2022年广东省广州市天河区华南师大附中中考数学二模试卷（含解析）

2022年广东省广州市天河区华南师大附中中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 下列垃圾分类的标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A. 可回收物 B. 厨余垃圾
C. 有害垃圾 D. 其它垃圾物

3. 某种球形病毒的直径为米，将数据用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

4. 下列各式计算正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 一个多边形的每个内角均为，则这个多边形是

A. 七边形 B. 六边形 C. 五边形 D. 四边形

6. 某商品原价元，连续两次降价后售价为元，下列所列方程正确的是

A.  B.
C.  D.

7. 将一根橡皮筋两端固定在点，处，拉展成线段，拉动橡皮筋上的一点，当是顶角为的等腰三角形时，已知，则橡皮筋被拉长了

A.  B.  C.  D.

8. 如图是成都某市周内日最高气温的折线统计图，关于这天的日最高气温的说法正确的是

A. 极差是 B. 众数是 C. 中位数是 D. 平均数是

9. 如图，半圆的弧上有定长弦，若，且交于点，交于点，当在弧上由点向点移动时点不与点重合，点不与点重合，若设四边形面积为，运动时间为，则关于的图象大致是

A.  B.  C.  D.

10. 已知二次函数，经过点当时，的取值范围为或则如下四个值中有可能为的是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 分解因式：______．
12. 请写出一个函数随自变量增大而减小的函数解析式______．
13. 已知点坐标为，且点在轴上，则点的坐标是______ ．
14. 不等式组的解集为______．
15. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线的交于，两点，则的值为______．
16. 如图，正方形中，点在上，连接，点在上，点在上，于点，连接、，的延长线交于点，，，，则的长为______．
    
     

三、解答题（本大题共9小题，共72分）

17. 解下列方程组：．
18. 如图，为上一点，，，求证：．

19. 先化简，再求值：，其中，满足．
20. 在一个不透明的口袋中装有大小材质完全相同的三个小球，分别标有数字，，；另有四张背面完全一样的卡片，卡片正面分别标有数字，，，，四张卡片背面朝上放在桌面上．小明先从口袋中随机摸出一个小球，记下小球上的数字为，小红再从桌面上随机抽出一张卡片，记下卡片上的数字为．
    从口袋中摸出一个小球恰好标有数字的概率是______；
    求点在直线上的概率．
21. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．
    求点的坐标；
    点是线段上一点不与点、重合，若，求点的坐标．
    
    
     

22. 北京冬奥会的召开燃起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线：近似表示滑雪场地上的一座小山坡，小雅从点正上方米处的点滑出，滑出后沿一段抛物线：运动．
    
    当小雅滑到离处的水平距离为米时，其滑行达到最高位置为米．求出，的值；
    小雅若想滑行到坡顶正上方时，与坡顶距离不低于米，请求出的取值范围．
23. 如图，已知是外一点用两种不同的方法过点作的一条切线．
    要求：用直尺和圆规作图；
    保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．

24. 已知矩形的一条边，将矩形折叠，使得顶点落在边上的点处．
    
    若图中的点恰好是边的中点，求的度数；
    如图，已知折痕与边交于点，连结、、若与的面积比为：，求边的长；
    如图，的条件下，擦去折痕、线段，连结，动点在线段上点与点、不重合，动点在线段的延长线上，且，连结交于点，作于点，试问当点、在移动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长度．
25. 已知抛物线与轴正半轴交于点，且关于直线对称．

求，满足的关系式；
直线交抛物线于点，，作轴，交直线于点，且当时，；
求抛物线的解析式；
对于每个给定的实数，请说明点在一条确定的直线上，并求出这条直线的解析式．
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的相反数是，
故选：．
根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
 

2.【答案】

【解析】解：既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意；
C.既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意；
D.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】

【解析】解：，
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

4.【答案】

【解析】解：、，所以此选项错误；
B、，则，所以此选项错误；
C、，所以此选项正确；
D、，所以此选项错误．
故选：．
A、利用完全平方公式运算即可；
B、利用分式性质进行化简即可；
C、利用单项式乘以单项式运算即可；
D、利用幂的乘方运算即可．
本题考查的完全平方公式，幂的乘方与积的乘方，单项式的乘法，熟练掌握完全平方公式，幂的乘方，积的乘方，单项式的乘法是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：外角是，
，则这个多边形是六边形．
故选：．
一个多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是度，利用除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
 

