2021-2022学年江西省九江市第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题含解析

2021-2022学年江西省九江市第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题

一、单选题

1．设复数满足，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.

【详解】由已知可得，因此，.

故选：D.

2．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出集合的补集，化简集合，再根据交集的概念可求出结果.

【详解】因为，所以，

又,

所以.

故选：B

3．的展开式中项的系数为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】展开式的通项公式，令即可求解.

【详解】解：展开式的通项公式，

令，解得，

所以展开式中项的系数为，

故选：A.

4．已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则p的值为（       ）

A．4 B． C．8 D．

【答案】A

【分析】先求得抛物线的焦点坐标，以及双曲线的右焦点坐标，再根据两者重合求解.

【详解】解：抛物线的焦点坐标为 ：双曲线的右焦点坐标为，

因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，

所以，解得，

故选：A

5．各项都是正数的等比数列中，若、、成等差数列，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设等比数列的公比为，则，进而可求得的值.

【详解】设等比数列的公比为，则，由已知可得，即，

，则，，解得，

所以，.

故选：B.

6．若向量满足，，，则与的夹角为(       )

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】，求得，由即可求夹角.

【详解】由题可知，，

∴，

∴向量与的夹角为.

故选：C.

7．已知三棱锥，PA，PB，PC两两垂直，，，在线段BC上任取一点M，则的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先推出，由得，再由余弦定理得，最后根据几何概型概率公式可求出结果.

【详解】因为，，，

所以平面，所以，

所以，

因为，所以，

所以，所以，

又，即，

所以，即，得，

又因为，

所以所求事件的概率为.

故选：B

8．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AD，BC上，且，．点P在正方形ABCD的边AD或BC上运动，若，则满足条件的点P的个数是（       ）

A．0 B．2 C．4 D．6

【答案】C

【分析】根据题意，考虑点P在AD上，根据PE⊥EF和，求出，然后根据对称性，考虑点P在BC上，即可得答案

【详解】先考虑点P在AD上，可知PE⊥EF，即，此时有2个点满足条件；由对称性，可知点P在BC上，情况一样，所以，共有4个点满足条件.

故选：C

9．已知函数，则不等式的解集为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】判断函数的奇偶性和单调性求解.

【详解】因为，

所以是奇函数，

又，当且仅当时，等号成立，

所以在R上递增，

由，得，

所以，

即，

解得，

故选：D

10．第24届冬奥会开幕式于2022年2月4日在北京举行．本届冬奥会开幕式上的“大雪花”融合了中国诗词、中国结和剪纸技艺等中国传统文化元素，很好地将奥林匹克精神和中国人民的友谊传递到世界各个角落，获得了世界人民的普遍赞誉．为弘扬中国优秀传统文化，某校将举办一次以“雪花”为主题的剪纸比赛，比赛以班级为单位，每班4人依次出场．现某班准备从包括甲乙丙在内的6名学生中选派4人参加比赛，其中学生丙必须参加，且当甲乙两同学同时参加时候，甲乙至少有一人与丙学生出场顺序相邻，那么此班级的4名学生不同的出场方法有（       ）种

A．228 B．238 C．218 D．248

【答案】A

【分析】分甲、乙均未参加,甲、乙中有1人参加和甲、乙都参加三类求解.

【详解】对甲、乙两名同学是否参加分类．

第一类，甲、乙均未参加：．

第二类，甲、乙中有1人参加：．

第三类，甲、乙都参加．

所以此班级的4名学生不同的出场方法有种．

故答案为：A

11．已知△ABC的角A、B、C对应的边分别是a、b、c，若，，，则△ABC的面积是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，，，求出，列出方程组，

，化简得到，进而计算求解即可.

【详解】可知（1）

（2）

（2）式整理得：

下面分类讨论：

①若，由（1），

即

②产生矛盾

故选：B

12．设，若存在正实数x，使得不等式成立，则k的最大值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题给不等式构造函数，再根据函数的性质求解参数的最值.

【详解】根据题意，，题中不等式两边同乘得，，

令，则不等式可化为

又在上为单调增函数，

，即

令，则由导函数可知，在上单调递减，在上单调递增

所以

所以，即的最大值为.

故选：.

二、填空题

13．由变量x与y相对应的一组成对样本数据、、、、得到的经验回归方程为＝2x＋45，则＝________.

