2022年中考数学冲刺按题型难易度分层分类精选模拟题300题冲关训练（通用版）：15 解答题压轴题30题

这是一份2022年中考数学冲刺按题型难易度分层分类精选模拟题300题冲关训练（通用版）：15 解答题压轴题30题，共46页。试卷主要包含了解答题压轴题，二均可增加利润；等内容，欢迎下载使用。
15选择题压轴题30题

五、解答题压轴题
31．（2022•镜湖区校级一模）如图，在等边△ABC的AC，BC边上各取一点E，D，使AE＝CD，AD，BE相交于点O．
（1）求证：AD＝BE；
（2）若BO＝6OE＝，求CD的长．
（3）在（2）的条件下，动点P在CE上从点C向终点E匀速运动，点Q在BC上，连结OP，PQ，满足∠OPQ＝60°，记PC为x，DQ的长为y，求y关于x的函数表达式．
32．（2022•宿州一模）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，∠ABC＝90°．点O是AC中点，BO交AD于点E．
（1）求证：△AOB∽△ADC；
（2）若BE⊥AD，求：；
（3）若DE＝1，CD＝5，求OE的长．

33．（2022•亳州一模）如图，在△ABC中，AB＝BC，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，点F在DA的延长线上，连接BF交CE的延长线于点M，AD＝2CD．
（1）求证：△ABD≌△CBE；
（2）若AE＝α，求BD的长（用含α的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，若BM：MF＝25：38，EM＝5，求AF的长．

34．（2022春•安庆期中）根据图示，回答下列问题
（1）大正方形的面积S是多少？
（2）梯形Ⅱ，Ⅲ的面积SⅡ，SⅢ，分别是多少？
（3）试求SⅡ+SⅢ与S﹣SⅠ的值．
（4）由（3）你发现了什么？请用含a，b的式子表示你的结论．

35．（2022•砀山县模拟）为给同学们创造更好的读书条件，学校准备新建一个长度为L的读书长廊，并准备用若干块带有花纹和没有花纹的两种规格、大小相同的正方形地面砖搭配在一起，按如图所示的规律拼成图案铺满长廊，已知每个小正方形地面砖的边长均为0.6m．
（1）按图示规律，第一图案的长度L1＝　 　m；第二个图案的长度L2＝　 　m．
（2）请用代数式表示带有花纹的地面砖块数n与走廊的长度Ln之间的关系．
（3）当走廊的长度L为36.6m时，请计算出所需带有花纹图案的瓷砖的块数．

36．（2021秋•滨州月考）某生产车间专门加工生产螺栓和螺母，每人每天能生产螺母24个或螺栓15个，一个螺栓配两个螺母配成如图的一套．
（1）若安排20人生产螺栓，那么应安排多少人生产螺母才能使螺栓和螺母正好配套？
（2）若车间里有90名工人，那么应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母才能使螺栓和螺母正好配套？

37．（2022•安徽模拟）已知抛物线y＝（x﹣m）2﹣2（m﹣1）2和直线，m为常数，且m≥1．
（1）若该抛物线的顶点在x轴上，
①求m的值；
②若直线与抛物线相交于M，N两点，点P为线段MN上一动点，过P作x轴的垂线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．
（2）若直线与抛物线相交于A、B两点（B在对称轴的右边），且与抛物线的对称轴相交于C点，当CO＝CB时，求抛物线的顶点坐标．
38．（2022•桥西区模拟）小明在用描点法画抛物线C1：y＝ax2+bx+3时，列出了下面的表格：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
6
7
6
3
…
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）将抛物线C1先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线C2，C2的顶点为A，与x轴交点为点B，C（点B在点C左侧），连接AB，求tan∠ABC；
（3）在第（2）问条件下，点P为抛物线C2在第二象限内任意一点（不与点A重合），过点P作PD⊥x轴，垂足为D，直线AP交y轴于点Q，连接DQ．求证：AB∥DQ；
（4）若直线y＝x+b与抛物线C1，C2共有两个公共点．请直接写出b的取值范围．


39．（2021•永嘉县校级模拟）某商店销售A、B两种品牌的彩色电视机，已知A、B两种彩色电视机的进价分别为2000元，1600元，一月份A、B两种彩电的销售价格每台为2700元、2100元，月利润为12000元（利润＝销售价﹣进价）．为了增加利润，二月份营销人员提供了两套销售策略：
策略一：A种每台降价100元，B种每台降价80元，估计销售量分别增长为30%、40%；
策略二：A种每台降价150元，B种每台降价80元，估计销售量都增长为50%；
（1）若设一月份A、B两种品牌的彩色电视机销售量分别为x台和y台，写出y与x的关系式，并求出，A种彩电销售的台数最多可能是多少？
（2）二月份这两种策略是否能增加利润？
（3）二月份该商店应该采用上述两种销售策略中的哪一种，方能使盖上点所获得的利润较多？请说明理由．
40．（2022•济南一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（2，4）和点B（m，﹣2）．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）直线AB与x轴交于点D，与y轴交于点C．
①过点C作CE∥x轴交反比例函数y＝的图象于点E，连接AE，试判断△ACE的形状，并说明理由；
②设M是x轴上一点，当∠CMO＝∠DCO时，求点M的坐标．

41．（2020秋•宁津县期末）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于M（﹣3，1），N（1，n）两点．
（1）求这两个函数的表达式．
（2）过动点C（m，0）且垂直于x轴的直线与一次函数及反比例函数的图象分别交于D、E两点，当点E位于点D上方时，直接写出m的取值范围．

42．（2021•潍坊模拟）女生排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米．某次模拟测试中，某女生在O处将球垫偏，之后又在A，B两处先后垫球，球沿抛物线C1→C2→C3运动（假设抛物线C1，C2，C3在同一平面内），最终正好在O处垫住，O处离地面的距离为1米．如图所示，以O为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系，x轴平行于地面水平直线m，已知点A（，），点B的横坐标为，抛物线C1和C3的表达式分别为y＝ax2﹣2ax和y＝2ax2+bx（a≠0）．
（1）求抛物线C1的函数表达式．
（2）第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由．
（3）为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该女生第三次垫球处B离地面的高度至少为多少米？

43．（2020秋•潜山市期末）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D的坐标为（1，﹣），且与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于C点，点C的坐标为（0，﹣4），P是抛物线上的一个动点，且横坐标为m．
（1）求抛物线所对应的二次函数的表达式；
（2）若动点P满足∠PAO不大于45°，求点P的横坐标m的取值范围；
（3）当m＜0时，过点P作y轴的垂线PQ，垂足为Q．问：是否存在点P，使∠QPO＝∠BCO？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

