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专题2 蒙日圆 微点2 蒙日圆的推广试卷
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这是一份专题2 蒙日圆 微点2 蒙日圆的推广试卷，共23页。
专题2 蒙日圆 微点2 蒙日圆的推广
专题2 蒙日圆
微点2 蒙日圆的推广
【微点综述】
上一微点我们讨论了椭圆中的蒙日圆，类似的我们可以的到双曲线和抛物线中的蒙日圆，本为专题进一步讨论蒙日圆的推广．
1．蒙日圆在双曲线、抛物线中的推广
【定理1】双曲线的两条互相垂直的切线交点的轨迹是蒙日圆：（如图3）．
图3 图4
【定理2】抛物线的两条互相垂直的切线交点的轨迹是该抛物线的准线：（如图4，可以看作半径无穷大的圆）．
注意：双曲线中只有当时才有蒙日圆，此时离心率满足；抛物线的蒙日圆恰好为其准线（直线可以看作半径为无穷大的圆）．总结可得如下的蒙日圆定理：
【定理3】过圆锥曲线外一点作两条互相垂直的切线，那么这一点的轨迹是一个圆，这个圆被称为蒙日圆，又叫外准圆．
证明：设圆锥曲线的方程为，其中系数矩阵满秩（即系数行列式）．
设平面内有一点，不在上．过作的切线，当切线斜率存在时，设切线斜率为，则切线方程可设为．联立曲线方程，消去得
，
为书写方便，令，由切线与圆锥曲线只有一个交点可得，即：
，
观察上式，当把代入之后可知前三项都含有，可写出二次项系数为．同理，第一、四、六项含有常数项，可以写出常数项为．∵两条切线互相垂直，斜率之积为，因此由韦达定理得，整理得到
．
当切线斜率不存在时，很明显两条切线分别为．联立与的方程，得到，由得，同理，，
两个方程相加，恰好得到此时的坐标满足方程
，
∴无论切线斜率是否存在，的轨迹方程均为
（**）．
习惯上用表示动点坐标，上式的均改为，得到的轨迹方程
（**）．
∵和的系数相同，且缺少含的项，∴方程（**）表示一个圆，即的轨迹是一个圆（实圆、点圆、虚圆均可）．证毕．
说明：（1）令，代入（**）可得椭圆的蒙日圆方程：．定理1得证．
（2）令，代入（**）可得双曲线的蒙日圆方程：．当时，，双曲线的蒙日圆存在．但当时，，方程退化为一个点．此时易证过的直线要么和双曲线有两个交点，要么没有交点（∵双曲线关于中心对称），∴过无法作双曲线的切线，自然也不存在两条互相垂直的切线．而当时，，于是方程表示一个虚圆（无法在坐标平面上表示），∴平面内不存在双曲线的两条互相垂直的切线．综上，只有当时（或离心率时），双曲线才有蒙日圆．定理2得证．
（3）令，代入（**）可得抛物线的蒙日圆方程：．这恰好是抛物线的准线方程，因此抛物线的蒙日圆是其准线．这也可以从蒙日圆的一般方程中看出，因抛物线满足，∴蒙日圆方程的二次项系数为，方程退化为一条直线．定理3得证．由此还能得出一个推论：过抛物线准线上的一点作抛物线的两条切线，这两条切线互相垂直．
2．蒙日圆的其他推广
【定理4】（1）椭圆的方程为的两条斜率之积为的切线交点的轨迹方程是；
（2）双曲线的两条斜率之积为的切线交点的轨迹方程是．
【定理5】过椭圆上任一点作椭圆的两条切线，则
①当时，所作的两条切线垂直；
②当时，所作的两条切线斜率之积为．
【定理6】（1）椭圆的两条斜率之积为的切线交点的轨迹是：
①当时，即圆（但要去掉四个点）；
②当且时，即椭圆（但要去掉四个点）；
③当时，即两条直线在椭圆外的部分（但要去掉四个点）；
④当时，即双曲线在椭圆外的部分（但要去掉四个点）；
⑤当时，即即双曲线在椭圆外的部分（但要去掉四个点）．
（2）双曲线的两条斜率之积为的切线交点的轨迹是：①当时，即圆；②当时，即双曲线；
③当或时，即椭圆；④当时，不存在．
（3）抛物线的两条斜率之积为的切线交点的轨迹是：
①当时，即直线；②当时，的方程为．
3．典型例题
例1．（2022·江苏·金陵中学二模）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上．该圆称为椭圆的“蒙日圆”若椭圆的离心率为，则椭圆的“蒙日圆”方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【分析】分类讨论和，当时，根据离心率求出，然后在椭圆上取两点，并写出对应的切线方程求出交点，进而求出圆半径即可；对于的情况与的方法步骤一致．
