师大附中梅溪湖端午数学假期作业（二）带解析

这是一份师大附中梅溪湖端午数学假期作业（二）带解析，共22页。学案主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
端午数学假期作业（二）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1．已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．某高中为了解学生课外知识的积累情况，随机抽取名同学参加课外知识测试，测试共道题，每答对一题得分，答错得分.已知每名同学至少能答对道题，得分不少于分记为及格，不少于分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则下列说法正确的是（       ）A．该次课外知识测试及格率为B．该次课外知识测试得满分的同学有名C．该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数D．若该校共有名学生，则课外知识测试成绩能得优秀的同学大约有名3．下列说法正确的是（       ）A．向量与向量是相等向量B．与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系C．两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行D．若两个非零向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合4．若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（       ）A．30° B．60° C．120° D．150°5．下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（       ）A． B．C． D．6．已知某7个数的平均数为3，方差为，现又加入一个新数据3，此时这8个数的平均数为，方差为，则（　　）A． B．C． D．7．若是关于的实系数方程的一个复数根，则（       ）A． B．C． D．8．已知中，，，，为所在平面内一点，且满足，则的值为（       ）.A． B． C． D．二、多选题9．甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，则下列说法错误的是（       ）A．甲获胜的概率是 B．甲不输的概率是C．乙输的概率是 D．乙不输的概率是10．某校为了落实“双减”政策，决定调查学生作业量完成情况．现随机抽取名学生进行完成率统计，发现抽取的学生作业完成比率均在至之间，进行适当地分组后，画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（       ）A．直方图中的值为B．在被抽取的学生中，作业完成比率在区间内的学生有人C．估计全校学生作业完成比率的中位数约为D．若各组数据用所在区间中点值代替，估计全校学生作业完成比率的平均值为11．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的是（       ） A．AC ⊥BEB．EF//平面ABCDC．△AEF的面积与△BEF面积相等D．三棱锥A-BEF的体积为定值12．已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（       ）A．若为的垂心，，则B．若为边长为2的正三角形，则的最小值为-1C．若为锐角三角形且外心为，且，则D．若，则动点的轨迹经过的外心第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明三、填空题13．已知向量，若共面，则________．14．如图，在四面体中，，AC与BD所成的角为60°，M、N分别为AB、CD的中点，则线段MN的长为______．15．在中，若，则是__________．16．在正四棱锥中，，则平面截四棱锥外接球的截面面积是__________.四、解答题17．平面内的三个向量.(1)若，求实数k的值；(2)若，求实数k的值.18．如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：（1）EH∥平面BCD；（2）BD∥平面EFGH.19．如图，某几何体的下部分是长､宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求：（1）该几何体的体积；（2）该几何体的表面积.20．某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下： 甲分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数40202020 乙分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数28173421 （1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?21．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)若，，求的面积；(2)若，且的边长均为正整数，求．22．如图，在直棱柱中，底面是边长为2的正方形，．点是线段上的动点（不含端点），为的中点．（1）当为的中点时，证明：平面；（2）当时，求点到平面的距离．