44．（2022春•蜀山区校级期中）如图，长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点E是射线CB上的一个动点，把△DCE沿DE折叠，点C的对应点为C′．

（1）若点C′刚好落在对角线BD上时，求BC′和CE的长；
（2）当BC′∥DE时，求CE的长；
（3）若点C′刚好落在线段AD的垂直平分线上时，请直接写出CE的长 　 　．
45．（2021秋•龙凤区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，延长BA至点P，过点P作⊙O的切线PC，切点为C，过点B向PC的延长线作垂线BE交该延长线于点E，BE交⊙O于点D，已知PA＝1，PC＝OC，
（1）求BE的长；
（2）连接DO，延长DO交⊙O于F，连接PF，
①求DE的长；
②求证：PF是⊙O的切线．

46．（2021•济南一模）如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，CD＝CE
（1）求证：OA＝OB；
（2）已知AB＝4 ，OA＝4，求阴影部分的面积．

47．（2021春•金寨县期末）根据要求画图，并回答问题．
已知：直线AB、CD相交于点O，且OE⊥AB
（1）过点O画直线MN⊥CD；
（2）若点F是（1）所画直线MN上任意一点（O点除外），且∠AOC＝34°，求∠EOF的度数．

48．（2022春•东城区期中）如图，长方形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、C两点的坐标分别为（6，0），（0，10），点B在第一象限内．
（1）写出点B的坐标，并求长方形OABC的周长；
（2）若有过点C的直线CD把长方形OABC的周长分成3：5两部分，D为直线CD与长方形的边的交点，求点D的坐标．

49．（2022•东至县模拟）已知：在△ABC中，AB＝AC＝8，点D是边AC上一点，点E是边BC上一点．

（1）若将△BAD沿BD折叠可得△BED，点A的对应点是点E．
①如图1，当∠BAC＝90°时，求AD的长；
②如图2，当∠BAC＝108°时，求CD的长；
（2）如图3，BD是∠ABC的平分线，∠A＝2∠BDE，AD＝3，求BE的长．

50．（2022•安徽一模）如图1，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，G，F，P分别为DE，BC，BE的中点．
（1）求证：BD＝EC；
（2）求证：∠GPF+∠BAC＝180°；
（3）如图2，连接AG．若AD＝，AC＝，∠DAE＝90°，且D，E，C三点共线时，求GF的值．


51．（2022春•芜湖期中）如图，AD∥BC，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，∠EFC＝140°
（1）求证：EF∥AD．
（2）连接CE，若CE平分∠BCF，求∠FEC的度数．

52．（2021春•滁州期末）已知AB∥CD，线段EF分别与AB，CD相交于点E，F．

（1）请在横线上填上合适的内容，完成下面的解答：
如图1，当点P在线段EF上时，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度数；
解：过点P作直线PH∥AB，
所以∠A＝∠APH，依据是 　 　；
因为AB∥CD，PH∥AB，
所以PH∥CD，依据是 　 　；
所以∠C＝（ 　 　），
所以∠APC＝（ 　 　）+（ 　 　）＝∠A+∠C＝97°．
（2）当点P，Q在线段EF上移动时（不包括E，F两点）：
①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立吗？请说明理由；
②如图3，∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，请直接写出∠M，∠A与∠C的数量关系．
53．（2021春•婺城区校级期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°：
（1）①若∠DCE＝45°，则∠ACB的度数为　 　；
②若∠ACB＝140°，求∠DCE的度数；
（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．
（3）当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由），若不存在，请说明理由．

54．（2021春•裕安区期末）（1）请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明：
如图1，AB∥CD，求证：∠B+∠D＝∠BED．
证明：过点E引一条直线EF∥AB
∴∠B＝∠BEF，（　 　）
∵AB∥CD，EF∥AB
∴EF∥CD（　 　）
∴∠D＝　 　（　 　）
∴∠B+∠D＝∠BEF+∠FED
即∠B+∠D＝∠BED．
（2）如图2，AB∥CD，请写出∠B+∠BED+∠D＝360°的推理过程．
（3）如图3，AB∥CD，请直接写出结果∠B+∠BEF+∠EFD+∠D＝　 　．
55．（2020•浙江自主招生）当m为整数时，关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0是否有有理根？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由．
56．（2019春•宣州区期中）已知关于x的方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1＝0
（1）若此方程为一元一次方程，求k的值．
（2）若此方程为一元二次方程，且有实数根，试求k的取值范围．
57．（2018秋•福州期中）已知：b是最小的正整数，且a、b满足（c﹣5）2+|a+b|＝0，请回答问题：

（1）请直接写出a、b、c的值：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　．
（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和6个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．
请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
58．（2017春•民勤县校级期末）先化简，再求值：+（a﹣1﹣），其中a＝2．
59．（2021春•高明区校级期末）如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2的阴影部分的正方形的边长是　 　．
（2）用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．
【方法1】S阴影＝　 　；
【方法2】S阴影＝　 　；
（3）观察如图2，写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab这三个代数式之间的等量关系．
（4）根据（3）题中的等量关系，解决问题：
若x+y＝10，xy＝16，求x﹣y的值．

60．（2021春•瑶海区校级期末）已知13＝1＝×12×22，13+23＝9＝×22×32，13+23+33＝36＝×32×42，…，按照这个规律完成下列问题：
（1）13+23+33+43+53＝　 　＝×　 　2×　 　2．
（2）猜想：13+23+33+…+n3＝　 　．
（3）利用（2）中的结论计算：（写出计算过程）113+123+133+143+153+163+…+393+403．







【参考答案】
五、解答题压轴题
31．（2022•镜湖区校级一模）如图，在等边△ABC的AC，BC边上各取一点E，D，使AE＝CD，AD，BE相交于点O．
（1）求证：AD＝BE；
（2）若BO＝6OE＝，求CD的长．
（3）在（2）的条件下，动点P在CE上从点C向终点E匀速运动，点Q在BC上，连结OP，PQ，满足∠OPQ＝60°，记PC为x，DQ的长为y，求y关于x的函数表达式．
【解析】（1）证明：如图1中，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAE＝∠C＝60°，AB＝CA，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴AD＝BE．

（2）解：如图1中，作ET∥CB交AD于T，过点D作DH⊥AC于点H，设AE＝CD＝a，BD＝CE＝b，ET＝x．
∵ET∥BC，
∴＝＝，
∴x＝，
∵＝，
∴，
整理得b2+ab﹣6a2＝0，
∴（b+3a）（b﹣2a）＝0，
∴b＝2a，
在Rt△CDH中，DH＝a，CH＝a，
∴AH＝3a﹣a＝a，
∵AD＝BE＝BO+AE＝2，
∴（2）2＝（a）2+（a）2，
∴a＝2或﹣2（﹣2舍弃），
∴CD＝2．