【解析】若，则，即，∴，
由于椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上，
不妨取两点，则两条切线为和，∴两条切线的交点为，且点在蒙日圆上，∴半径为，∴蒙日圆为；
若，则，即，∴，
由于椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上，
不妨取两点，则两条切线为和，∴两条切线的交点为，且点在蒙日圆上，∴半径为，∴蒙日圆为．
综上：椭圆的“蒙日圆”方程为或，故选C．
【评注】由已知条件，需要分和两种情况讨论．
例2．（2022·江苏·泰州中学高二开学考试）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：的离心率为，分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上两个动点．直线的方程为．下列说法正确的是（ ）
A．的蒙日圆的方程为
B．对直线上任意点，
C．记点到直线的距离为，则的最小值为
D．若矩形的四条边均与相切，则矩形面积的最大值为
【答案】AD
【分析】由在蒙日圆上可得蒙日圆的方程，结合离心率可得关系，由此可知A正确；
由过且在蒙日圆上，可知当恰为切点时，，知B错误；
根据椭圆定义可将转化为，可知时，取得最小值，由点到直线距离公式可求得最小值，代入可得的最小值，知C错误；
由题意知蒙日圆为矩形的外接圆，由矩形外接圆特点可知矩形长宽与圆的半径之间的关系，利用基本不等式可求得矩形面积最大值，知D正确．
【解析】对于A，过可作椭圆的两条互相垂直的切线：，，在蒙日圆上，蒙日圆方程为：，由得：，的蒙日圆方程为：，A正确；对于B，由方程知：过，又满足蒙日圆方程，在圆上，过，当恰为过作椭圆两条互相垂直切线的切点时，，B错误；对于C，在椭圆上，，；当时，取得最小值，最小值为到直线的距离，又到直线的距离，，C错误；对于D，当矩形的四条边均与相切时，蒙日圆为矩形的外接圆，矩形的对角线为蒙日圆的直径，设矩形的长和宽分别为，则，
矩形的面积（当且仅当时取等号），即矩形面积的最大值为，D正确，故选AD．
【点评】本题考查圆锥曲线中的新定义问题的求解，解题关键是能够根据蒙日圆的定义，结合点在蒙日圆上，得到蒙日圆的标准方程，从而结合圆的方程来判断各个选项．
例3．设P0（x0，y0）在椭圆 （a>b>0）外，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是，那么对于双曲线则有如下命题：若P0（x0，y0）在双曲线 （a>0，b>0）外，过P0作双曲线的两条切线，切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是________．
【答案】＝1
【解析】对于椭圆＝1，切点弦P1P2所在直线方程 ＝1，x2→xx0，y2→yy0．
类比，双曲线＝1切点弦P1P2所在的直线方程为 ＝1．
例4．（2022甘肃张掖肃南一中模拟）已知椭圆：的离心率，且经过点，抛物线：的焦点F与椭圆的一个焦点重合．
（Ⅰ）过F的直线与抛物线交于M，N两点，过M，N分别作抛物线的切线，，求直线，的交点Q的轨迹方程；
（Ⅱ）从圆O：上任意一点P作椭圆的两条切线，切点为A，B，证明：为定值，并求出这个定值．
【解析】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，则，即，则，
椭圆方程为，将点的坐标代入得，
故所求的椭圆方程为焦点坐标，故抛物线方程为．
设直线MN：，，，代入抛物线方程得，
则，，由于，∴，
故直线的斜率为，的方程为，即，
同理的方程为，令，即，显然，，即点Q的横坐标是，
点Q的纵坐标是，即点，
故点Q的轨迹方程是．（阿基米德三角形）
（Ⅱ）证明：①当两切线的之一的斜率不存在时，根据对称性，设点P在第一象限，则此时P点横坐标为，代入圆的方程得P点的纵坐标为，此时两条切线方程分别为，，此时，若的大小为定值，则这个定值只能是．
②当两条切线的斜率都存在时，即时，
设，切线的斜率为k，则切线方程为，与椭圆方程联立消元得．
由于直线是椭圆的切线，故，
整理得．
切线PA，PB的斜率，是上述方程的两个实根，故，点P在圆上，故，∴，∴，综上可知：的大小为定值，得证．
例5．已知抛物线：（），圆：（），抛物线上的点到其准线的距离的最小值为．
