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2020-2021学年湖南省长沙市雅礼教育集团部分校七年级（下）期末数学试卷
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这是一份2020-2021学年湖南省长沙市雅礼教育集团部分校七年级（下）期末数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年湖南省长沙市雅礼教育集团部分校七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的请在答题卡中填涂符合题意的选项本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四个数中，无理数是（ ）
A．0 B．﹣2 C． D．π
2．（3分）长沙作为新晋网红城市，今年五一迎来了全国各地大批游客，据统计，五一期间长沙地铁日均客运量为2500000人次，将数据2500000科学记数法表示为（ ）
A．2.5×106 B．2.5×105 C．0.25×107 D．25×105
3．（3分）下列四个角中，钝角是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）如图，a∥b，c与a、b相交，若∠1＝60°，则∠2的度数是（ ）
A．60° B．120° C．150° D．100°
5．（3分）下列调查中，最适合采用抽样调查的是（ ）
A．对乘坐高铁旅客的行李进行检查
B．对新研发的新型战斗机的零部件进行检查
C．了解长沙市民对春节晚会节目的满意程度
D．调查七年级一班全体同学的身高情况
6．（3分）点A（﹣2，﹣3）所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（3分）已知三角形的两边长分别为5和7，则第三边长不可能是（ ）
A．2 B．3 C．10 D．11
8．（3分）下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是（ ）
A．两条直角边对应相等
B．两个锐角对应相等
C．斜边和一直角边对应相等
D．斜边和一锐角对应相等
9．（3分）一个多边形的每一个外角都等于45°，那么这个多边形的内角和为（ ）
A．1260° B．1080° C．1620° D．360°
10．（3分）如果不等式组无解，那么m的取值范围是（ ）
A．m＝2 B．m＞2 C．m＜2 D．m≥2
二、填空（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）﹣2的相反数是 ．
12．（3分）单项式﹣的系数是 ．
13．（3分）如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后，“我”字一面的相对面上的字是 ．
14．（3分）2021年我市的8.9万名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，则在该统计调查中，样本容量是 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC．CD是△ABC外角的角平分线，若∠A＝50°，则∠D＝ ．
16．（3分）八边形共有 条对角线．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分。第20、21题每小题6分第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17．（6分）计算：（）2+|1﹣|﹣（﹣1）4．
18．（6分）解方程组：．
19．（6分）人教版初中数学教科书八年级上册第36﹣37页告诉我们作一个角等已知角的方法：
已知：∠AOB．
求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．
作图：（1）以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；
（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
（3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D′；
（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．
请你根据以上材料完成下列问题：
（1）完成下面证明过程（将正确答案写在相应的横线上）．
证明：由作图可知，在△D′O′C′和△DOC中，
，
∴△D′O′C′≌ ，
∴∠A′O′B'＝∠AOB．
（2）上述证明过程中利用三角形全等的方法依据是 ．（填序号）
①SAS
②ASA
③AAS
④SSS
20．（8分）如图，A（﹣3，2），B（﹣1，﹣2），C（1，﹣1）．将△ABC向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到△A1B1C1．
（1）△A1B1C1的顶点A1的坐标为 ；顶点C1的坐标为 ．
（2）求△A1B1C1的面积．
（3）已知点P在x轴上，以A1、C1、P为顶点的三角形面积为，则P点的坐标为 ．
21．（8分）某校为了解全校2400名学生的视力情况，进行了一次视力抽样调查，并将调查所得的数据整理如图表．
学生视力抽样调查频数分布表
视力
频数（人）
频率
4.0≤x＜4.3
22
0.11
4.3≤x＜4.6
42
b
4.6≤x＜4.9
66
0.33
4.9≤x＜5.2
a
0.3
5.2≤x＜5.5
10
0.05
根据以上图表信息，解答下列问题：
（1）表中的a＝ ，b＝ ．
（2）请把频数分布直方图补充完整．（画图后请标注相应的数据）
（3）该校2400名学生视力达到4.9及其以上的学生共约有多少人？
22．（9分）已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DE＝BF．
求证：（1）AE＝CF；
（2）AD∥CB．
23．（9分）为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，长雅、北雅、雅洋三所学校联合举办了党史知识竞赛，一共25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．
（1）若某参赛选手只有一题没有作答，最后他的总得分为76分，则该同学一共答对了多少道题？
（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分不低于85分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需要答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？
24．（10分）探究角平分线定理：（1）在横线上分别填上适当的条件和理由．
已知，如图，OP是∠AOB的角平分线，点D是射线OP上任意一点，DE⊥OA于E点，DF⊥OB于F点，求证：DE＝DF．
证明：∵DE⊥OA，DF⊥OB，
∴∠DEO＝∠DFO＝90°．
∵OP是∠AOB的角平分线，
∴∠EOD＝∠FOD．
在△DOE与△DOF中，
，
∴△DOE≌△DOF（ ）．
∴DE＝DF．
从而我们得到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．
（2）利用角平分线的性质解决以下两个问题：
①如图，在△ABC中，∠BAC与∠ABC的角平分线交于D点，过D点作DH⊥AB于H点，若△ABC的面积为s，周长为c，DH的长度为h，求s、c、h的关系．
②如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D点，求证：＝．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（4，0），点B在第一象限，且点B到x轴、y轴的距离都是4．点E、F分别是线段BC、OC上的动点．