【答案】63

【分析】求出，代入，可得．

【详解】由题意，，

代入，可得．

故答案为：63.

14．如图，在单位圆中，，､分别在单位圆的第一､二象限内运动，若，为等边三角形，则___________.

【答案】

【分析】先根据三角形面积公式求出，然后结合两角和与差的正弦公式求得答案.

【详解】由题意，，而点N在第二象限，所以，因为，所以.

故答案为：.

15．张衡（78年—139年）是中国东汉时期伟大的天文学家、文学家、数学家．他的数学著作有《算罔论》．他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点，，若线段的最大值为，利用张衡的结论可得该正方体内切球的表面积为______．

【答案】

【分析】设正方体的棱长为，分别求出正方体内切球半径和外接球半径，再根据线段的最大值为，求出正方体的棱长，即可求出正方体内切球的表面积，最后根据圆周率的平方除以十六等于八分之五，得到圆周率，从而求出内切球的表面积.

【详解】设正方体的棱长为，则正方体内切球半径，

正方体外接球半径满足，解得，

∵线段的最大值为，解得，

∴内切球半径为，

∴该正方体内切球的表面积，

又∵圆周率的平方除以十六等于八分之五，即，∴，

∴正方体内切球的表面积为．

故答案为：.

16．已知直线与函数的图象相交，A，B，C是从左到右的三个相邻点，设，则下列结论正确的是______．

①将函数的图象向右平移个单位长度后一定关于y轴对称；

②若在上只有一个零点，则的取值范围为；

③若，则；

④．

【答案】②④

【分析】①利用三角函数的图象变换和奇偶性求解判断；②，令，转化为在上有唯一解求解判断；③④，当t固定时，根据图象的左右平移不会改变的值，即与，无关，取，求解判断.

【详解】①将函数的图象向右平移个单位长度后得到，若图象关于y轴对称，则，解得，故错误；

②，令，则在上有唯一解，得，解得，故正确；

对于③④，当t固定时，由于图象的左右平移不会改变的值，故只需要考虑与相交的情况即可，进一步t固定时，图象的横向伸缩变换也不会改变的值；

即与，无关，取，分析即可，令有解，，，其中；

可知，解得，

则，

对于③令，即，故错误；

对于④即证：，可知，

下证：，，

令，，，

即证：；

因为，

所以在上单调递减，

所以成立，故正确；

故答案为：②④

三、解答题

17．已知为等差数列的前项和，，.

(1)求、；

(2)若数列的前项和，求满足的最小正整数.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）设等差数列的公差为d，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等差数列的通项公式与求和公式可求得结果；

（2）求得，利用裂项相消法可求得，然后解不等式，即可得解.

【详解】(1)解：设等差数列的公差为d，则，解得，

故，.

(2)解：由（1）得，.

故.

令，有，即.

故满足的最小正整数为.

18．北京冬奥会期间，志愿者团队“Field Cast”从所有参加冬奥会的运动健儿中分别抽取男女运动员各100人的年龄进行统计分析（抽取的运动员年龄均在区间[16，40]内），经统计得出女运动员的年龄频率分布直方图（图1）和男运动员的年龄扇形分布图（图2）．

回答下列问题：

(1)求图1中的a值；

(2)利用图2，估计参赛男运动员的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(3)用分层抽样方法在年龄区间为[16，24）周岁的女运动员中抽取5人，男运动员中抽取4人；再从这9人中随机抽取3人，记这3人中年龄低于20周岁运动员的人数为X，求X的分布列和数学期望．

【答案】(1)

(2)26.8周岁．

(3)分布列见解析，

【分析】（1）根据频率分布直方图中所有的小矩形的面积之和为1得到方程，解得即可；

（2）根据饼形图得到各年龄区间的频率，再根据平均数公式计算可得；

（3）首先求出男、女运动员年龄在区间和各抽取的人数，则的可能取值为，求出所对应的概率，即可得到的分布列与数学期望；

【详解】(1)解：依题意得：，解得；

(2)解：用每个年龄区间的中点值作为本区间的年龄值，

由图2可知：年龄区间为的频率分别为，

所以参赛男运动员的平均年龄估值为：

即男运动员的平均年龄估值为26.8周岁．

(3)解：由图1可知，年龄区间为周岁的女运动员有人，年龄区间为周岁的女运动员有人，

由图2可知：年龄区间为和周岁的男运动员分别有10人和30人，

用分层抽样女运动员年龄在区间和应分别抽取2人与3人，

男运动员年龄在区间和应分别抽取1人和3人．

所以抽取的9人中年龄在区间的有3人，在的有6人，

所以的可能取值为，所以

．

所以的分布列为：

所以

19．如图，三棱柱中，，，.