（3）解：如图2中，过点O作OJ∥AB交AC于点J．则∠OJE＝∠BAC＝60°，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴OJ＝，EJ＝，
∵∠APQ＝∠OPJ+∠OPQ＝∠C，∠OPQ＝∠C＝60°，
∴∠PQC＝∠OPJ，
∵∠C＝∠OJP＝60°，
∴△CQP∽△JPO，
∴＝，
∴＝，
∴y＝﹣x2+5x﹣2（0＜x≤4）．


32．（2022•宿州一模）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，∠ABC＝90°．点O是AC中点，BO交AD于点E．
（1）求证：△AOB∽△ADC；
（2）若BE⊥AD，求：；
（3）若DE＝1，CD＝5，求OE的长．

【解析】（1）证明：∵∠ABC＝90°，OA＝OC，
∴OB＝OA＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵CD∥AB，
∴∠ACD＝∠OAB，
∴∠ACD＝∠ABO，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠OAB，
∴△AOB∽△ADC；

（2）解：如图1中，连接OD．设OE＝m．

∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
∵∠EAO＝∠OAB＝∠OBA，
∴∠EAO＝∠OAB＝∠OBA＝30°，
∴OA＝OC＝2m，
∵∠DAC＝∠DCA＝30°，
∴DA＝DC，
∴DO⊥AC，
∴AD＝CD＝＝m，
∴＝＝；

（3）如图2中，延长CD交BE的延长线于点R，设DR＝a，AO＝OC＝OB＝b，

∵CR∥AB，
∴∠OCR＝∠OAB，
∵OC＝OA，∠COR＝∠AOB，
∴△COR≌△AOB（ASA），
∴CR＝AB＝a+5，OR＝OB，
∵∠DAC＝∠DCA，
∴AD＝CD＝5，
∵DE＝1，
∴AE＝AD﹣DE＝4，
∵DR∥AB，
∴＝，
∴＝，
∴a＝，
∵△AOB∽△ADC，
∴＝，
∴＝，
∴b＝（负根已经舍去），
∴OB＝OR＝，
∵DR∥AB，
∴＝＝，
∴ER＝BR＝×＝，
∴OE＝OR﹣ER＝﹣＝．
33．（2022•亳州一模）如图，在△ABC中，AB＝BC，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，点F在DA的延长线上，连接BF交CE的延长线于点M，AD＝2CD．
（1）求证：△ABD≌△CBE；
（2）若AE＝α，求BD的长（用含α的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，若BM：MF＝25：38，EM＝5，求AF的长．

【解析】（1）证明：在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（AAS）；

（2）解：∵BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵△ABD≌△CBE，
∴BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，
∴∠DAC＝∠ACE，
∵∠AEC＝∠ADC＝90°，AC＝CA，
∴△ADC≌△CEA（AAS），
∴AE＝CD＝a，
∴AD＝2CD＝2a，
设BE＝BD＝x，
在Rt△ABD中，则有（x+a）2＝x2+（2a）2，
∴x＝a，
∴BD＝a；

（3）解：过F作FH⊥BA交BA的延长线于H，

∵AD⊥BC，AD＝2CD，
设AD＝2m，则DC＝m，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CEB＝90°，
在△ABD与△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（AAS），
∴BD＝BE＝m，
∵CE⊥AB，FH⊥BA，
∴EM∥FH，
∴△BEM∽△BHF，
∴＝，
∵BM：MF＝25：38，
∴BM：BF＝25：6，
∵EM＝5，
∴＝，
∴FH＝，
∵∠BAD＝∠FAH，∠ADB＝∠FHA＝90°，
∴△AFH∽△ABD，
∴＝，
∵AB＝AE+BE＝m+m＝m，BD＝m，
∴＝，
∴AF＝21．

34．（2022春•安庆期中）根据图示，回答下列问题
（1）大正方形的面积S是多少？
（2）梯形Ⅱ，Ⅲ的面积SⅡ，SⅢ，分别是多少？
（3）试求SⅡ+SⅢ与S﹣SⅠ的值．
（4）由（3）你发现了什么？请用含a，b的式子表示你的结论．

【解析】解：（1）∵大由图可知正方形的边长为a，
∴S＝a2；

（2）∵梯形Ⅱ的上底是b，下底是a，高是a﹣b，
∴SⅡ＝（a+b）（a﹣b）＝（a2﹣b2）．
同理，梯形Ⅲ的上底是b，下底是a，高是a﹣b
SⅢ＝（a+b）（a﹣b）＝（a2﹣b2）；

（3）∵S＝a2，SI＝b2，SⅡ＝SⅢ＝（a+b）（a﹣b）＝（a2﹣b2），
∴SⅡ+SⅢ＝a2﹣b2，S﹣SⅠ＝a2﹣b2；

（4）根据（3）得：SⅡ+SⅢ＝S﹣SⅠ＝a2﹣b2．
35．（2022•砀山县模拟）为给同学们创造更好的读书条件，学校准备新建一个长度为L的读书长廊，并准备用若干块带有花纹和没有花纹的两种规格、大小相同的正方形地面砖搭配在一起，按如图所示的规律拼成图案铺满长廊，已知每个小正方形地面砖的边长均为0.6m．
（1）按图示规律，第一图案的长度L1＝　1.8　m；第二个图案的长度L2＝　3　m．
（2）请用代数式表示带有花纹的地面砖块数n与走廊的长度Ln之间的关系．
（3）当走廊的长度L为36.6m时，请计算出所需带有花纹图案的瓷砖的块数．

【解析】解：（1）第一图案的长度L1＝0.6×3＝1.8，第二个图案的长度L2＝0.6×5＝3；
故答案为：1.8，3；

（2）观察图形可得：
第1个图案中有花纹的地面砖有1块，
第2个图案中有花纹的地面砖有2块，
…
则第n个图案中有花纹的地面砖有n块；
第一个图案边长L＝3×0.6，第二个图案边长L＝5×0.6，则第n个图案边长为L＝（2n+1）×0.6；

（3）把L＝36.6代入L＝（2n+1）×0.6中得：
36.6＝（2n+1）×0.6，
解得：n＝30，
答：需带有花纹图案的瓷砖的块数是30．
36．（2021秋•滨州月考）某生产车间专门加工生产螺栓和螺母，每人每天能生产螺母24个或螺栓15个，一个螺栓配两个螺母配成如图的一套．
（1）若安排20人生产螺栓，那么应安排多少人生产螺母才能使螺栓和螺母正好配套？
（2）若车间里有90名工人，那么应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母才能使螺栓和螺母正好配套？