（1）直接写出点B的坐标；
（2）若BE+OF＝EF，求∠EAF的度数；
（3）如图2，当点E运动到BC的中点，且FE⊥AE，求证：∠AFO＝2∠EAF．
2020-2021学年湖南省长沙市雅礼教育集团部分校七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的请在答题卡中填涂符合题意的选项本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四个数中，无理数是（ ）
A．0 B．﹣2 C． D．π
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A.0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B．﹣2是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C.，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D．π是无理数，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽得到的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．（3分）长沙作为新晋网红城市，今年五一迎来了全国各地大批游客，据统计，五一期间长沙地铁日均客运量为2500000人次，将数据2500000科学记数法表示为（ ）
A．2.5×106 B．2.5×105 C．0.25×107 D．25×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：2500000＝2.5×106．
故选：A．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）下列四个角中，钝角是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据钝角是大于90°且小于180°的角可得答案是选项D．
【解答】解：∵选项A是等于180°的平角，选项B是大于0°小于90°的锐角，选项C是等于90°的直角，而选项D是大于90°且小于180°的钝角，
故选：D．
【点评】本题考查了角的概念，关键是对角的分类的准确理解．
4．（3分）如图，a∥b，c与a、b相交，若∠1＝60°，则∠2的度数是（ ）
A．60° B．120° C．150° D．100°
【分析】由a∥b，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠3的度数，再结合∠2，∠3互补可求出∠2的度数．
【解答】解：如图：
∵a∥b，∠1＝60°，
∴∠3＝∠1＝60°．
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝120°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
5．（3分）下列调查中，最适合采用抽样调查的是（ ）
A．对乘坐高铁旅客的行李进行检查
B．对新研发的新型战斗机的零部件进行检查
C．了解长沙市民对春节晚会节目的满意程度
D．调查七年级一班全体同学的身高情况
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【解答】解：A．对乘坐高铁旅客的行李进行检查，适合采用全面调查，故本选项不合题意；
B．对新研发的新型战斗机的零部件进行检查，适合采用全面调查，故本选项不合题意；
C．了解长沙市民对春节晚会节目的满意程度，适合采用抽样调查，故本选项符合题意；
D．调查七年级一班全体同学的身高情况，适合采用全面调查，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
6．（3分）点A（﹣2，﹣3）所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】应先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断点A所在的象限．
【解答】解：因为点A（﹣2，﹣3）的横坐标是负数，纵坐标是负数，符合点在第三象限的条件，所以点A在第三象限．
故选：C．
【点评】本题主要考查点的坐标的性质，解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号，第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
7．（3分）已知三角形的两边长分别为5和7，则第三边长不可能是（ ）
A．2 B．3 C．10 D．11
【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得答案．
【解答】解：根据三角形的三边关系：7﹣5＜x＜7+5，
解得：2＜x＜12，
故第三边长不可能是：2，
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，只要掌握三角形的三边关系定理即可．
8．（3分）下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是（ ）
A．两条直角边对应相等
B．两个锐角对应相等
C．斜边和一直角边对应相等
D．斜边和一锐角对应相等
【分析】根据全等三角形的判定方法一一判断即可．
【解答】解：A、根据SAS可以判定三角形全等，本选项不符合题意．
B、AA不能判定三角形全等，本选项符合题意．
C、根据HL可以判定三角形全等，本选项不符合题意．
D、根据AAS可以判定三角形全等，本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9．（3分）一个多边形的每一个外角都等于45°，那么这个多边形的内角和为（ ）
A．1260° B．1080° C．1620° D．360°
【分析】根据多边形的外角和与内角和定理即可求解．
【解答】解：∵多边形外角和为360°，
∴360÷45＝8，
∴八边形的内角和为（8﹣2）×180°＝1080°
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的内角和与外角和，解决本题的关键是掌握内角和与外角和公式．
10．（3分）如果不等式组无解，那么m的取值范围是（ ）
A．m＝2 B．m＞2 C．m＜2 D．m≥2
【分析】根据不等式组无解，可得关于m的不等式，根据解不等式，可得答案．
【解答】解：解2x﹣1＞3（x﹣1）得x＜2．
由题意，得
m≥2，
故选：D．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
二、填空（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）﹣2的相反数是 2 ．
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解答】解：﹣2的相反数是：﹣（﹣2）＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
12．（3分）单项式﹣的系数是 ﹣ ．
【分析】根据单项式的系数的定义写出即可．
【解答】解：单项式﹣的系数是﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查单项式的系数，注意单项式中数字因数叫做单项式的系数．
13．（3分）如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后，“我”字一面的相对面上的字是 梦 ．