(1)证明；

(2)若平面⊥平面，，动点P在线段上，且的正弦值为，求与成角余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）是中点，连接，由等腰三角形的性质有，根据已知条件有，再由线面垂直的判定及性质即可证结论.

（2）由面面垂直的性质及（1）结论有，，两两垂直，构建空间直角坐标系，令、且，确定相关点坐标，再求面、面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示及已知正弦值求参数p，进而求与成角余弦值.

【详解】(1)若是中点，连接，由，则在等腰△中，

又，，在△中，即，

而，则面，

又面，即.

(2)由（1）知：，

又面⊥面，面面，面，

所以面，面，则，而，

因为，即△为等边三角形，不妨设，

综上，，，两两垂直，构建如下图示的空间直角坐标系，

则，，，

设且，，，

令是面的一个法向量，则，令，则，

又是面的一个法向量，则，

所以，可得，则，

而，则，即与成角余弦值为.

20．已知椭圆的一个焦点为．过焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB中点为D，O为坐标原点，过O，D的直线交椭圆于M，N两点．当直线l与x轴垂直时，．

(1)求椭圆C的方程；

(2)求四边形面积的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据通径长结合、可求出结果；

（2）当直线的斜率不存在或斜率为0时，直接计算该四边形的面积；当直线l斜率存在且不为0时，设直线，与椭圆方程联立，利用弦长公式求出，利用点到直线的距离公式求出到直线的距离，再利用面积公式可求出结果.

【详解】(1)由题意可得，解得，，

故椭圆的方程为．

(2)设四边形面积为S，

①当直线l与x轴垂直时，,,,

四边形面积,

②当直线l的斜率时，，直线MN过点O即可；此时四边形的面积；

③当直线l斜率存在且不为0时，设其方程为，

设点，，，则，点M，N到直线l的距离分别为，，

则四边形的面积为，

联立得，

则，，

所以

，

因为，所以AB中点，

则，则直线OD方程为，

联立解得，所以，

，，

所以，

又A，B在直线l两侧，所以

，

综上：四边形面积的最大值为．

21．已知函数，，为函数曲线上两点，且曲线在这两点处的切线，相互平行．

(1)若曲线在处的切线斜率为1，求的单调区间；

(2)若直线的纵截距与的纵截距的差恒大于，判断，的大小关系（要求给出证明）．

【答案】(1)单调增区间是，单调减区间是；

(2)，证明见解析

【分析】（1）先求导，由在处的切线斜率为1求出，再由导数确定单调区间即可；

（2）先由切线，相互平行求得，再求出直线的纵截距与的纵截距，利用纵截距的差恒大于得到，换元后构造函数求导利用单调性求解即可.

【详解】(1)可知，依题，

即

可知的单调增区间是，单调减区间是．

(2)，证明如下：

由题知，即，整理得，

由可得，故，切线的方程为，

令，得纵截距为：，

同理的纵截距为，

由题知，

即，代入得，

即，令，则有，

令，则，

故在单增，又，

故，即，即得．

【点睛】本题关键点在于解决第二问的时候先通过消去参数，再通过比值设参，构造函数求导借助单调性求解．

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．已知M是曲线上的动点，将OM绕点O逆时针旋转得到ON，设点N的轨迹为曲线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求曲线，的极坐标方程；

(2)若射线与曲线，分别相交于异于极点O的A，B两点，求的值．

【答案】(1)的极坐标方程为，的极坐标方程为；

(2)

【分析】（1）由曲线的参数方程消去参数得普通方程，再根据极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线的极坐标方程；利用代入法可得曲线的极坐标方程；

（2）根据极径的几何意义可求出结果.

【详解】(1)由消去参数得的直角坐标方程为，

所以的极坐标方程为，化简后得：；

设，则，将代入中，

得：，即的极坐标方程为．

(2)由题意可知，，，

所以．