【解析】解：（1）设安排x人生产螺母才能使螺栓和螺母正好配套，
24x＝15×20×2
解得，x＝25
即安排25人生产螺母才能使螺栓和螺母正好配套；
（2）设生产螺栓的有x人，
15x×2＝24（90﹣x），
解得，x＝40，
则90﹣x＝50，
即若车间里有90名工人，那么应分配40人生产螺栓，50人生产螺母才能使螺栓和螺母正好配套．
37．（2022•安徽模拟）已知抛物线y＝（x﹣m）2﹣2（m﹣1）2和直线，m为常数，且m≥1．
（1）若该抛物线的顶点在x轴上，
①求m的值；
②若直线与抛物线相交于M，N两点，点P为线段MN上一动点，过P作x轴的垂线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．
（2）若直线与抛物线相交于A、B两点（B在对称轴的右边），且与抛物线的对称轴相交于C点，当CO＝CB时，求抛物线的顶点坐标．
【解析】解：（1）①∵抛物线y＝（x﹣m）2﹣2（m﹣1）2的顶点在x轴上，
∴﹣2（m﹣1）2＝0，
解得：m＝1；
②如图：

由m＝1知抛物线为y＝（x﹣1）2＝x2﹣2x+1，直线为y＝x，
设P（t，t），则Q（t，t2﹣2t+1），
∴PQ＝t﹣（t2﹣2t+1）＝﹣t2+t﹣1＝﹣（t﹣）2+，
∵﹣1＜0，
∴当t＝时，PQ取最大值，最大值为；
（2）设抛物线对称轴交x轴于D，过C作CE∥x轴，过B作BE∥CD交CE于E，如图：

设A（xA，yA），B（xB，yB），
∵抛物线y＝（x﹣m）2﹣2（m﹣1）2的对称轴为直线x＝m，顶点坐标为（m，﹣2（m﹣1）2），
∴C的横坐标xC＝m，
∵CO＝CB，∠CDO＝90°＝∠BEC，∠BCE＝∠COD，
∴△COD≌△BCE（AAS），
∴DO＝EC，即xB﹣m＝m﹣0，
∴xB＝2m①，
由得x2﹣mx﹣m2+4m﹣2＝0，
∴xA+xB＝m②，xA•xB＝﹣m2+4m﹣2③，
由②得xA＝m﹣xB④，
把①④代入③得：（m﹣2m）×2m＝﹣m2+4m﹣2，
解得m＝2或m＝（因m≥1，舍去），
当m＝2时，﹣2（m﹣1）2＝﹣2×（2﹣1）2＝﹣2，
∴抛物线顶点坐标为（2，﹣2）．
38．（2022•桥西区模拟）小明在用描点法画抛物线C1：y＝ax2+bx+3时，列出了下面的表格：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
6
7
6
3
…
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）将抛物线C1先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线C2，C2的顶点为A，与x轴交点为点B，C（点B在点C左侧），连接AB，求tan∠ABC；
（3）在第（2）问条件下，点P为抛物线C2在第二象限内任意一点（不与点A重合），过点P作PD⊥x轴，垂足为D，直线AP交y轴于点Q，连接DQ．求证：AB∥DQ；
（4）若直线y＝x+b与抛物线C1，C2共有两个公共点．请直接写出b的取值范围．


【解析】（1）解：设抛物线C1的解析式是：y＝a（x﹣2）2+7，
当x＝0时，y＝3，
∴4a+7＝3，
∴a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣2）2+7＝﹣x2+4x+3；
（2）如图，

∴C1的顶点是（2，7），
∴C2的顶点是（﹣2，4），
∴y＝﹣（x+2）2+4，
当﹣（x+2）2+4＝0时，
x1＝﹣4，x2＝0，
∴B（﹣4，0），C（0，0），
∴BD＝2，AD＝4，
∴tan∠ABC＝；
（3）设P（a，﹣a2﹣4a），D（a，0），
设直线AP的解析式是：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣（a+2）x﹣2a，
当x＝0时，y＝﹣2a，
∴Q（0，﹣2a），
∴tan∠QDO＝＝＝2，
∴∠ABC＝∠QDO，
∴AB∥DQ；
（4）由+b＝﹣x2﹣4x得，
x2+x+b＝0，
当Δ＝0时，
（）2﹣4b＝0，
∴b＝，
由＝﹣x2+4x+3得，
x2﹣x+（b﹣3）＝0，
当Δ′＝0时，
（﹣）2﹣4（b﹣3）＝0，
∴b＝，
∴＜b＜．
39．（2021•永嘉县校级模拟）某商店销售A、B两种品牌的彩色电视机，已知A、B两种彩色电视机的进价分别为2000元，1600元，一月份A、B两种彩电的销售价格每台为2700元、2100元，月利润为12000元（利润＝销售价﹣进价）．为了增加利润，二月份营销人员提供了两套销售策略：
策略一：A种每台降价100元，B种每台降价80元，估计销售量分别增长为30%、40%；
策略二：A种每台降价150元，B种每台降价80元，估计销售量都增长为50%；
（1）若设一月份A、B两种品牌的彩色电视机销售量分别为x台和y台，写出y与x的关系式，并求出，A种彩电销售的台数最多可能是多少？
（2）二月份这两种策略是否能增加利润？
（3）二月份该商店应该采用上述两种销售策略中的哪一种，方能使盖上点所获得的利润较多？请说明理由．
【解析】解：（1）由题意可得，
（2700﹣2000）x+（2100﹣1600）y＝12000，
即：700x+500y＝12000．
∴y＝﹣x+24，
∵x为整数、y为整数，
∴x的最大值是15，
即y与x的关系式是y＝﹣x+24（0≤x≤且x为整数），A种彩电销售的台数最多可能是15台；
（2）策略一：利润W1＝（2700﹣100﹣2000）（1+30%）x+（2100﹣80﹣1600）（1+40%）y＝780x+588y．
策略二：利润W2＝（2700﹣150﹣2000）（1+50%）x+（2100﹣80﹣1600）（1+50%）y＝825x+630y．
又∵700x+500y＝12000，
∴780x+588y＞12000，825x+630y＞12000，
故策略一、二均可增加利润；
（3）策略二使该商店所获得利润最多，应采取策略二．
理由：∵W2﹣W1＝45x+42y＞0，
∴W2＞W1，
故策略二使该商店所获得利润最多，应采取策略二．
40．（2022•济南一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（2，4）和点B（m，﹣2）．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）直线AB与x轴交于点D，与y轴交于点C．
①过点C作CE∥x轴交反比例函数y＝的图象于点E，连接AE，试判断△ACE的形状，并说明理由；
②设M是x轴上一点，当∠CMO＝∠DCO时，求点M的坐标．