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“我”与“梦”是相对面，
“们”与“中”是相对面，
“的”与“国”是相对面．
故答案为：梦．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
14．（3分）2021年我市的8.9万名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，则在该统计调查中，样本容量是 1000 ．
【分析】根据样本容量则是指样本中个体的数目，可得答案．
【解答】解：2021年我市的8.9万名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，则在该统计调查中，样本容量是1000．
故答案为：1000．
【点评】考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
15．（3分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC．CD是△ABC外角的角平分线，若∠A＝50°，则∠D＝ 25° ．
【分析】根据三角形的外角性质得到∠A＝∠ACE﹣∠ABC，∠D＝∠DCE﹣∠DBC，根据角平分线的定义计算即可．
【解答】解：∵∠ACE是△ABC的一个外角，
∴∠A＝∠ACE﹣∠ABC，
同理：∠D＝∠DCE﹣∠DBC，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴∠DBE＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，
∴∠D＝（∠ACE﹣∠ABC）＝∠A＝×50°＝25°，
故答案为：25°．
【点评】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
16．（3分）八边形共有 20 条对角线．
【分析】八边形中从一个顶点发出的对角线有5条，因而对角线总的条数即可解得．
【解答】解：八边形的对角线有：×8×（8﹣3）＝20条．
【点评】n边形的对角线有n（n﹣3）条．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分。第20、21题每小题6分第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17．（6分）计算：（）2+|1﹣|﹣（﹣1）4．
【分析】根据二次根式的性质，绝对值的代数意义，幂的意义计算即可．
【解答】解：原式＝2+﹣1﹣1
＝．
【点评】本题考查了实数的运算，（）2＝a（a≥0），注意负数的绝对值等于它的相反数．
18．（6分）解方程组：．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
①+②得：2x＝4，
解得：x＝2，
①﹣②得：2y＝6，
解得：y＝3，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
19．（6分）人教版初中数学教科书八年级上册第36﹣37页告诉我们作一个角等已知角的方法：
已知：∠AOB．
求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．
作图：（1）以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；
（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
（3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D′；
（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．
请你根据以上材料完成下列问题：
（1）完成下面证明过程（将正确答案写在相应的横线上）．
证明：由作图可知，在△D′O′C′和△DOC中，
，
∴△D′O′C′≌ △DOC ，
∴∠A′O′B'＝∠AOB．
（2）上述证明过程中利用三角形全等的方法依据是 ① ．（填序号）
①SAS
②ASA
③AAS
④SSS
【分析】（1）根据SSS证明△D′O′C′≌△DOC，可得结论．
（2）根据SSS证明三角形全等．
【解答】解：（1）证明：由作图可知，在△D′O′C′和△DOC中，
，
∴△D′O′C′≌△DOC（SSS），
∴∠A′O′B'＝∠AOB．
故答案为：△DOC．
（2）上述证明过程中利用三角形全等的方法依据是SSS，
故答案为：①
【点评】本题考查三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
20．（8分）如图，A（﹣3，2），B（﹣1，﹣2），C（1，﹣1）．将△ABC向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到△A1B1C1．
（1）△A1B1C1的顶点A1的坐标为 （0，3） ；顶点C1的坐标为 （4，0） ．
（2）求△A1B1C1的面积．
（3）已知点P在x轴上，以A1、C1、P为顶点的三角形面积为，则P点的坐标为 （3，0）或（5，0） ．
【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出△A1B1C1三个顶点的坐标，然后描点即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积得到△A1B1C1的面积；
（3）设P点得坐标为（t，0），利用三角形面积公式，即可得到P点坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，顶点A1的坐标为（0，3）；顶点C1的坐标为（4，0）；
故答案为：（0，3）；（4，0）；
（2）计算△A1B1C1的面积＝4×4﹣×2×4﹣×2×1﹣×4×3＝5；
（3）设P点得坐标为（t，0），
∵以A1、C1、P为顶点得三角形得面积为，
∴×3×|t﹣4|＝，解得t＝3或t＝5，
即P点坐标为（3，0）或（5，0）．
故答案为：（3，0）或（5，0）．
【点评】本题考查了平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
21．（8分）某校为了解全校2400名学生的视力情况，进行了一次视力抽样调查，并将调查所得的数据整理如图表．
学生视力抽样调查频数分布表
视力
频数（人）
频率
4.0≤x＜4.3
22
0.11
4.3≤x＜4.6
42
b
4.6≤x＜4.9
66
0.33
4.9≤x＜5.2
a
0.3
5.2≤x＜5.5
10
0.05
根据以上图表信息，解答下列问题：
（1）表中的a＝ 60 ，b＝ 0.21 ．
（2）请把频数分布直方图补充完整．（画图后请标注相应的数据）
（3）该校2400名学生视力达到4.9及其以上的学生共约有多少人？
【分析】（1）从统计表中，4.0≤x＜4.3组的频数是22人，频率为0.11，根据频率＝可求出样本容量，进而确定a、b的值；
（2）根据a的值，即可补全频数分布直方图；
（3）求出样本中视力达到4.9及其以上的学生所占的百分比即可估计总体的百分比，进而计算得出结果．
【解答】解：（1）22÷0.11＝200（人），
a＝200×0.3＝60（人），
b＝42÷200＝0.21，
故答案为：60，0.21；
（2）补全频数分布直方图如图所示：
（3）2400×（0.3+0.05）＝840（人），
答：该校2400名学生视力达到4.9及其以上的学生共约有840人．
【点评】本题考查频率分布表、频数分布直方图，理解统计图表所蕴含的数量关系是解决问题的关键．
22．（9分）已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DE＝BF．
求证：（1）AE＝CF；
（2）AD∥CB．