参考答案：1．D【解析】【分析】首先利用复数的除法运算化简，再利用复数的几何意义求复数对应的点.【详解】因为，所以复数在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D2．C【解析】【分析】由百分比图知，成绩为100分、80分、60分、40分的百分比分别为，结合各项的描述即可判断其正误.【详解】由图知，及格率为，故A错误.该测试满分同学的百分比为，即有名，B错误.由图知，中位数为分，平均数为分，故C正确.由题意，名学生成绩能得优秀的同学有，故D错误.故选：C3．D【解析】【分析】根据向量的基本概念辨析可知.【详解】解：对于A，向量与向量是相反向量，所以A错误；对于B，因为向量是有方向和大小的量，所以两个向量不能比较大小，所以B错误；对于C，当两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线平行或共线，所以C错误；对于D，由共线向量的定义可知，当两个向量是共线向量时，有向量所在的直线可以平行，也可以重合，所以D正确.故选：D4．C【解析】【分析】先求得的值，根据数量积的运算法则求得以及的模，再根据向量的夹角公式，即可求得答案.【详解】由题意可得，故 ，，，故 ，由于 ，故，故选：C5．D【解析】【分析】要使空间中的、、、四点共面，只需满足，且即可.【详解】对于A选项，，，所以点与、、三点不共面；对于B选项，，，所以点与、、三点不共面；对于C选项，，，所以点与、、三点不共面；对于D选项，，,所以点与、、三点共面.故选：D.6．B【解析】【分析】利用平均数、方差的公式直接求解．【详解】∵这7个数的平均数为3，方差为，现又加入一个新数据3，此时这8个数的平均数为，方差为，∴，由方差公式得，所以．故选B．【点睛】本题考查平均数、方差公式、性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．7．D【解析】【分析】把代入方程，整理后由复数相等的定义列方程组求解.【详解】由题意1i是关于的实系数方程∴，即∴，解得.故选：D．8．B【解析】【分析】利用平面向量线性运算得到，再使用平面向量数量积运算法则进行计算.【详解】∵，∴，∴，∴，故选：B.9．BCD【解析】【分析】由对立事件、互斥事件、并事件的概率计算公式代入计算，对选项逐一判断.【详解】“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率是，故A正确；设甲不输为事件A，则事件A是“甲获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以，故B错误；“乙输”的概率即“甲获胜”的概率，为，故C错误；设乙不输为事件B，则事件B是“乙获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以，故D错误；故选：BCD10．ACD【解析】【分析】利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为可判断A选项；计算出作业完成比率在区间内的频率，乘以可判断B选项；根据频率分布直方图计算中位数和平均数，可判断CD选项.【详解】选项A：因为，则，故选项A正确；选项B：在被抽取的学生中，作业完成比率在区间内的学生频率为，则学生有人，故选项B错误；选项C：作业完成比率在区间内的学生频率为，作业完成比率在区间内的学生频率为，中位数在内，且为，故答案C正确；选项D：，故估计全校学生作业完成比率的平均值为，D正确．故选：ACD．11．ABD【解析】【分析】利用线面垂直的性质判断A，利用线面平行的判定定理判断B，利用同底不同高判断C，求出体积判断D.【详解】由于，，故平面，所以，所以A正确；由于， 平面，平面，所以平面，故B正确；由于三角形和三角形的底边都是，而前者是到的距离，即的长为1，而后前者是到的距离，作垂直于底面，垂足为，所以，连接，由于在中，是斜边，即，故C错误；连结BD交AC于O，由于平面，所以平面，，因为，三棱锥A-BEF的体积为为定值，故三棱锥的体积为定值，故D正确.故选：ABD.【点睛】本小题主要考查空间两条直线垂直关系的判断，考查空间线面平行的判断，关键点是熟练掌握有关判断和性质，考查平面图形的面积和空间立体图形的体积的判断，属于基础题.12．AC【解析】【分析】A利用三角形相似及数量积的几何意义判断：B构建直角坐标系，由向量数量积的坐标表示列式求最值；C由已知得，进而可知与中点共线，结合外心的性质有垂直平分即可判断；D将等式两侧同时点乘并化简得，即可判断.【详解】A：如下图，，则为垂心，易知：，所以，则，根据向量数量积的几何意义知：，同理，所以，正确；B：构建以中点为原点的直角坐标系，则，若，所以，，由，则，当时的最小值为，错误； C：由题设，则，所以，若为中点，则，故，故共线，又，即垂直平分，所以，正确；D：由题设，，则，所以，若为中点，则，故，则的轨迹不经过的外心，错误.