（1）求抛物线的方程及其准线方程；
（2）如图，点是抛物线在第一象限内一点，过点P作圆的两条切线分别交抛物线于点A，B（A，B异于点P），问是否存在圆使AB恰为其切线？若存在，求出r的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）的方程为，准线方程为．（2）存在，
【分析】（1）由得到p即可；
（2）设，利用点斜式得到PA的的方程为，由到PA的距离为半径可得，同理，同理写出直线AB的方程，利用点到直线AB的距离为半径建立方程即可．
【解析】（1）由题意得，解得，∴抛物线的方程为，准线方程为．
（2）由（1）知，．
假设存在圆使得AB恰为其切线，设，，
则直线PA的的方程为，即．
由点到PA的距离为r，得，
化简，得，同理，得．
∴，是方程的两个不等实根，
故，．
易得直线AB的方程为，
由点到直线AB的距离为r，得，
∴，于是，，
化简，得，即，经分析知，，因此．
【点评】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，直线与圆、抛物线的位置关系等，考查运算求解能力、数形结合思想．
例6．已知中心在原点的椭圆C1和抛物线C2有相同的焦点（1，0），椭圆C1过点，抛物线的顶点为原点．
（1）求椭圆C1和抛物线C2的方程；
（2）设点P为抛物线C2准线上的任意一点，过点P作抛物线C2的两条切线PA，PB，其中A、B为切点．
设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；
②若直线AB交椭圆C1于C，D两点，S△PAB，S△PCD分别是△PAB，△PCD的面积，试问：是否有最小值?若有，求出最小值；若没有，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的标准方程为，椭圆的方程为：，（2）①证明见解析，②有，最小值为．
【分析】（1）利用可得抛物线的标准方程，根据和点在椭圆上列方程组可求得和，从而可得标准方程；（2）①利用△=0以及韦达定理可得结论；
②先求出直线过定点，将问题转化为，即求得最小值，当直线的斜率存在时，联立直线与抛物线，利用弦长公式求出和，然后求比值，此时大于，当直线的斜率不存在时，直接求出和可得比值为．从而可得结论．
【解析】（1）∵抛物线C2有相同的焦点（1，0），且顶点为原点，∴，∴，
∴抛物线的标准方程为，
设椭圆方程为，则且，解得，∴椭圆的方程为：．
（2）①证明：设，过点与抛物线相切的直线为，
由，消去得，由△=，得，
则．
②设 ，由①得，则，
∴直线的方程为，∴，
即，即直线恒过定点，
设点到直线的距离为，∴，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
设，由，消去得，
时，△恒成立，
，
由消去得，△恒成立，
则，
∴，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，，，∴的最小值为．
【点评】本题考查了求抛物线和椭圆的标准方程，考查了直线与抛物线相切，考查了直线与椭圆相交的问题，考查了三角形的面积公式，考查了分类讨论思想，考查了弦长公式，属于难题．
【强化训练】
1．已知椭圆：的长半轴长为，点（为椭圆的离心率）在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，为直线上任一点，过点椭圆上点处的切线为，，切点分别，，直线与直线，分别交于，两点，点，的纵坐标分别为，，求的值.
2．已知椭圆的方程为.
（1）设是椭圆上的点，证明：直线与椭圆有且只有一个公共点；
（2）过点作两条与椭圆只有一个公共点的直线，公共点分别记为､，点在直线上的射影为点，求点的坐标；
（3）互相垂直的两条直线与相交于点，且､都与椭圆只有一个公共点，求点的轨迹方程.
3．已知椭圆的左、右顶点分别为，，点在椭圆上运动，若面积的最大值为，椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作圆：，的两条切线，分别与椭圆交于两点，(异于点)，当变化时，直线是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由.