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠CED＝∠AFB＝90°，推出Rt△CDE≌Rt△ABF（HL），由全等三角形的性质即可得到AF＝CE，最后根据线段的和差即可得解；
（2）根据SAS判定△ADE≌△CBF，由全等三角形的性质即可得到∠DAE＝∠BCF，即可判定AD∥CB．
【解答】证明：（1）∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠CED＝∠AFB＝90°，
在Rt△CDE和Rt△ABF中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△ABF（HL），
∴AF＝CE，
∴AF﹣EF＝CE﹣EF，
即AE＝CF；
（2）由（1）知，AE＝CF，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AED＝∠CFB＝90°，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠DAE＝∠BCF，
∴AD∥CB．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据HL证明Rt△CDE≌Rt△ABF是解题的关键．
23．（9分）为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，长雅、北雅、雅洋三所学校联合举办了党史知识竞赛，一共25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．
（1）若某参赛选手只有一题没有作答，最后他的总得分为76分，则该同学一共答对了多少道题？
（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分不低于85分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需要答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？
【分析】（1）设该同学一共答对了x道题，则答错了（25﹣1﹣x）道题，利用总得分＝4×答对题目数﹣1×答错题目数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设答对了m道题，则答错（25﹣m）道题，利用总得分＝4×答对题目数﹣1×答错题目数，结合总得分不低于85分，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设该同学一共答对了x道题，则答错了（25﹣1﹣x）道题，
依题意得：4x﹣（25﹣1﹣x）＝76，
解得：x＝20．
答：该同学一共答对了20道题．
（2）设答对了m道题，则答错（25﹣m）道题，
依题意得：4m﹣（25﹣m）≥85，
解得：m≥22．
答：参赛者至少需要答对22道题才能被评为“学党史小达人”．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24．（10分）探究角平分线定理：（1）在横线上分别填上适当的条件和理由．
已知，如图，OP是∠AOB的角平分线，点D是射线OP上任意一点，DE⊥OA于E点，DF⊥OB于F点，求证：DE＝DF．
证明：∵DE⊥OA，DF⊥OB，
∴∠DEO＝∠DFO＝90°．
∵OP是∠AOB的角平分线，
∴∠EOD＝∠FOD．
在△DOE与△DOF中，
，
∴△DOE≌△DOF（ AAS ）．
∴DE＝DF．
从而我们得到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．
（2）利用角平分线的性质解决以下两个问题：
①如图，在△ABC中，∠BAC与∠ABC的角平分线交于D点，过D点作DH⊥AB于H点，若△ABC的面积为s，周长为c，DH的长度为h，求s、c、h的关系．
②如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D点，求证：＝．
【分析】（1）利用AAS证明△DOE≌△DOF即可．
（2）如图2中，连接CD，过点D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F．根据S△ABC＝S△ADC+S△ADB+S△DCB，求解即可．
（3）如图3中，过点D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N．利用面积法求解即可．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵DE⊥OA，DF⊥OB，
∴∠DEO＝∠DFO＝90°．
∵OP是∠AOB的角平分线，
∴∠EOD＝∠FOD．
在△DOE与△DOF中，
，
∴△DOE≌△DOF（AAS），
∴DE＝DF．
故答案为：OD＝OD，AAS．
（2）解：如图2中，连接CD，过点D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F．
∵AD，BD分别平分∠CAB，∠CBA，DH⊥AB，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE＝DH，DH＝DF，
∵S△ABC＝S△ADC+S△ADB+S△DCB，
∴s＝•AC•h+•AB•h+•BC•h，
∴s＝（AC+AB+BC）•h，
∴s＝ch．
（3）证明：如图3中，过点D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N．
∵CD平分∠ACB，DM⊥AC，DN⊥BC，
∴DM＝DN，
∴＝＝，
∴＝．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题，学会利用面积法解决问题．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（4，0），点B在第一象限，且点B到x轴、y轴的距离都是4．点E、F分别是线段BC、OC上的动点．
（1）直接写出点B的坐标；
（2）若BE+OF＝EF，求∠EAF的度数；
（3）如图2，当点E运动到BC的中点，且FE⊥AE，求证：∠AFO＝2∠EAF．
【分析】（1）由点B在第一象限，且点B到x轴、y轴的距离都是4，可得B（4，4）．
（2）如图1中，在x轴的负半轴上取一点T，使得OT＝BE．证明△AOT≌△ABE（SAS），推出AT＝AE，∠OAT＝∠BAE，再证明△AFT≌△AFE（SSS），可得结论．
（3）如图2中，延长FE交AB的延长线于H．证明△BEH≌△CEF（ASA），推出EF＝EH，再证明△AEF≌△AEH（SAS），可得结论．
【解答】（1）解：∵点B在第一象限，且点B到x轴、y轴的距离都是4，
∴B（4，4）．
（2）解：如图1中，在x轴的负半轴上取一点T，使得OT＝BE．
在△AOT和△ABE中，
，
∴△AOT≌△ABE（SAS），
∴AT＝AE，∠OAT＝∠BAE，
∴EAT＝∠BAO＝90°，
∵EF＝BE+OF，FT＝OF+OT，OT＝BE，
∴FT＝EF，
在△AFT和△AFE中，
，
∴△AFT≌△AFE（SSS），
∴∠EAF＝∠FAT＝∠EAT＝45°．
（3）证明：如图2中，延长FE交AB的延长线于H．
∵E是BC的中点，
∴EB＝EC，
在△EBH和△ECF中，
，
∴△BEH≌△CEF（ASA），
∴EF＝EH，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠AEH＝90°，
在△AEF和△AEH中，
，
∴△AEF≌△AEH（SAS），
∴∠FAE＝∠HAE，
∵AB∥OC，
∴∠AFO＝∠CAH，
∴∠AFO＝2∠EAF．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