6.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，属于基础题．
可用降价后的价格 降价前的价格 降价率 ，然后由题意可列出方程．
【解答】
解：依题意得两次降价后的售价为 ，
．
故选： ．   

7.【答案】

【解析】解：如图，过点作于点，

是等腰三角形，且，
，，，
在中，，
橡皮筋被拉长了：．
故选：．
过点作于点，先根据等腰三角形的性质得到，，再在中，利用锐角三角函数求出长，进而可求出橡皮筋被拉长的长度．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
 

8.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查折线统计图、极差、众数、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，能够判断各个选项中结论是否正确．
根据折线统计图中的数据可以判断各个选项中的数据是否正确，从而可以解答本题．
【解答】
解：由图可得，
极差是： ，故选项 A 错误，
众数是 ，故选项 B 正确，
这组数按照从小到大排列是： 、 、 、 、 、 、 ，故中位数是 ，故选项 C 错误，
平均数是： ，故选项 D 错误，
故选： ．   

9.【答案】

【解析】解：如图，设、交圆于、两点，

，
连接，为直径，经过圆心．
为定长，圆是定圆，，
为定长．
四边形的面积为定值．
又为经过矩形的中心，
四边形的面积等于四边形的面积的一半，也是定值．
故选：．
求出关于的表达式，或者找出关于的变化规律，再判断选项．
本题考查动点问题的函数图象．解题的关键是画出辅助线，发现四边形的面积不变．
 

10.【答案】

【解析】解：当时，，的取值范围为或，
，为抛物线上的点，
抛物线对称轴为直线，
，
，
，
当时，，
解得，
将代入解析式得，
，
，
，
或，
故选：．
由当时，的取值范围为或可得抛物线对称轴为直线，从而可得与的关系，将代入解析式，用含代数式表示，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象上点的坐标特征．
 

11.【答案】

【解析】解：．
先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后要继续利用平方差公式进行因式分解，分解因式要彻底，直到不能再分解为止．
 

12.【答案】，等

【解析】解；一次函数随自变量增大而减小，
，
满足条件的函数有：，等．
故答案为：，等．
根据一次函数的性质，随的增大而减小，故写一个函数，只要小于即可．
考查了一次函数的性质，一次函数的图象有四种情况：
当，，函数的图象经过第一、二、三象限，的值随的值增大而增大；
当，，函数的图象经过第一、三、四象限，的值随的值增大而增大；
当，时，函数的图象经过第一、二、四象限，的值随的值增大而减小；
当，时，函数的图象经过第二、三、四象限，的值随的值增大而减小．
 

13.【答案】

【解析】解：点坐标为，且点在轴上，
，
解得：，
，
故点的坐标是：．
故答案为：．
直接利用轴上点的坐标特点得出，求出的值，进而得出答案．
此题主要考查了点的坐标，正确得出的值是解题关键．
 

14.【答案】

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：直线与双曲线的交于，两点，
，，
．
故答案为：．
根据反比例函数和正比例函数均是中心对称图形可知，进一步可知的值．
本题考查了反比例函数的中心对称性，熟练掌握反比例函数与正比例函数的中心对称性是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：过点作于点，设与交与点，如图，

四边形是正方形，
，，
，
四边形为矩形，
，．
，
，
，
．
在和中，
，
≌．
．
，
．
．
在中，
，
，
解得：或．
，
．
，
，
，
，
．
，
≌．
，
是的垂直平分线，
．
当时，，当时，，
，
，
，
．
故答案为：．
过点作于点，设与交与点，通过证明≌，得到，，利用勾股定理求得，的长；通过证明为的垂直平分线，得到；利用三角形的面积求得的长，则结论可得．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线，三角形的面积，过点作于点是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
，得，
解得：，
把代入，得，
解得：，
所以原方程组的解是．