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2：＋＝1(a>b>0)，C2与C1的长轴长之比为∶1，离心率相同．
(1) 求椭圆C2的标准方程；
(2) 设点P为椭圆C2上的一点．
①射线PO与椭圆C1依次交于点A，B，求证：为定值；
②过点P作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，且直线l1，l2与椭圆C1均有且只有一个公共点，求证k1·k2为定值．
5．已知抛物线上一点到焦点的距离.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点引圆的两条切线，切线与抛物线的另一交点分别为，线段中点的横坐标记为，求的取值范围.
6．如图，已知M(x0，y0)是椭圆C：上的任一点，从原点O向圆M：(x－x0)2＋(y－y0)2＝2作两条切线，分别交椭圆于点P，Q.
(1)若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求证：k1k2为定值；
(2)试问|OP|2＋|OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．
7．已知抛物线E：过点，过抛物线E上一点作两直线PM，PN与圆C：相切，且分别交抛物线E于M、N两点．
（1）求抛物线E的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（2）若直线MN的斜率为，求点P的坐标．
参考答案：
1．（1）；（2）.
【分析】（1）因为点在椭圆上，所以，然后，利用，，得出，进而求解即可
（2）设点的坐标为，直线的方程为，直线的方程为，分别联立方程：和，利用韦达定理，再利用，，即可求出的值
【详解】（1）由椭圆的长半轴长为，得.
因为点在椭圆上，所以.
又因为，，所以，
所以（舍）或.
故椭圆的标准方程为.
（2）设点的坐标为，直线的方程为，直线的方程为.
据得.
据题意，得，得，
同理，得，
所以.
又可求，得，，
所以
.
【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解以及联立方程求定值的问题，联立方程求定值的关键在于利用韦达定理进行消参，属于中档题
2．（1）证明见解析；（2）；（3）.
【分析】（1）当时，符合题意；当时，联立直线与椭圆的方程，得判别式为0，从而方程组只有一组解，进而可得答案；
（2）设，，得出A，B的坐标满足直线方程，推出直线AB的方程为，联立NQ的方程解得Q点坐标；
（3）设，分两种情况：当直线与有一条斜率不存在时，当直线与有一条斜率存在时，讨论点P的轨迹，即可得出答案.
【详解】（1）当时，，直线，
即直线，与椭圆只有一个公共点.
当时，由得，，又，
有，从而方程组只有一组解，
直线与椭圆的有且只有一个公共点.
（2）设，.
由（1）知两条直线为，，
又是它们的交点，，，
从而有，的坐标满足直线方程，
所以直线：.
直线的方程为，
由解得，即，
（3）设.
当直线与有一条斜率不存在时，，.
当直线与的斜率都存在时，设为和，
由得，
由，
整理得，，和是这个方程的两个根，
有，得，
所以点的轨迹方程是.
【点睛】关键点点睛：解决第一问主要是通过联立直线与椭圆所构成的方程组有一个解；解决第二问主要是通过第一问中的结论得出的方程；解决第三问主要是依据两直线的关系得到.
3．（1）；（2）直线恒过定点.
【分析】（1）首先列出关于的等式，再求椭圆的标准方程；（2）首先设出过点的切线方程，利用，得到关于斜率的一元二次方程，得到根与系数的关系，再与椭圆方程联立求得点的坐标，写出直线的斜率，并写出直线的方程，说明直线过定点.
【详解】（1）由题可知当点在椭圆的上顶点时，最大，
此时，∴，，，
∴椭圆的标准方程为.
（2）设过点与圆相切的直线方程为，即，
∵直线与圆：相切，∴，
即得.
设两切线的斜率分别为，，则，
设，，由，
∴，即，∴；
同理：，；
∴，
∴直线的方程为.
整理得，
∴直线恒过定点.
【点睛】本题考查椭圆方程，直线与圆，直线与椭圆的位置关系，重点考查转化思想，计算能力，逻辑推理能力，属于难题.