【解析】解：（1）∵点A（2，4）在反比例函数y＝上，
∴k2＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵点B（m，﹣2）在y＝上，
∴m＝﹣4，
∴B（﹣4，﹣2），
∵y＝k1x+b的图象经过A（2，4），B（﹣4，﹣2），
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+2．

（2）对于y＝x+2，当x＝0时，y＝2，
∴点C坐标为（0，2），
当y＝0时，x＝﹣2，
∴点D坐标为（﹣2，0），
①结论：△ACE是等腰直角三角形．
理由：∵CE∥x轴，
∴点E的横坐标为2，
∵点E在反比例函数y＝的图象上，
∴E（2，4），
∴CE＝4，
∵AC＝＝2，AE＝＝2，
∴AC2+AE2＝（2）2+（2）2＝16＝CE2，AC＝AE，
∴∠CAE＝90°，
∴△ACE是等腰直角三角形．

②如图，由①可知，OC＝2，OD＝2，
∴CD＝2，
当点M在x轴的负半轴上时，
∵∠CM2O＝∠DCO，∠CDO＝∠CM2O+∠M2CD，
∴∠CM2O＝∠DCM2，
∴DM2＝CD＝2，
∴OM2＝OD+DM2＝2+2，
∴点M2的坐标为（﹣2﹣2，0），
同理，当点M在x轴的正半轴上时，根据对称性可知点M1的坐标为（2+2，0），
综上所述，点M的坐标为（2+2，0）或（﹣2﹣2，0）．

41．（2020秋•宁津县期末）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于M（﹣3，1），N（1，n）两点．
（1）求这两个函数的表达式．
（2）过动点C（m，0）且垂直于x轴的直线与一次函数及反比例函数的图象分别交于D、E两点，当点E位于点D上方时，直接写出m的取值范围．

【解析】解；（1）反比例函数y＝的图象过点M（﹣3，1），
∴k＝﹣3，
反比例函数的解析式为y＝﹣，
反比例函数y＝﹣的图象过点N（1，n），
∴n＝﹣＝﹣3，
∴N（1，﹣3），
一次函数y＝ax+b的图象过点M（﹣3，1）、N（1，﹣3），
，
解得，
故一次函数的解析式为y＝﹣x﹣2；

（2）由图象可知，m的取值范围是m＞1或﹣3＜m＜0．
42．（2021•潍坊模拟）女生排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米．某次模拟测试中，某女生在O处将球垫偏，之后又在A，B两处先后垫球，球沿抛物线C1→C2→C3运动（假设抛物线C1，C2，C3在同一平面内），最终正好在O处垫住，O处离地面的距离为1米．如图所示，以O为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系，x轴平行于地面水平直线m，已知点A（，），点B的横坐标为，抛物线C1和C3的表达式分别为y＝ax2﹣2ax和y＝2ax2+bx（a≠0）．
（1）求抛物线C1的函数表达式．
（2）第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由．
（3）为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该女生第三次垫球处B离地面的高度至少为多少米？

【解析】解：（1）∵C1：y＝ax2﹣2ax，
将A（，）代入，得：＝a×﹣2a×，
解得：a＝﹣，
∴C1：y＝﹣x2+x；
（2）由（1）得：y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣1）2+，
∴C1的对称轴为直线x＝1，顶点为（1，），
∵O处距离地面1米，
∴最大高度为+1＝＜2，
∴未达到要求；
（3）C3：y＝2ax2+bx（a≠0），
对称轴为直线x＝﹣，顶点（﹣，﹣），
∵最大距离达标，
∴﹣≥1，
∵B的横坐标为﹣，
∴yB＝，
由（1）知a＝﹣，
∴≥1，
解得：b≥2或b≤﹣2，
∵x＝﹣＜0，
∴a，b同号，则b≤﹣2，
∴，
∴高度至少应为1+＝1.75米．
∴该女生第三次垫球处B离地面的高度至少为1.75米．
43．（2020秋•潜山市期末）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D的坐标为（1，﹣），且与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于C点，点C的坐标为（0，﹣4），P是抛物线上的一个动点，且横坐标为m．
（1）求抛物线所对应的二次函数的表达式；
（2）若动点P满足∠PAO不大于45°，求点P的横坐标m的取值范围；
（3）当m＜0时，过点P作y轴的垂线PQ，垂足为Q．问：是否存在点P，使∠QPO＝∠BCO？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】解：（1）根据题意设抛物线表达式为：y＝a（x﹣1）2﹣，
将C（0，﹣4）代入得：a﹣＝﹣4，
∴a＝，
∴抛物线表达式为：y＝（x﹣1）2﹣＝x2﹣x﹣4；
（2）若∠PAO＝45°，过P作PG⊥x轴于G，如图：

①在y＝x2﹣x﹣4中，令y＝0，得x2﹣x﹣4＝0，
解得x＝﹣2或x＝4，
∴A（4，0），B（﹣2，0），
在y＝x2﹣x﹣4中，令x＝0，得y＝4，
∴C（0，4），
∴OA＝OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠CAO＝45°，
若动点P满足∠PAO不大于45°，则m≤0，
②∵∠PAO＝45°，
∴△PAG是等腰直角三角形，
∴PG＝AG，
而P（m，m2﹣m﹣4），
∴m2﹣m﹣4＝4﹣m，
解得m＝4（舍去）或m＝﹣4，
∴若动点P满足∠PAO不大于45°，则m≥﹣4；
由①②可得：﹣4≤m≤0；
（3）存在，理由如下：
①当P在第二象限，如图：

∵∠QPO＝∠BCO，∠PQO＝∠BOC，
∴△PQO∽△COB，
∴＝，
∵B（﹣2，0），C（0，4），P（m，m2﹣m﹣4），
∴＝，
解得m＝（舍去）或m＝，
∴P（，）；
②当P在第三象限，如图：

同①可得△POQ∽△CBO，
∴＝，即＝，
解得m＝（舍去）或m＝，
∴P（，），
综上所述，当∠QPO＝∠BCO时，P的坐标为：（，）或（，）．
44．（2022春•蜀山区校级期中）如图，长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点E是射线CB上的一个动点，把△DCE沿DE折叠，点C的对应点为C′．

（1）若点C′刚好落在对角线BD上时，求BC′和CE的长；
（2）当BC′∥DE时，求CE的长；
（3）若点C′刚好落在线段AD的垂直平分线上时，请直接写出CE的长 　（9±3）cm　．
【解析】解：（1）如图1，由折叠可得DC'＝DC＝6，