故选：AC【点睛】关键点点睛：A根据垂心性质，三角形相似关系、数量积的几何意义得到；B构建直角坐标系，应用数量积的坐标表示列式判断；C、D根据外心的性质，应用数形结合化简题设向量的线性关系式判断.13．±1【解析】【分析】利用共面向量定理直接求解【详解】因为向量共面,所以存在实数m、n，使得,m≠0,n≠0,即,所以，解得,所以x=±1.故答案为：±1.14．或【解析】【分析】取的中点，连接、，求出的值，利用余弦定理可求得线段的长.【详解】取的中点，连接、，、分别为、的中点，且，同理可得且，为异面直线与所成的角或其补角，则或.在中，.若，则为等边三角形，此时，；若，由余弦定理可得.综上所述，或.故答案为：或.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．15．直角三角形【解析】【分析】根据正弦定理边化角以及两角和的余弦公式变形可得答案.【详解】因为，所以，所以，因为，，所以，所以，所以，因为，所以，则.所以为直角三角形.故答案为：为直角三角形.16．【解析】【分析】先作出辅助线，求出外接球半径，求出球心到截面的距离，从而得到截面圆的半径，求出截面的面积.【详解】如图，作平面，垂足为，则是正方形外接圆的圆心，从而正四棱锥外接球的球心在上，取棱的中点，连接，作，垂足为.由题中数据可得，设四棱锥外接球的半径为，则，即，解得.由题意易证，则，故.故所求截面圆的面积是.故答案为：17．(1)(2)或【解析】【分析】（1）先求出，再利用向量平行的坐标表示列方程即可求解；（2）先求出，再利用向量垂直的坐标表示列方程即可求解；(1)因为，所以.因为，所以，解得：.(2)因为，所以.因为，则，解得：或.18．（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）推导出EH∥BD，由此能证明EH∥平面BCD；（2）由BD∥EH，由此能证明BD∥平面EFGH.【详解】（1）∵EH为△ABD的中位线，∴EH∥BD.∵EH⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，∴EH∥平面BCD；（2）∵FG为△CBD的中位线，∴FG∥BD，∴FG∥EH，∴E、F、G、H四点共面，∵BD∥EH，BD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH，∴BD∥平面EFGH.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想，是中档题.19．（1）；（2）.【解析】（1）按照公式求出长方体和四棱锥的体积，求和即可；（2）先找到四棱锥侧面的高，然后可求出四棱锥的侧面积，继而求长方体的表面积，求和即可.【详解】连接，交于点，取的中点，连接，， （1）∴（2）∵，∴【点睛】易错点睛：求棱锥的表面积时要注意高为面的高，而不是棱锥的高.20．（1）甲分厂加工出来的级品的概率为，乙分厂加工出来的级品的概率为；（2）选甲分厂，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据两个频数分布表即可求出；（2）根据题意分别求出甲乙两厂加工件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出选择．【详解】（1）由表可知，甲厂加工出来的一件产品为级品的概率为，乙厂加工出来的一件产品为级品的概率为；（2）甲分厂加工件产品的总利润为元，所以甲分厂加工件产品的平均利润为元每件；乙分厂加工件产品的总利润为元，所以乙分厂加工件产品的平均利润为元每件．故厂家选择甲分厂承接加工任务．【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用，以及平均数的求法，并根据平均值作出决策，属于基础题．21．(1)16(2)6【解析】【分析】(1)利用正弦定理，边角互化，以及正弦的和差公式，即可求解.(2)根据正弦定理，边化角，再由余弦定理可得，再分和分类讨论，即可求解.(1)因为，由正弦定理得，又，得，故，所以，因为，，所以，于是，故，为直角三角形，所以的面积；(2)由，得，由正弦定理，可得；由余弦定理，得，∵，．若，则，故，则，，此时，不符合题意．∴，由，得，又，即，则．∵，，故当时，有，而，故能构成三角形，故．22．（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理可得,进而证得,然后利用线面平行的判定定理证得；（2）过点作，过点作，垂足为,可以证明平面,然后在直角三角形中利用等面积转化计算即得.【详解】解：（1）证明：如图，连接，,∵，，∴,∵∴,∵平面，平面∴平面,（2）如图，过点作，过点作，垂足为,∵，，∴平面与平面重合,∵平面，平面∴,又∵，，，平面，∴平面,由可知，,,故点到平面的距离为．【点睛】本题考查线面平行的证明，点面距离的求作与求法，涉及线面垂直的判定，属基础题，关键是准确掌握线面垂直，线面平行的判定定理，第（2）问中，利用将平面扩展为平面，然后求作面的垂线是一种重要方法.