4．(1)＋＝1；(2)①证明见解析，②证明见解析
【解析】(1)根据已知条件，求出a，b的值，得到椭圆C2的标准方程．
(2)①对直线OP斜率分不存在和存在两种情况讨论，当OP斜率存在时，设直线OP的方程为y＝kx，并与椭圆C1的方程联立，解得点A横坐标，同理求得点P横坐标，再通过弦长公式，求出的表达式，化简整理得到定值．
②设P(x0，y0)，写出直线l1的方程，并与椭圆C1联立，得到关于x的一元二次方程，根据直线l1与椭圆C1有且只有一个公共点，得到方程只有一解，即Δ＝0，整理得－2x0y0k1＋－1＝0，同理得到－2x0y0k2＋－1＝0，从而说明k1，k2是关于k的一元二次方程的两个根，运用根与系数的关系，证得定值．
【详解】(1)设椭圆C2的焦距为2c，由题意，a＝2，，解得b＝，
因此椭圆C2的标准方程为＋＝1.
(2)①1°当直线OP斜率不存在时，
PA＝－1，PB＝＋1，则＝＝3－2.
2°当直线OP斜率存在时，设直线OP的方程为y＝kx，代入椭圆C1的方程，消去y，得(4k2＋1)x2＝4，
所以，同理．
所以，由题意，xP与xA同号，所以xP＝xA，
从而＝＝＝＝3－2.
所以＝3－2为定值．
②设P(x0，y0)，所以直线l1的方程为y－y0＝k1(x－x0)，即y＝k1x－k1x0＋y0，
记t＝－k1x0＋y0，则l1的方程为y＝k1x＋t，
代入椭圆C1的方程，消去y，得(4＋1)x2＋8k1tx＋4t2－4＝0，
因为直线l1与椭圆C1有且只有一个公共点，
所以Δ＝(8k1t)2－4(4＋1)(4t2－4)＝0，即4－t2＋1＝0，
将t＝－k1x0＋y0代入上式，整理得，－2x0y0k1＋－1＝0，
同理可得，－2x0y0k2＋－1＝0，
所以k1，k2为关于k的方程(－4)k2－2x0y0k＋y－1＝0的两根，从而k1·k2＝.
又点在P(x0，y0)椭圆C2：＋＝1上，所以，
所以k1·k2＝为定值．
【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查椭圆中的定值问题，椭圆中的定值问题，一种方法是直接计算，即由直线与椭圆相交求出交点坐标，求出直线斜率等，然后计算题中要证定值的量即可得，一种不直接计算，像本题（2）②中通过直线与椭圆相切，得出两直线斜率满足的关系式，从而确定这两个斜率是某个二次方程的根，由韦达定理直接得证，即建立参数之间的联系，然后推导出定值．
5．（1）（2）见解析
【分析】（1）由题意确定p的值即可确定抛物线方程；
（2）很明显切线斜率存在，由圆心到直线的距离等于半径可得是方程的两根，联立直线方程与抛物线方程可得点的横坐标 .结合韦达定理将原问题转化为求解函数的值域的问题即可.
【详解】（1）由抛物线定义,得，由题意得：
解得
所以，抛物线的方程为.
（2）由题意知，过引圆的切线斜率存在，设切线的方程为，则圆心到切线的距离，整理得，.
设切线的方程为,同理可得.
所以，是方程的两根，.
设，由得，，
由韦达定理知，，所以，同理可得.
设点的横坐标为，则
.
设，则，
所以，，对称轴，所以
【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解，直线与抛物线的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6．（1）；（2）9
【详解】试题分析：（1）设直线：，：，，，设过原点圆的切线方程为，运用直线和圆相切的条件：，再由二次方程的韦达定理，即可得到定值；（2）联立直线、方程和椭圆方程，求得，的坐标，运用韦达定理，化简整理，即可得到定值.
试题解析：(1)证明：因为直线OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x与圆M相切，所以，
化简得：，同理：，所以k1，k2是方程(x－2)k2－2x0y0k＋y－2＝0的两个不相等的实数根，所以，因为点M(x0，y0)在椭圆C上，所以，即，所以为定值．
(2)|OP|2＋|OQ|2是定值，定值为9，理由如下：
①当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立解得，所以，同理得，又因为，
所以.