∵∠C＝90°，BC＝8，
∴Rt△BCD中，BD＝＝＝10，
∴BC′＝10﹣6＝4cm，
设EC＝C′E＝xcm
在Rt△BC′E中，由勾股定理得（8﹣x）2＝42+x2，
∴x＝3，
∴CE＝3cm；

（2）如图2，由折叠得，∠CED＝∠C′ED，

∵BC′∥DE，
∴∠EC′B＝∠C′ED，∠CED＝∠C′BE，
∴∠EC′B＝∠C′EB，
∴BE＝C′E＝EC＝4cm；

（3）设AD的垂直平分线，交AD于点M，交BC于点N，分两种情况讨论：
①当点C′在矩形内部时，如图3，

∵点C′在AD的垂直平分线上，
∴DM＝4，
∵DC′＝6，
∴由勾股定理得：MC′＝＝2，
∴NC′＝6﹣2，
设EC＝x，则C′E＝x，NE＝4﹣x，
∵NC′2+NE2＝C′E2，
∴（6﹣2）2+（4﹣x）2＝x2，
解得：x＝9﹣3，
即CE＝9﹣3；

②当点C′在矩形外部时，如图4，

∵点C′在AD的垂直平分线上，
∴DM＝4，
∵DC′＝6，
∴由勾股定理得：MC′＝2，
∴NC′＝6+2，
设EC＝y，则C′E＝y，NE＝y﹣4，
∵NC′2+NE2＝C′E2，
∴（6+2）2+（y﹣4）2＝y2，
解得：y＝9+3，
即CE＝9+3，
综上所述，CE的长为（9±3）cm．
故答案为：（9±3）cm
45．（2021秋•龙凤区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，延长BA至点P，过点P作⊙O的切线PC，切点为C，过点B向PC的延长线作垂线BE交该延长线于点E，BE交⊙O于点D，已知PA＝1，PC＝OC，
（1）求BE的长；
（2）连接DO，延长DO交⊙O于F，连接PF，
①求DE的长；
②求证：PF是⊙O的切线．

【解析】解：（1）设圆的半径是r，则OP＝PA+r＝1+r，OC＝r，PC＝r．
∵PC是圆的切线，
∴∠PCO＝90°，
∴在直角△PCO中，PC2+OC2＝OP2，即（r）2+r2＝（1+r）2，
解得：r＝1或r＝﹣（舍去负值）．
在直角△OPC中，cos∠POC＝＝，
∴∠POC＝60°，
∵∠PCO＝90°，BE⊥BC，
∴BE∥OC，
∴△OPC∽△BPE，∠B＝∠POC＝60°，
∴＝＝，
∴BE＝OC＝；

（2）①在△OBD中，OB＝OD，∠B＝60°，
∴△OBD是等边三角形，BD＝OB＝1，∠BOD＝60°．
∴DE＝BE﹣BD＝﹣1＝；
②∵在△OPC和△OPF中，，
∴△OPC≌△OPF（SAS），
∴∠OFP＝∠OCP＝90°，
∴PF是⊙O的切线．

46．（2021•济南一模）如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，CD＝CE
（1）求证：OA＝OB；
（2）已知AB＝4 ，OA＝4，求阴影部分的面积．

【解析】解：（1）连接OC，
∵AB与⊙O相切于点C
∴∠ACO＝90°，
∵CD＝CE
∴＝，
∴∠AOC＝∠BOC，
∴∠A＝∠B
∴OA＝OB，

（2）由（1）可知：△OAB是等腰三角形，
∴BC＝AB＝2，
∴sin∠COB＝＝，
∴∠COB＝60°，
∴∠B＝30°，
∴OC＝OB＝2，
∴扇形OCE的面积为：＝，
△OCB的面积为：×2×2＝2，
S阴影＝2﹣π．

47．（2021春•金寨县期末）根据要求画图，并回答问题．
已知：直线AB、CD相交于点O，且OE⊥AB
（1）过点O画直线MN⊥CD；
（2）若点F是（1）所画直线MN上任意一点（O点除外），且∠AOC＝34°，求∠EOF的度数．

【解析】解：（1）如图．
（2）如上图：①当F在OM上时，
∵EO⊥AB，MN⊥CD，
∴∠EOB＝∠MOD＝90°，
∴∠MOE+∠EOD＝90°，∠EOD+∠BOD＝90°，
∴∠EOF＝∠BOD＝∠AOC＝34°；
②当F在ON上时，如图在F′点时，
∵MN⊥CD，
∴∠MOC＝90°＝∠AOC+∠AOM，
∴∠AOM＝90°﹣∠AOC＝56°，
∴∠BON＝∠AOM＝56°，
∴∠EOF′＝∠EOB+∠BON＝90°+56°＝146°，
答：∠EOF的度数是34°或146°．

48．（2022春•东城区期中）如图，长方形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、C两点的坐标分别为（6，0），（0，10），点B在第一象限内．
（1）写出点B的坐标，并求长方形OABC的周长；
（2）若有过点C的直线CD把长方形OABC的周长分成3：5两部分，D为直线CD与长方形的边的交点，求点D的坐标．

【解析】解：（1）∵A（6，0），C（0，10），
∴OA＝6，OC＝10．
∵四边形OABC是长方形，
∴BC＝OA＝6，AB＝OC＝10，
∴点B的坐标为（6，10）．
∵OC＝10，OA＝6，
∴长方形OABC的周长为：2×（6+10）＝32．
（2）∵CD把长方形OABC的周长分为3：5两部分，
∴被分成的两部分的长分别为12和20．
①当点D在AB上时，
AD＝20﹣10﹣6＝4，
所以点D的坐标为（6，4）．
②当点D在OA上时，
OD＝12﹣10＝2，
所以点D的坐标为（2，0）．
49．（2022•东至县模拟）已知：在△ABC中，AB＝AC＝8，点D是边AC上一点，点E是边BC上一点．

（1）若将△BAD沿BD折叠可得△BED，点A的对应点是点E．
①如图1，当∠BAC＝90°时，求AD的长；
②如图2，当∠BAC＝108°时，求CD的长；
（2）如图3，BD是∠ABC的平分线，∠A＝2∠BDE，AD＝3，求BE的长．

