2022年浙江省杭州市江干区采荷实验学校中考数学模拟卷（4月份）（含解析）

2022年浙江省杭州市江干区采荷实验学校中考数学模拟卷（4月份）

一．选择题（不通过10小题，共30分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算结果是正数的是

A.  B.  C.  D.

3. 若点与点关于轴对称，则

A.  B.  C.  D.

4. 九年级某班位同学的体育素质测试成绩统计如表所示，其中两个数据被遮盖，下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是

A. 平均数，方差 B. 中位数，方差 C. 中位数，众数 D. 平均数，众数

5. 解一元二次方程，配方后正确的是

A.  B.  C.  D.

6. 如图，直线，点在直线上，点，在直线上，，，于，那么等于

A.  B.  C.  D.

7. 在中，若，，则

A.  B.  C.  D.

8. 反比例函数图象在二、四象限，则二次函数的大致图象是

A.  B.
C.  D.

9. 如图所示，在长方形中，，在线段上取一点，连接、，将沿翻折，点落在点处，线段交于点将沿翻折，点的对应点恰好落在线段上，且点为的中点，则线段的长为

A.  B.  C.  D.

10. 二次函数的图象的顶点为且另有一点也在该函数图象上，则下列结论一定正确的是

1.  B.  C.  D.

二．填空题（不通过6小题，共18分）

11. 比较大小： ______．
12. 已知，，则______．
13. 某函数满足当时，函数随的增大而减小，且过点，写出一个满足条件的函数表达式______ ．
14. 圆柱的侧面展开图是一个相邻的两边长分别为，的长方形，则圆柱体的体积为______．
15. 如图，在中，弦，点在上移动，连接，过点作交于点，则的最大值为______．
    
     

16. 如图，在中，，平分，点在上，连结交于点，且，以下命题：；；；正确的序号为______．
     

三．解答题（不通过7小题，共56分）

17. 化简：小马的解答如下，小马的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答．
    解：
    
     
18. 一次函数为常数，且．
    若点在一次函数的图象上，求的值；
    当时，函数有最大值，求的值．
19. 针对新型冠状病毒事件，九班全体学生参加学校举行的“珍惜生命，远离病毒”知识竞赛后，班长对本班成绩进行分析，制作如下的频数分布表和频数分布条形统计图未完成除了到之间学生成绩尚未统计，还有名学生成绩如下：，，，，，班长根据情况画出的扇形统计图如下：

九班有多少名学生？
求出、的值？并请补全条形统计图．
全校共有名学生参加初赛，估计该校成绩范围内的学生有多少人？
九班甲、乙、丙三位同学的成绩并列第一，现选两人参加决赛，求恰好选中甲，乙两位同学的概率．

20. 在一次矿难事件的调查中发现，矿井内一氧化碳浓度和时间的关系如图所示：从零时起，井内空气中一氧化碳浓度达到，此后浓度呈直线增加，在第小时达到最高值发生爆炸，之后与成反比例关系．请根据题中相关信息回答下列问题：
    求爆炸前后与的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；
    当空气中浓度上升到时，井下深处的矿工接到自动报警信号，若要在爆炸前撤离到地面，问他们的逃生速度至少要多少？
    矿工需要在空气中一氧化碳浓度下降到及以下时，才能回到矿井开展生产自救，则矿工至少要在爆炸多少小时后才能下井？

21. 如图，四边形是菱形，是的中点，的垂线交于点，交的延长线于点．
    求证：；
    连接，．
    求菱形的周长；
    若，求的长．

22. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线是常数上．
    若该二次函数图象的顶点在第二象限时，求的取值范围；
    若抛物线的顶点在反比例函数的图象上，且，求的值；
    若当时，都有，求的取值范围．
23. 如图，内接于，连接，记，，．

探究与之间的数量关系，并证明．
    设与交于点，半径为，
    若，，求由线段，，       弧围成的图形面积．
    若，设，用含的代数式表示线段的长．
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的相反数是．
故选：．
依据相反数的定义求解即可．
本题主要考查的是相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，符合题意．
故选：．
各项计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了实数，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：点与点关于轴对称，
，，
解得：，，
，
故选：．
根据关于轴的对称点的坐标特点可得、的值，进而可得的值．
此题主要考查了关于轴的对称点的坐标特点，关键是掌握关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
 

4.【答案】

【解析】解：这组数据中成绩为、的人数和为，
则这组数据中出现次数最多的数，即众数，
第、个数据分别为、，
则中位数为，
故选：．
根据众数和中位数的定义求解可得．
本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握众数和中位数的概念．
 