②当直线OP，OQ落在坐标轴上时，显然有|OP|2＋|OQ|2＝9，综上：|OP|2＋|OQ|2＝9为定值．
7．（1）抛物线E的方程为，焦点坐标为，准线方程为；（2）或
【解析】（1）将点代入抛物线方程，可求出抛物线E的方程，进而可求出焦点坐标及准线方程；
（2）设，，可表示出直线及的斜率的表达式，进而可表示出两直线的方程，再结合直线和圆相切，利用点到直线的距离等于半径，可得，满足方程，从而得到，又直线MN的斜率为，可求出的值，即可求出点P的坐标.
【详解】（1）将点代入抛物线方程得，，所以抛物线E的方程为，焦点坐标为：，准线方程为：．
（2）由题意知，，设，，
则直线的斜率为，同理，直线PN的斜率为，
直线MN的斜率为，故，
于是直线的方程为，即，
由直线和圆相切，得，
即，
同理，直线PN的方程为，
可得，
故，是方程的两根．
故，即，
所以，解得或．
当时，；当时，．
故点P的坐标为或．
【点睛】本题考查抛物线方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查直线的方程，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
专题2 蒙日圆 微点2 蒙日圆的推广
专题2 蒙日圆
微点2 蒙日圆的推广
【微点综述】
上一微点我们讨论了椭圆中的蒙日圆，类似的我们可以的到双曲线和抛物线中的蒙日圆，本为专题进一步讨论蒙日圆的推广．
1．蒙日圆在双曲线、抛物线中的推广
【定理1】双曲线的两条互相垂直的切线交点的轨迹是蒙日圆：（如图3）．
图3 图4
【定理2】抛物线的两条互相垂直的切线交点的轨迹是该抛物线的准线：（如图4，可以看作半径无穷大的圆）．
注意：双曲线中只有当时才有蒙日圆，此时离心率满足；抛物线的蒙日圆恰好为其准线（直线可以看作半径为无穷大的圆）．总结可得如下的蒙日圆定理：
【定理3】过圆锥曲线外一点作两条互相垂直的切线，那么这一点的轨迹是一个圆，这个圆被称为蒙日圆，又叫外准圆．
证明：设圆锥曲线的方程为，其中系数矩阵满秩（即系数行列式）．
设平面内有一点，不在上．过作的切线，当切线斜率存在时，设切线斜率为，则切线方程可设为．联立曲线方程，消去得
，
为书写方便，令，由切线与圆锥曲线只有一个交点可得，即：
，
观察上式，当把代入之后可知前三项都含有，可写出二次项系数为．同理，第一、四、六项含有常数项，可以写出常数项为．∵两条切线互相垂直，斜率之积为，因此由韦达定理得，整理得到
．
当切线斜率不存在时，很明显两条切线分别为．联立与的方程，得到，由得，同理，，
两个方程相加，恰好得到此时的坐标满足方程
，
∴无论切线斜率是否存在，的轨迹方程均为
（**）．
习惯上用表示动点坐标，上式的均改为，得到的轨迹方程
（**）．
∵和的系数相同，且缺少含的项，∴方程（**）表示一个圆，即的轨迹是一个圆（实圆、点圆、虚圆均可）．证毕．
说明：（1）令，代入（**）可得椭圆的蒙日圆方程：．定理1得证．
（2）令，代入（**）可得双曲线的蒙日圆方程：．当时，，双曲线的蒙日圆存在．但当时，，方程退化为一个点．此时易证过的直线要么和双曲线有两个交点，要么没有交点（∵双曲线关于中心对称），∴过无法作双曲线的切线，自然也不存在两条互相垂直的切线．而当时，，于是方程表示一个虚圆（无法在坐标平面上表示），∴平面内不存在双曲线的两条互相垂直的切线．综上，只有当时（或离心率时），双曲线才有蒙日圆．定理2得证．
（3）令，代入（**）可得抛物线的蒙日圆方程：．这恰好是抛物线的准线方程，因此抛物线的蒙日圆是其准线．这也可以从蒙日圆的一般方程中看出，因抛物线满足，∴蒙日圆方程的二次项系数为，方程退化为一条直线．定理3得证．由此还能得出一个推论：过抛物线准线上的一点作抛物线的两条切线，这两条切线互相垂直．
2．蒙日圆的其他推广
【定理4】（1）椭圆的方程为的两条斜率之积为的切线交点的轨迹方程是；
（2）双曲线的两条斜率之积为的切线交点的轨迹方程是．
【定理5】过椭圆上任一点作椭圆的两条切线，则
①当时，所作的两条切线垂直；
②当时，所作的两条切线斜率之积为．
【定理6】（1）椭圆的两条斜率之积为的切线交点的轨迹是：
①当时，即圆（但要去掉四个点）；