【解析】解：（1）①∵AB＝AC＝8，∠BAC＝90°，
∴∠C＝45°，
∵△BAD沿BD折叠得到△BED，
∴∠BAC＝∠BED＝∠DEC＝90°，AD＝ED，
∴△DEC是等腰直角三角形，
∴AD＝DE＝EC．
设AD＝DE＝EC＝x，则DC＝8﹣x．
在Rt△DEC中，DE2+EC2＝DC2，
即x2+x2＝（8﹣x）2，
解得：，或（负值舍去）．
∴AD的长为．
②如图2，过点A作AF∥DE交BC于点F．
∵AB＝AC＝8，∠BAC＝108°，
∴，
∵△BAD沿BD折叠得到△BED，
∴BE＝BA＝8，∠BED＝∠BAC＝108°，
∴∠DEC＝180°﹣∠BED＝180°﹣108°＝72°，
∴∠EDC＝∠BED﹣∠C＝108°﹣36°＝72°，
∴∠DEC＝∠EDC，
∴DC＝EC．
∵AF∥DE，∠DEC＝72°，
∴∠AFC＝∠DEC＝72°．
∵∠ABC＝36°，
∴∠BAF＝∠AFC﹣∠ABC＝72°﹣36°＝36°，
∴∠ABC＝∠BAF，
∴AF＝BF，
同理FC＝AC＝8，
∴AD＝FE，
设CD＝EC＝y，则AD＝FE＝DE＝8﹣y．
∴BF＝AF＝BE﹣FE＝8﹣（8﹣y）＝y．
又∵AF∥DE，
∴△DEC∽△AFC．
∴，
即，
解得或（负值舍去）．
∴CD的长为．
（2）如图3，过点A作AG∥BC交ED的延长线于点F，交BD的延长线于点G．
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD．
∵∠BDC＝∠BDE+∠CDE＝∠ABD+∠BAC，∠BAC＝2∠BDE，
∴∠BDE+∠CDE＝∠ABD+2∠BDE，
即∠CDE＝∠ABD+∠BDE．
∵∠CED＝∠CBD+∠BDE，
∴∠CDE＝∠CED．
∴CD＝CE．
∵AD＝3，AB＝AC＝8，
∴CD＝CE＝AC﹣AD＝8﹣3＝5．
∵AG∥BC，
∴∠AGD＝∠CBD＝∠ABD，△GAD∽△BCD，
∴，
∴，
解得：，
∴．


50．（2022•安徽一模）如图1，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，G，F，P分别为DE，BC，BE的中点．
（1）求证：BD＝EC；
（2）求证：∠GPF+∠BAC＝180°；
（3）如图2，连接AG．若AD＝，AC＝，∠DAE＝90°，且D，E，C三点共线时，求GF的值．


【解析】（1）证明；∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAB＝∠EAC．
∵AD＝AE，AB＝AC，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴BD＝EC；
（2）证明：如图1，∵G，P，F分别为DE，BE，BC的中点，

∴GP//BD，PF//EC，
∴∠GPE＝∠DBE，∠PFB＝∠ECB，
∵∠GPF＝∠GPE+∠EPF，∠EPF＝∠PBF+∠PFB，
∴∠GPF＝∠DBP+∠PBF+∠ECB＝∠ABC+∠ABD+∠ECB，
由（1）知△ADB≌△AEC，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠GPF＝∠ABC+∠ACE+∠ECB＝∠ABC+∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠GPF+∠BAC＝180°；
（3）解：∵∠DAE＝90°，AD＝AE＝，
∴DE＝AD＝2，
∵G是DE的中点，

∴AG＝GE＝1，AG⊥DE，
∴∠AGE＝90°，
∵AC＝，D，E，C三点共线，
∴CG＝＝＝3，
∴EC＝CG﹣EG＝3﹣1＝2，
由（1）知：BD＝EC＝2，
∵G是DE中点，P是BE的中点，
∴GP＝BD＝1，
∵∠DAE＝∠BAC＝90°，
由（2）知：∠GPF+∠BAC＝180°，
∴∠GPF＝90°，GP＝PF＝1，
∴GF＝．
51．（2022春•芜湖期中）如图，AD∥BC，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，∠EFC＝140°
（1）求证：EF∥AD．
（2）连接CE，若CE平分∠BCF，求∠FEC的度数．

【解析】解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ACB+∠DAC＝180°，
∵∠DAC＝120°，
∴∠ACB＝60°，
又∵∠ACF＝20°，
∴∠FCB＝∠ACB﹣∠ACF＝40°，
∵∠EFC＝140°，
∴∠FCB+∠EFC＝180°，
∴EF∥BC，
∴EF∥AD．
（2）∵CE平分∠BCF，
∴∠BCE＝20°，
∵EF∥BC，
∴∠FEC＝∠ECB，
∴∠FEC＝20°．

52．（2021春•滁州期末）已知AB∥CD，线段EF分别与AB，CD相交于点E，F．

（1）请在横线上填上合适的内容，完成下面的解答：
如图1，当点P在线段EF上时，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度数；
解：过点P作直线PH∥AB，
所以∠A＝∠APH，依据是 　两直线平行，内错角相等　；
因为AB∥CD，PH∥AB，
所以PH∥CD，依据是 　平行于同一条直线的两条直线平行　；
所以∠C＝（ 　∠CPH　），
所以∠APC＝（ 　∠APH　）+（ 　∠CPH　）＝∠A+∠C＝97°．
（2）当点P，Q在线段EF上移动时（不包括E，F两点）：
①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立吗？请说明理由；
②如图3，∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，请直接写出∠M，∠A与∠C的数量关系．
【解析】解：过点P作直线PH∥AB，
所以∠A＝∠APH，依据是两直线平行，内错角相等；
因为AB∥CD，PH∥AB，
所以PH∥CD，依据是平行于同一条直线的两条直线平行；
所以∠C＝（∠CPH），
所以∠APC＝（∠APH）+（∠CPH）＝∠A+∠C＝97°．
故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；∠CPH；∠APH，∠CPH；
（2）①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由如下：

过点P作直线PH∥AB，QG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PH∥QG，
∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，
∴∠APQ+∠PQC＝∠APH+∠HPQ+∠GQP+∠CQG＝∠A+∠C+180°．
∴∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立；
②如图3，

过点P作直线PH∥AB，QG∥AB，MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PH∥QG∥MN，
∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，
∵∠HPM＝∠PMN，∠GQM＝∠QMN，
∴∠PMQ＝∠HPM+∠GQM，
∵∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，
∴∠APM+∠CQM＝∠A+∠C+∠PMQ＝2∠MPQ+2∠MQP＝2（180°﹣∠PMQ），
∴3∠M+∠A+∠C＝360°．
53．（2021春•婺城区校级期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°：
（1）①若∠DCE＝45°，则∠ACB的度数为　135°　；
②若∠ACB＝140°，求∠DCE的度数；
（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．
（3）当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由），若不存在，请说明理由．

