，令，可得，

即点，

，

所以，满足，有，

可得，解得，

因此，直线的方程为，即.

21．已知函数.

(1)若，求函数的单调区间及在处的切线方程；

(2)设函数，若时，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，切线方程为

(2)

【分析】（1）求出函数的导数，判断导数的正负，可得函数的单调区间；根据导数的几何意义求得切线方程；

（2）求函数的导数，判断导数的正负，确定函数的最值，将时，恒成立的问题转化为求函数的最小值问题，分类讨论函数的最小值情况，构造函数利用导数求得参数的取值范围.

【详解】(1)时，

由有，由有，

所以，在上单调递减，在上单调递增,

又，所以切点为，切线斜率.

所以切线方程，

即切线方程为;

(2)，

,设 ，

则

在上单调递增，

当，即时，，

在上单调递增，

则，故.

当，即时，，

，

即或，

时，在上单调递减，

时，在上单调递增，

则，

由，今函数，且，

在上单调递增，，

综上，实数的取值范围是.

【点睛】本题综合考查了导数的几何意义和利用导数求函数的单调区间以及用导数解决恒成立问题，综合考查了学生灵活应用导数的知识解决问题的能力，有一定难度，解答的关键时将恒成立问题转化为函数的最值问题时，其中要注意分类讨论，构造函数等方法的运用.

22．在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线和直线的极坐标方程；

（2）若点在直线上，且，射线与曲线相交于异于点的点.求的最小值.

【答案】（1）曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为；（2）

【分析】（1）首先将曲线的参数方程转化为普通方程，再根据将直角坐标方程转化为极坐标方程；

（2）设点的极坐标为，点的极坐标为，其中，由（1）中的极坐标方程可得，，再根据三角恒等变换及正弦函数的性质计算可得；

【详解】解：（1）因为曲线的参数方程为（为参数），所以，即，因为，所以，所以曲线的极坐标方程为

因为直线的方程为，所以直线的极坐标方程为

（2）设点的极坐标为，点的极坐标为，其中，由（1）知，，所以

因为，所以，所以，

所以当，即时，

23．已知的最小值为.

(1)解关于的不等式；

(2)若正实数，满足，求取最小值时的值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由绝对值的几何意义求，再应用公式法求不等式的解集.

（2）由（1）可得，应用基本不等式“1”的代换求的最小值，并确定对应参数a、b的值，即可求.

【详解】(1)由绝对值几何意义知：，当时等号成立，

∴，

由，可得，解得，

∴不等式解集为.

(2)由（1）及题设知：，

∴，当且仅当时等号成立，

∴.