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日期：2022/1/31 21:41:27；用户：买老师高数；邮箱：15773116387；学号：29521335
2020-2021学年湖南省长沙市雅礼教育集团部分校七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的请在答题卡中填涂符合题意的选项本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四个数中，无理数是（ ）
A．0 B．﹣2 C． D．π
2．（3分）长沙作为新晋网红城市，今年五一迎来了全国各地大批游客，据统计，五一期间长沙地铁日均客运量为2500000人次，将数据2500000科学记数法表示为（ ）
A．2.5×106 B．2.5×105 C．0.25×107 D．25×105
3．（3分）下列四个角中，钝角是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）如图，a∥b，c与a、b相交，若∠1＝60°，则∠2的度数是（ ）
A．60° B．120° C．150° D．100°
5．（3分）下列调查中，最适合采用抽样调查的是（ ）
A．对乘坐高铁旅客的行李进行检查
B．对新研发的新型战斗机的零部件进行检查
C．了解长沙市民对春节晚会节目的满意程度
D．调查七年级一班全体同学的身高情况
6．（3分）点A（﹣2，﹣3）所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（3分）已知三角形的两边长分别为5和7，则第三边长不可能是（ ）
A．2 B．3 C．10 D．11
8．（3分）下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是（ ）
A．两条直角边对应相等
B．两个锐角对应相等
C．斜边和一直角边对应相等
D．斜边和一锐角对应相等
9．（3分）一个多边形的每一个外角都等于45°，那么这个多边形的内角和为（ ）
A．1260° B．1080° C．1620° D．360°
10．（3分）如果不等式组无解，那么m的取值范围是（ ）
A．m＝2 B．m＞2 C．m＜2 D．m≥2
二、填空（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）﹣2的相反数是 ．
12．（3分）单项式﹣的系数是 ．
13．（3分）如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后，“我”字一面的相对面上的字是 ．
14．（3分）2021年我市的8.9万名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，则在该统计调查中，样本容量是 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC．CD是△ABC外角的角平分线，若∠A＝50°，则∠D＝ ．
16．（3分）八边形共有 条对角线．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分。第20、21题每小题6分第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17．（6分）计算：（）2+|1﹣|﹣（﹣1）4．
18．（6分）解方程组：．
19．（6分）人教版初中数学教科书八年级上册第36﹣37页告诉我们作一个角等已知角的方法：
已知：∠AOB．
求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．
作图：（1）以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；
（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
（3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D′；
（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．
请你根据以上材料完成下列问题：
（1）完成下面证明过程（将正确答案写在相应的横线上）．
证明：由作图可知，在△D′O′C′和△DOC中，
，
∴△D′O′C′≌ ，
∴∠A′O′B'＝∠AOB．
（2）上述证明过程中利用三角形全等的方法依据是 ．（填序号）
①SAS
②ASA
③AAS
④SSS
20．（8分）如图，A（﹣3，2），B（﹣1，﹣2），C（1，﹣1）．将△ABC向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到△A1B1C1．
（1）△A1B1C1的顶点A1的坐标为 ；顶点C1的坐标为 ．
（2）求△A1B1C1的面积．
（3）已知点P在x轴上，以A1、C1、P为顶点的三角形面积为，则P点的坐标为 ．
21．（8分）某校为了解全校2400名学生的视力情况，进行了一次视力抽样调查，并将调查所得的数据整理如图表．
学生视力抽样调查频数分布表
视力
频数（人）
频率
4.0≤x＜4.3
22
0.11
4.3≤x＜4.6
42
b
4.6≤x＜4.9
66
0.33
4.9≤x＜5.2
a
0.3
5.2≤x＜5.5
10
0.05
根据以上图表信息，解答下列问题：
（1）表中的a＝ ，b＝ ．
（2）请把频数分布直方图补充完整．（画图后请标注相应的数据）
（3）该校2400名学生视力达到4.9及其以上的学生共约有多少人？
22．（9分）已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DE＝BF．
求证：（1）AE＝CF；
（2）AD∥CB．
23．（9分）为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，长雅、北雅、雅洋三所学校联合举办了党史知识竞赛，一共25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．
（1）若某参赛选手只有一题没有作答，最后他的总得分为76分，则该同学一共答对了多少道题？
（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分不低于85分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需要答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？
24．（10分）探究角平分线定理：（1）在横线上分别填上适当的条件和理由．
已知，如图，OP是∠AOB的角平分线，点D是射线OP上任意一点，DE⊥OA于E点，DF⊥OB于F点，求证：DE＝DF．
证明：∵DE⊥OA，DF⊥OB，
∴∠DEO＝∠DFO＝90°．
∵OP是∠AOB的角平分线，
∴∠EOD＝∠FOD．
在△DOE与△DOF中，
，
∴△DOE≌△DOF（ ）．
∴DE＝DF．
从而我们得到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．
（2）利用角平分线的性质解决以下两个问题：
①如图，在△ABC中，∠BAC与∠ABC的角平分线交于D点，过D点作DH⊥AB于H点，若△ABC的面积为s，周长为c，DH的长度为h，求s、c、h的关系．
②如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D点，求证：＝．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（4，0），点B在第一象限，且点B到x轴、y轴的距离都是4．点E、F分别是线段BC、OC上的动点．
（1）直接写出点B的坐标；
（2）若BE+OF＝EF，求∠EAF的度数；
（3）如图2，当点E运动到BC的中点，且FE⊥AE，求证：∠AFO＝2∠EAF．