5.【答案】

【解析】解：，
，即，
故选：．
两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

6.【答案】

【解析】解：，
，
，
，
于，
，
．
故选A．
先由平行线的性质得出，根据等角对等边得出，由垂直的定义得到，那么．
本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，垂直的定义，三角形内角和定理，求出是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：如图，

在中，，，
设，，
则，
．
故选：．
作出草图，根据的正切值设出两直角边分别为，，然后利用勾股定理求出斜边，则的正弦值即可求出．
本题考查了互余两角的三角函数的关系，作出草图，利用数形结合思想更形象直观，此类题目通常都用到勾股定理．
 

8.【答案】

【解析】解：反比例函数图象在二、四象限，
，
二次函数的图象开口向下，
对称轴，
，
，
对称轴在轴的负半轴，
故选：．
首先根据反比例函数所在象限确定，再根据确定抛物线的开口方向和对称轴，即可选出答案．
此题主要考查了反比例函数的性质，以及二次函数图象，解决此题的关键是根据反比例函数的性质确定的正负．
 

9.【答案】

【解析】解：四边形是矩形，
，，
由折叠的性质可得：，，，，
点恰好为的中点，
，
，
，
，，，
，
，
，，，
，
，，，
≌，
，
，
故选：．
由折叠的性质可得，，，，由中点性质可得，可得，由勾股定理可求的长，由“”可证≌，可得，即可求解．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，求出的长是本题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：二次函数的图象的顶点为，
，
整理得：，
，
和都在抛物线上，可得：
，，
得：

，
，
，
，
，
或，
或，
，
故选：．
先根据抛物线的顶点坐标写出抛物线的顶点式再划为一般式得出，再根据、都在抛物线上，把两坐标代入抛物线得出两个方程，把两个方程相减，化简即可得出结论．
本题考查二次函数的图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用和都在抛物线上进行解题．
 

11.【答案】

【解析】解：，，
，
．
故答案为：．
两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小．
 

12.【答案】

【解析】解：因为，，，
所以，
所以，
故答案为：．
由平方差公式得出，代入计算即可得出结果．
本题考查了平方差公式，熟练掌握并灵活运用平方差公式是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：，当时，且函数的值始终随自变量的增大而减小，
故答案为：．
根据题意，可以写出一个满足条件的反比例函数解析式，本题得以解决．
本题考查函数的性质，解答本题的关键是明确题意，写出一个符合题意的反比例函数或二次函数解析式，注意答案不唯一．
 

14.【答案】或

【解析】解：以为底面周长，为高，
此时圆柱体的底面半径为，
圆柱体的体积为，
以为圆柱体的底面周长，为高，
此时圆柱体的底面半径为，
圆柱体的体积为，
故答案为：或．
以不同的边为圆柱体的底面周长，计算出底面半径，再根据圆柱体体积计算方法进行计算即可．
本题考查圆柱体的展开与折叠，理解圆柱体表面展开图与圆柱体之间的关系是解决问题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：连接，如图，

，
，
，
当的值最小时，的值最大，
而时，最小，此时，
的最大值为，
故答案为：．
连接，如图，利用勾股定理得到，利用垂线段最短得到当时，最小，根据勾股定理求出，代入求出即可．
本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，能求出点的位置是解此题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：设，，
延长使得，连接，
，
，
，
，平分，
，
，
，
，故正确．
若，
则，
由于与不相似，故AE不成立，故错误．
是平分，
，
即，故正确．
，，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，故正确，
故答案为：．
设，，延长使得，连接，根据等腰三角形的性质以及相似三角形的性质即可求出答案．
本题考查等腰三角形的综合问题，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，本题中等题型．
 

17.【答案】解：不正确，
正确解答如下：



．

【解析】直接利用分式的加减运算法则，首先通分运算，进而合并、化简得出答案．
此题主要考查了分式的加减运算，正确通分运算是解题关键．
 

18.【答案】解：把代入得，解得；

时，随的增大而增大，
则当时，有最大值，把，代入函数关系式得，解得；
时，随的增大而减小，
则当时，有最大值，把代入函数关系式得 ，解得，
所以或．

【解析】根据一次函数图象上点的坐标特征把代入中可求出的值；
分类讨论：时，随的增大而增大，所以当时，有最大值，然后把代入函数关系式可计算出对应的值；时，随的增大而减小，所以当时，有最大值，然后把代入函数关系式可计算对应的值．
本题考查了一次函数的性质：，随的增大而增大，函数从左到右上升；，随的增大而减小，函数从左到右下降．由于与轴交于，当时，在轴的正半轴上，直线与轴交于正半轴；当时，在轴的负半轴，直线与轴交于负半轴．
 