【解析】（1）①∵∠DCE＝45°，∠ACD＝90°
∴∠ACE＝45°
∵∠BCE＝90°
∴∠ACB＝90°+45°＝135°
故答案为：135°；

②∵∠ACB＝140°，∠ECB＝90°
∴∠ACE＝140°﹣90°＝50°
∴∠DCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣50°＝40°；

（2）猜想：∠ACB+∠DCE＝180°
理由如下：∵∠ACE＝90°﹣∠DCE
又∵∠ACB＝∠ACE+90°
∴∠ACB＝90°﹣∠DCE+90°＝180°﹣∠DCE
即∠ACB+∠DCE＝180°；

（3）30°、45°、120°、135°、165°．
理由：当CB∥AD时，∠ACE＝30°；
当EB∥AC时，∠ACE＝45°；
当CE∥AD时，∠ACE＝120°；
当EB∥CD时，∠ACE＝135°；
当BE∥AD时，∠ACE＝165°．

54．（2021春•裕安区期末）（1）请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明：
如图1，AB∥CD，求证：∠B+∠D＝∠BED．
证明：过点E引一条直线EF∥AB
∴∠B＝∠BEF，（　两直线平行，内错角相等　）
∵AB∥CD，EF∥AB
∴EF∥CD（　如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行　）
∴∠D＝　∠FED　（　两直线平行，内错角相等　）
∴∠B+∠D＝∠BEF+∠FED
即∠B+∠D＝∠BED．
（2）如图2，AB∥CD，请写出∠B+∠BED+∠D＝360°的推理过程．
（3）如图3，AB∥CD，请直接写出结果∠B+∠BEF+∠EFD+∠D＝　540°　．
【解析】解：（1）过点E引一条直线EF∥AB，
∵EF∥AB，
∴∠B＝∠BEF（两直线平行，内错角相等），
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
∴∠D＝∠FED（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；∠FED；两直线平行，内错角相等．

（2）如图2，过点E引一条直线EF∥AB，
∵EF∥AB，
∴∠B+∠BEF＝180°．
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD，
∴∠FED+∠D＝180°，
∴∠B+∠BEF+∠FED+∠D＝180°+180°＝360°，即∠B+∠BED+∠D＝360°

（3）如图3，分别过点EF作EG∥AB，HF∥CD，
∵EG∥AB，
∴∠B+∠BEG＝180°．
∵HF∥CD，
∴∠D+∠HFD＝180°．
∵AB∥CD，EG∥AB，HF∥CD，
∴EG∥HF，
∴∠GEF+∠HFE＝180°，
∴∠B+∠BEF+∠EFD+∠D＝540°．
故答案为：540°．


55．（2020•浙江自主招生）当m为整数时，关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0是否有有理根？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由．
【解析】解：当m为整数时，关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0没有有理根．理由如下：
①当m为整数时，假设关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0有有理根，则要Δ＝b2﹣4ac为完全平方数，而Δ＝（2m+1）2﹣4（2m﹣1）＝4m2﹣4m+5＝（2m﹣1）2+4，
设Δ＝n2（n为整数），即（2m﹣1）2+4＝n2（n为整数），所以有（2m﹣1﹣n）（2m﹣1+n）＝﹣4，
∵2m﹣1与n的奇偶性相同，并且m、n都是整数，所以或，
解得m＝，
②2m﹣1＝0时，m＝（不合题意舍去）．
所以当m为整数时，关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0没有有理根．
56．（2019春•宣州区期中）已知关于x的方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1＝0
（1）若此方程为一元一次方程，求k的值．
（2）若此方程为一元二次方程，且有实数根，试求k的取值范围．
【解析】解：（1）由（1﹣2k）x2﹣2x﹣1＝0是一元一次方程，
得1﹣2k＝0，
解得k＝；
（2）由（1﹣2k）x2﹣2x﹣1＝0为一元二次方程，且有实数根，得
Δ＝（2）2﹣4（1﹣2k）×（﹣1）≥0，且1﹣2k≠0，k+1≥0，
4k+4+4（1﹣2k）≥0，
﹣4k≥﹣8，
k≤2，
即﹣1≤k≤2，k≠
此方程为一元二次方程，且有实数根，k的取值范围为﹣1≤k≤2且k≠．
57．（2018秋•福州期中）已知：b是最小的正整数，且a、b满足（c﹣5）2+|a+b|＝0，请回答问题：

（1）请直接写出a、b、c的值：a＝　﹣1　，b＝　1　，c＝　5　．
（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和6个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．
请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【解析】解：（1）∵b是最小的正整数，
∴b＝1．
∵（c﹣5）2+|a+b|＝0，
∴a＝﹣1，c＝5；
故答案为：﹣1；1；5；

（2）BC﹣AB的值不随着时间t的变化而改变，其值是2，理由如下：
∵点A都以每秒2个单位的速度向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和6个单位长度的速度向右运动，
∴BC＝4t+4，AB＝4t+2，
∴BC﹣AB＝（4t+4）﹣（4t+2）＝2．
58．（2017春•民勤县校级期末）先化简，再求值：+（a﹣1﹣），其中a＝2．
【解析】解：+（a﹣1﹣）
＝+
＝+
＝
＝a﹣1
当a＝2时
原式＝2﹣1
59．（2021春•高明区校级期末）如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2的阴影部分的正方形的边长是　a﹣b　．
（2）用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．
【方法1】S阴影＝　（a﹣b）2　；
【方法2】S阴影＝　（a+b）2﹣4ab　；
（3）观察如图2，写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab这三个代数式之间的等量关系．
（4）根据（3）题中的等量关系，解决问题：
若x+y＝10，xy＝16，求x﹣y的值．

【解析】解：（1）a﹣b；
（2）方法1：S阴影＝（a﹣b）2，
方法2：S阴影＝（a+b）2﹣4ab；
（3）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
（4）∵x+y＝10，xy＝16，
∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝102﹣4×16＝36，
∴x﹣y＝±6．
60．（2021春•瑶海区校级期末）已知13＝1＝×12×22，13+23＝9＝×22×32，13+23+33＝36＝×32×42，…，按照这个规律完成下列问题：
（1）13+23+33+43+53＝　225　＝×　5　2×　6　2．
（2）猜想：13+23+33+…+n3＝　×n2×（n+1）2　．
（3）利用（2）中的结论计算：（写出计算过程）113+123+133+143+153+163+…+393+403．
【解析】解：（1）13+23+33+43+53＝225＝×52×62
（2）猜想：13+23+33+…+n3＝×n2×（n+1）2
（3）利用（2）中的结论计算：
113+123+133+143+153+163+…+393+403．
解：原式＝13+23+33+…+393+403﹣（13+23+33+…+103）
＝×402×412﹣×102×112
＝672400﹣3025
＝669375