2020-2021学年湖南省长沙市雅礼教育集团部分校七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的请在答题卡中填涂符合题意的选项本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四个数中，无理数是（ ）
A．0 B．﹣2 C． D．π
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A.0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B．﹣2是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C.，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D．π是无理数，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽得到的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．（3分）长沙作为新晋网红城市，今年五一迎来了全国各地大批游客，据统计，五一期间长沙地铁日均客运量为2500000人次，将数据2500000科学记数法表示为（ ）
A．2.5×106 B．2.5×105 C．0.25×107 D．25×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：2500000＝2.5×106．
故选：A．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）下列四个角中，钝角是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据钝角是大于90°且小于180°的角可得答案是选项D．
【解答】解：∵选项A是等于180°的平角，选项B是大于0°小于90°的锐角，选项C是等于90°的直角，而选项D是大于90°且小于180°的钝角，
故选：D．
【点评】本题考查了角的概念，关键是对角的分类的准确理解．
4．（3分）如图，a∥b，c与a、b相交，若∠1＝60°，则∠2的度数是（ ）
A．60° B．120° C．150° D．100°
【分析】由a∥b，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠3的度数，再结合∠2，∠3互补可求出∠2的度数．
【解答】解：如图：
∵a∥b，∠1＝60°，
∴∠3＝∠1＝60°．
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝120°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
5．（3分）下列调查中，最适合采用抽样调查的是（ ）
A．对乘坐高铁旅客的行李进行检查
B．对新研发的新型战斗机的零部件进行检查
C．了解长沙市民对春节晚会节目的满意程度
D．调查七年级一班全体同学的身高情况
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【解答】解：A．对乘坐高铁旅客的行李进行检查，适合采用全面调查，故本选项不合题意；
B．对新研发的新型战斗机的零部件进行检查，适合采用全面调查，故本选项不合题意；
C．了解长沙市民对春节晚会节目的满意程度，适合采用抽样调查，故本选项符合题意；
D．调查七年级一班全体同学的身高情况，适合采用全面调查，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
6．（3分）点A（﹣2，﹣3）所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】应先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断点A所在的象限．
【解答】解：因为点A（﹣2，﹣3）的横坐标是负数，纵坐标是负数，符合点在第三象限的条件，所以点A在第三象限．
故选：C．
【点评】本题主要考查点的坐标的性质，解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号，第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
7．（3分）已知三角形的两边长分别为5和7，则第三边长不可能是（ ）
A．2 B．3 C．10 D．11
【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得答案．
【解答】解：根据三角形的三边关系：7﹣5＜x＜7+5，
解得：2＜x＜12，
故第三边长不可能是：2，
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，只要掌握三角形的三边关系定理即可．
8．（3分）下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是（ ）
A．两条直角边对应相等
B．两个锐角对应相等
C．斜边和一直角边对应相等
D．斜边和一锐角对应相等
【分析】根据全等三角形的判定方法一一判断即可．
【解答】解：A、根据SAS可以判定三角形全等，本选项不符合题意．
B、AA不能判定三角形全等，本选项符合题意．
C、根据HL可以判定三角形全等，本选项不符合题意．
D、根据AAS可以判定三角形全等，本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9．（3分）一个多边形的每一个外角都等于45°，那么这个多边形的内角和为（ ）
A．1260° B．1080° C．1620° D．360°
【分析】根据多边形的外角和与内角和定理即可求解．
【解答】解：∵多边形外角和为360°，
∴360÷45＝8，
∴八边形的内角和为（8﹣2）×180°＝1080°
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的内角和与外角和，解决本题的关键是掌握内角和与外角和公式．
10．（3分）如果不等式组无解，那么m的取值范围是（ ）
A．m＝2 B．m＞2 C．m＜2 D．m≥2
【分析】根据不等式组无解，可得关于m的不等式，根据解不等式，可得答案．
【解答】解：解2x﹣1＞3（x﹣1）得x＜2．
由题意，得
m≥2，
故选：D．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
二、填空（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）﹣2的相反数是 2 ．
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解答】解：﹣2的相反数是：﹣（﹣2）＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
12．（3分）单项式﹣的系数是 ﹣ ．
【分析】根据单项式的系数的定义写出即可．
【解答】解：单项式﹣的系数是﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查单项式的系数，注意单项式中数字因数叫做单项式的系数．
13．（3分）如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后，“我”字一面的相对面上的字是 梦 ．
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“我”与“梦”是相对面，
“们”与“中”是相对面，
“的”与“国”是相对面．
故答案为：梦．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