【解析】得出，求出，再把代入求出即可．
本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
 

18.【答案】解：，
，
在与中，
，
≌，
．

【解析】根据全等三角形的判定与性质即可求出答案．
本题考查全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于基础题型．
 

19.【答案】解：
，
，
，
，满足．
，，解得，，
把，，代入原式．

【解析】先化简，再求出，的值代入求解即可．
本题主要考查了了分式的化简求值及非负数的性质．解题的关键是求出，的值．
 

20.【答案】

【解析】解：从口袋中摸出一个小球恰好标有数字的概率是，
故答案为：；

列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中点在直线上的有种结果，
所以点在直线上的概率为．
直接根据概率公式求解即可；
列表得出所有等可能结果，从中找到点在直线上的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．
，
解得，，
，
；
如图，过点，分别作，垂直轴于点，，

，
，，
∽，
，
，
，
，
由得：，
，
点是线段上一点不与点、重合，
点的横坐标为，
将其代入直线得：，
．

【解析】联立方程组并解方程组可得答案；
过点，分别作，垂直轴于点，，利用∽，求得，从而解决问题．
本题是反比例函数综合题，主要考查了函数与方程的关系，相似三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
 

22.【答案】解：由题意可知抛物线：过点和，
将其代入得：，
解得，．
，；
抛物线经过点，
，
抛物线：，
当时，运动员到达坡顶，
即，
解得，
．

【解析】根据题意将点和代入求出、的值即可；
求出山坡的顶点坐标为，根据题意即，再解出的取值范围即可．
本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．
 

23.【答案】解：方法一：如图中，连接，以为直径作圆交于，作直线，直线即为所求．

方法二：如图，作射线，作于，作的外接圆交于，作直线，直线即为所求．
 

【解析】方法一：直接以为直径作圆，利用直径所对的圆周角是直角，可得，可证直线是切线．
方法二：构造直角，作的外接圆，利用圆周角定理解决问题即可．
本题考查专题复杂作图，切线的判定，线段的垂直平分线的性质，三角形的外接圆等知识，解题的关键是学会利用圆周角定理构造直角，属于中考常考题型．
 

24.【答案】解：点是边的中点，
，
由折叠性质得，，
四边形是正方形，
，
，
，
，
由折叠的性质可知，；
解：由折叠的性质可知，，
，又，
，又，
∽；
与的面积比为：，
与的相似比为：，
，
设，则，，，
在中，，即，
解得，，即；
解：的长度不变．
作交于，
，
由折叠的性质可知，，
，
，又，
，
，
，
，
，，
，
，
由得，，，
，
．

【解析】根据直角三角形的性质得到，根据折叠的性质解答即可；
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答；
作交于，根据等腰三角形的性质和相似三角形的性质得到，根据勾股定理求出，计算即可．
本题考查的是四边形的综合题，矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，掌握折叠是一种轴对称，折叠前后的图形对应角相等、对应边相等，灵活运用相关的性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：关于直线对称，
对称轴，
；
，
直线方程为，
直线交抛物线于点，，
，
，
，
整理得：，
设点坐标为，点坐标为，
，，
，
解得：或舍，
抛物线的解析式为；
由可知抛物线的解析式为，
，
设点坐标为，点坐标为，
联立直线解析式和抛物线解析式可得：，
整理得：，
，，
设直线的解析式为：，则
，解得：，
直线的解析式为：，
当时，，
，
，
，
，，
，
，
点在定直线上．

【解析】由对称轴为直线得，求得与的关系；
将代入直线解析式，然后联立抛物线的解析式得到关于的一元二次方程，再设点和点的坐标结合根与系数的关系表示出的长度，然后求出的值，从而得到抛物线的解析式；
先设点坐标为，点坐标为，联立直线和抛物线的解析式，得到和的关系，然后求出直线的表达式，再求点的坐标，最后得到点所在的直线．
本题考查了二次函数的解析式、一次函数解析式、二次函数与一次函数图象的交点、一元二次方程中根与系数的关系，解题的关键是联立直线和抛物线的解析式然后利用一元二次方程中根与系数的关系表达出点和点的横坐标之间的关系是解题的关键．