19.【答案】解：调查的总人数为：人；

，，
补全条形统计图如下：

类所占百分比，
人，
即估计该校成绩范围内的学生有人；

画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中恰好选中甲，乙两位同学的结果数为，
恰好选中甲，乙两位同学的概率为．

【解析】由组的人数和所占百分比求出调查的总人数，即可解决问题；
由题意可直接得出的值，再由四组的频数之和等于总人数可得的值；
由全校共有学生名乘以所占百分比即可；
画树状图，再由概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了频数分布表、频数分布直方图以及扇形统计图．
 

20.【答案】解：爆炸前浓度呈直线型增加，
可设与的函数关系式为，
由图象知过点，，
，解得
，此时自变量的取值范围是，
爆炸后浓度成反比例下降，
可设与的函数关系式为．
由图象知过点，
，
，
，此时自变量的取值范围是；
当时，由得：，解得，
撤离的最长时间为小时．
撤离的最小速度为；
当时，由得，，
小时．
矿工至少在爆炸后小时才能下井．

【解析】根据图象可以得到函数关系式，再由图象所经过点的坐标，求出与的值，然后得出函数式，从而求出自变量的取值范围．再由图象知过点，求出的值，再由函数式求出自变量的取值范围．
结合以上关系式，当时，由得，从而求出撤离的最长时间，再由速度．
由关系式知，时，，矿工至少在爆炸后小时才能下井．
本题考查一次函数及反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
 

21.【答案】证明：如图，连接，
四边形是菱形，
，，
，
，
点是的中点，
点是的中点，，
，
．
解：由得，点是的中点，
，
四边形是菱形，
，
，，
≌，
，
，，
，
菱形的周长为．
如图，连接，记与交点为点，
，≌，
，，
，
，
，
，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
为直角三角形，
，
，，
，
．

【解析】连接，由菱形的性质得到、，结合得到，然后结合点是的中点得到点是的中点，最后得到；
先证明≌，然后得到，进而得到的长，最后求得菱形的周长；
连接，记与交点为点，先由，≌得到，，从而得到，进而得到，然后结合得到，从而得到，，再由，得到，，进而得到，即可得到，故，从而得到为等边三角形，为直角三角形，最后求得的长即为的长．
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是熟知菱形的性质．
 

22.【答案】解：，
抛物线的顶点为，
抛物线的顶点在第二象限，
，
解得；
抛物线的顶点在反比例函数的图象上，
，
解得或，
，
，
顶点为，
，
点，关于直线对称，
，
；
当时，都有，
抛物线的对称轴，经过点为，
，
解得或，
故的取为或．

【解析】用表示抛物线顶点，根据顶点在第二象限列不等式即可得到答案．
根据题意得到，解得，即可求得顶点为，由，可知点，关于直线对称，根据二次函数的对称性即可求得；
根据题意抛物线的对称轴，经过点为，即可得到，解得或．
本题考查了二次函数的性质，反比例函数图形上点的坐标特征，二次函数与不等式的关系，解题关键是熟练掌握二次函数图象的性质．
 

23.【答案】解：与之间的数量关系为：理由：
连接，如图，

，，
．
，
．
，
．
．
，，
．
．
，，
．
，
．
．
，
．
．
．
．
，
．
，
．
过点作于点，如图，

则．
，
．
．
．
，
．
，，
．
延长，交圆于点，连接，如图，

，
．
，
．
．
过点作于点，则，．
，，
，
．
设，则，
，
∽．
．
．
解得：．
．

【解析】连接，利用圆周角定理可得，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得出结论；
利用的结论与已知条件可得，则为等腰直角三角形，利用直角三角形的边角关系定理可得，过点作于点，利用等腰三角形的性质和直角三角形的边角关系定理可求线段的长，利用的面积减去扇形的面积即可求得结论；
延长，交圆于点，连接，利用圆周角定理可得，利于等腰三角形的性质可得，进而得到；过点作于点，利用等腰三角形的性质和直角三角形的边角关系定理可求，则，利用平行线的性质可得∽，由相似三角形对应边成比例得出比例式，设，则，代入比例式，解方程即可得出结论．
本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，通过添加恰当的辅助线以充分利用圆周角定理是解题的关键．