14．（3分）2021年我市的8.9万名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，则在该统计调查中，样本容量是 1000 ．
【分析】根据样本容量则是指样本中个体的数目，可得答案．
【解答】解：2021年我市的8.9万名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，则在该统计调查中，样本容量是1000．
故答案为：1000．
【点评】考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
15．（3分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC．CD是△ABC外角的角平分线，若∠A＝50°，则∠D＝ 25° ．
【分析】根据三角形的外角性质得到∠A＝∠ACE﹣∠ABC，∠D＝∠DCE﹣∠DBC，根据角平分线的定义计算即可．
【解答】解：∵∠ACE是△ABC的一个外角，
∴∠A＝∠ACE﹣∠ABC，
同理：∠D＝∠DCE﹣∠DBC，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴∠DBE＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，
∴∠D＝（∠ACE﹣∠ABC）＝∠A＝×50°＝25°，
故答案为：25°．
【点评】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
16．（3分）八边形共有 20 条对角线．
【分析】八边形中从一个顶点发出的对角线有5条，因而对角线总的条数即可解得．
【解答】解：八边形的对角线有：×8×（8﹣3）＝20条．
【点评】n边形的对角线有n（n﹣3）条．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分。第20、21题每小题6分第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17．（6分）计算：（）2+|1﹣|﹣（﹣1）4．
【分析】根据二次根式的性质，绝对值的代数意义，幂的意义计算即可．
【解答】解：原式＝2+﹣1﹣1
＝．
【点评】本题考查了实数的运算，（）2＝a（a≥0），注意负数的绝对值等于它的相反数．
18．（6分）解方程组：．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
①+②得：2x＝4，
解得：x＝2，
①﹣②得：2y＝6，
解得：y＝3，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
19．（6分）人教版初中数学教科书八年级上册第36﹣37页告诉我们作一个角等已知角的方法：
已知：∠AOB．
求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．
作图：（1）以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；
（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
（3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D′；
（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．
请你根据以上材料完成下列问题：
（1）完成下面证明过程（将正确答案写在相应的横线上）．
证明：由作图可知，在△D′O′C′和△DOC中，
，
∴△D′O′C′≌ △DOC ，
∴∠A′O′B'＝∠AOB．
（2）上述证明过程中利用三角形全等的方法依据是 ① ．（填序号）
①SAS
②ASA
③AAS
④SSS
【分析】（1）根据SSS证明△D′O′C′≌△DOC，可得结论．
（2）根据SSS证明三角形全等．
【解答】解：（1）证明：由作图可知，在△D′O′C′和△DOC中，
，
∴△D′O′C′≌△DOC（SSS），
∴∠A′O′B'＝∠AOB．
故答案为：△DOC．
（2）上述证明过程中利用三角形全等的方法依据是SSS，
故答案为：①
【点评】本题考查三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
20．（8分）如图，A（﹣3，2），B（﹣1，﹣2），C（1，﹣1）．将△ABC向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到△A1B1C1．
（1）△A1B1C1的顶点A1的坐标为 （0，3） ；顶点C1的坐标为 （4，0） ．
（2）求△A1B1C1的面积．
（3）已知点P在x轴上，以A1、C1、P为顶点的三角形面积为，则P点的坐标为 （3，0）或（5，0） ．
【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出△A1B1C1三个顶点的坐标，然后描点即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积得到△A1B1C1的面积；
（3）设P点得坐标为（t，0），利用三角形面积公式，即可得到P点坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，顶点A1的坐标为（0，3）；顶点C1的坐标为（4，0）；
故答案为：（0，3）；（4，0）；
（2）计算△A1B1C1的面积＝4×4﹣×2×4﹣×2×1﹣×4×3＝5；
（3）设P点得坐标为（t，0），
∵以A1、C1、P为顶点得三角形得面积为，
∴×3×|t﹣4|＝，解得t＝3或t＝5，
即P点坐标为（3，0）或（5，0）．
故答案为：（3，0）或（5，0）．
【点评】本题考查了平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
21．（8分）某校为了解全校2400名学生的视力情况，进行了一次视力抽样调查，并将调查所得的数据整理如图表．
学生视力抽样调查频数分布表
视力
频数（人）
频率
4.0≤x＜4.3
22
0.11
4.3≤x＜4.6
42
b
4.6≤x＜4.9
66
0.33
4.9≤x＜5.2
a
0.3
5.2≤x＜5.5
10
0.05
根据以上图表信息，解答下列问题：
（1）表中的a＝ 60 ，b＝ 0.21 ．
（2）请把频数分布直方图补充完整．（画图后请标注相应的数据）
（3）该校2400名学生视力达到4.9及其以上的学生共约有多少人？
【分析】（1）从统计表中，4.0≤x＜4.3组的频数是22人，频率为0.11，根据频率＝可求出样本容量，进而确定a、b的值；
（2）根据a的值，即可补全频数分布直方图；
（3）求出样本中视力达到4.9及其以上的学生所占的百分比即可估计总体的百分比，进而计算得出结果．
【解答】解：（1）22÷0.11＝200（人），
a＝200×0.3＝60（人），
b＝42÷200＝0.21，
故答案为：60，0.21；
（2）补全频数分布直方图如图所示：
（3）2400×（0.3+0.05）＝840（人），
答：该校2400名学生视力达到4.9及其以上的学生共约有840人．
【点评】本题考查频率分布表、频数分布直方图，理解统计图表所蕴含的数量关系是解决问题的关键．
22．（9分）已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DE＝BF．
求证：（1）AE＝CF；
（2）AD∥CB．
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠CED＝∠AFB＝90°，推出Rt△CDE≌Rt△ABF（HL），由全等三角形的性质即可得到AF＝CE，最后根据线段的和差即可得解；
（2）根据SAS判定△ADE≌△CBF，由全等三角形的性质即可得到∠DAE＝∠BCF，即可判定AD∥CB．
【解答】证明：（1）∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠CED＝∠AFB＝90°，
在Rt△CDE和Rt△ABF中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△ABF（HL），
∴AF＝CE，
∴AF﹣EF＝CE﹣EF，
即AE＝CF；
（2）由（1）知，AE＝CF，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AED＝∠CFB＝90°，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠DAE＝∠BCF，
∴AD∥CB．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据HL证明Rt△CDE≌Rt△ABF是解题的关键．
23．（9分）为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，长雅、北雅、雅洋三所学校联合举办了党史知识竞赛，一共25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．
（1）若某参赛选手只有一题没有作答，最后他的总得分为76分，则该同学一共答对了多少道题？
（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分不低于85分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需要答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？
【分析】（1）设该同学一共答对了x道题，则答错了（25﹣1﹣x）道题，利用总得分＝4×答对题目数﹣1×答错题目数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设答对了m道题，则答错（25﹣m）道题，利用总得分＝4×答对题目数﹣1×答错题目数，结合总得分不低于85分，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设该同学一共答对了x道题，则答错了（25﹣1﹣x）道题，
依题意得：4x﹣（25﹣1﹣x）＝76，
解得：x＝20．
答：该同学一共答对了20道题．
（2）设答对了m道题，则答错（25﹣m）道题，
依题意得：4m﹣（25﹣m）≥85，
解得：m≥22．
答：参赛者至少需要答对22道题才能被评为“学党史小达人”．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24．（10分）探究角平分线定理：（1）在横线上分别填上适当的条件和理由．
已知，如图，OP是∠AOB的角平分线，点D是射线OP上任意一点，DE⊥OA于E点，DF⊥OB于F点，求证：DE＝DF．
证明：∵DE⊥OA，DF⊥OB，
∴∠DEO＝∠DFO＝90°．
∵OP是∠AOB的角平分线，
∴∠EOD＝∠FOD．
在△DOE与△DOF中，
，
∴△DOE≌△DOF（ AAS ）．
∴DE＝DF．
从而我们得到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．
（2）利用角平分线的性质解决以下两个问题：
①如图，在△ABC中，∠BAC与∠ABC的角平分线交于D点，过D点作DH⊥AB于H点，若△ABC的面积为s，周长为c，DH的长度为h，求s、c、h的关系．
②如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D点，求证：＝．
【分析】（1）利用AAS证明△DOE≌△DOF即可．
（2）如图2中，连接CD，过点D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F．根据S△ABC＝S△ADC+S△ADB+S△DCB，求解即可．
（3）如图3中，过点D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N．利用面积法求解即可．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵DE⊥OA，DF⊥OB，
∴∠DEO＝∠DFO＝90°．
∵OP是∠AOB的角平分线，
∴∠EOD＝∠FOD．
在△DOE与△DOF中，
，
∴△DOE≌△DOF（AAS），
∴DE＝DF．
故答案为：OD＝OD，AAS．
（2）解：如图2中，连接CD，过点D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F．
∵AD，BD分别平分∠CAB，∠CBA，DH⊥AB，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE＝DH，DH＝DF，
∵S△ABC＝S△ADC+S△ADB+S△DCB，
∴s＝•AC•h+•AB•h+•BC•h，
∴s＝（AC+AB+BC）•h，
∴s＝ch．
（3）证明：如图3中，过点D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N．
∵CD平分∠ACB，DM⊥AC，DN⊥BC，
∴DM＝DN，
∴＝＝，
∴＝．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题，学会利用面积法解决问题．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（4，0），点B在第一象限，且点B到x轴、y轴的距离都是4．点E、F分别是线段BC、OC上的动点．
（1）直接写出点B的坐标；
（2）若BE+OF＝EF，求∠EAF的度数；
（3）如图2，当点E运动到BC的中点，且FE⊥AE，求证：∠AFO＝2∠EAF．
【分析】（1）由点B在第一象限，且点B到x轴、y轴的距离都是4，可得B（4，4）．
（2）如图1中，在x轴的负半轴上取一点T，使得OT＝BE．证明△AOT≌△ABE（SAS），推出AT＝AE，∠OAT＝∠BAE，再证明△AFT≌△AFE（SSS），可得结论．
（3）如图2中，延长FE交AB的延长线于H．证明△BEH≌△CEF（ASA），推出EF＝EH，再证明△AEF≌△AEH（SAS），可得结论．
【解答】（1）解：∵点B在第一象限，且点B到x轴、y轴的距离都是4，
∴B（4，4）．
（2）解：如图1中，在x轴的负半轴上取一点T，使得OT＝BE．
在△AOT和△ABE中，
，
∴△AOT≌△ABE（SAS），
∴AT＝AE，∠OAT＝∠BAE，
∴EAT＝∠BAO＝90°，
∵EF＝BE+OF，FT＝OF+OT，OT＝BE，
∴FT＝EF，
在△AFT和△AFE中，
，
∴△AFT≌△AFE（SSS），
∴∠EAF＝∠FAT＝∠EAT＝45°．
（3）证明：如图2中，延长FE交AB的延长线于H．
∵E是BC的中点，
∴EB＝EC，
在△EBH和△ECF中，
，
∴△BEH≌△CEF（ASA），
∴EF＝EH，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠AEH＝90°，
在△AEF和△AEH中，
，
∴△AEF≌△AEH（SAS），
∴∠FAE＝∠HAE，
∵AB∥OC，
∴∠AFO＝∠CAH，
∴∠AFO＝2∠EAF．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
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日期：2022/1/31 21:41:27；用户：买老师高数；邮箱：15773116387；学号：29521335
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