②当且时，即椭圆（但要去掉四个点）；
③当时，即两条直线在椭圆外的部分（但要去掉四个点）；
④当时，即双曲线在椭圆外的部分（但要去掉四个点）；
⑤当时，即即双曲线在椭圆外的部分（但要去掉四个点）．
（2）双曲线的两条斜率之积为的切线交点的轨迹是：①当时，即圆；②当时，即双曲线；
③当或时，即椭圆；④当时，不存在．
（3）抛物线的两条斜率之积为的切线交点的轨迹是：
①当时，即直线；②当时，的方程为．
3．典型例题
例1．（2022·江苏·金陵中学二模）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上．该圆称为椭圆的“蒙日圆”若椭圆的离心率为，则椭圆的“蒙日圆”方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【分析】分类讨论和，当时，根据离心率求出，然后在椭圆上取两点，并写出对应的切线方程求出交点，进而求出圆半径即可；对于的情况与的方法步骤一致．
【解析】若，则，即，∴，
由于椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上，
不妨取两点，则两条切线为和，∴两条切线的交点为，且点在蒙日圆上，∴半径为，∴蒙日圆为；
若，则，即，∴，
由于椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上，
不妨取两点，则两条切线为和，∴两条切线的交点为，且点在蒙日圆上，∴半径为，∴蒙日圆为．
综上：椭圆的“蒙日圆”方程为或，故选C．
【评注】由已知条件，需要分和两种情况讨论．
例2．（2022·江苏·泰州中学高二开学考试）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：的离心率为，分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上两个动点．直线的方程为．下列说法正确的是（ ）
A．的蒙日圆的方程为
B．对直线上任意点，
C．记点到直线的距离为，则的最小值为
D．若矩形的四条边均与相切，则矩形面积的最大值为
【答案】AD
【分析】由在蒙日圆上可得蒙日圆的方程，结合离心率可得关系，由此可知A正确；
由过且在蒙日圆上，可知当恰为切点时，，知B错误；
根据椭圆定义可将转化为，可知时，取得最小值，由点到直线距离公式可求得最小值，代入可得的最小值，知C错误；
由题意知蒙日圆为矩形的外接圆，由矩形外接圆特点可知矩形长宽与圆的半径之间的关系，利用基本不等式可求得矩形面积最大值，知D正确．
【解析】对于A，过可作椭圆的两条互相垂直的切线：，，在蒙日圆上，蒙日圆方程为：，由得：，的蒙日圆方程为：，A正确；对于B，由方程知：过，又满足蒙日圆方程，在圆上，过，当恰为过作椭圆两条互相垂直切线的切点时，，B错误；对于C，在椭圆上，，；当时，取得最小值，最小值为到直线的距离，又到直线的距离，，C错误；对于D，当矩形的四条边均与相切时，蒙日圆为矩形的外接圆，矩形的对角线为蒙日圆的直径，设矩形的长和宽分别为，则，
矩形的面积（当且仅当时取等号），即矩形面积的最大值为，D正确，故选AD．
【点评】本题考查圆锥曲线中的新定义问题的求解，解题关键是能够根据蒙日圆的定义，结合点在蒙日圆上，得到蒙日圆的标准方程，从而结合圆的方程来判断各个选项．
例3．设P0（x0，y0）在椭圆 （a>b>0）外，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是，那么对于双曲线则有如下命题：若P0（x0，y0）在双曲线 （a>0，b>0）外，过P0作双曲线的两条切线，切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是________．
【答案】＝1
【解析】对于椭圆＝1，切点弦P1P2所在直线方程 ＝1，x2→xx0，y2→yy0．
类比，双曲线＝1切点弦P1P2所在的直线方程为 ＝1．
例4．（2022甘肃张掖肃南一中模拟）已知椭圆：的离心率，且经过点，抛物线：的焦点F与椭圆的一个焦点重合．
（Ⅰ）过F的直线与抛物线交于M，N两点，过M，N分别作抛物线的切线，，求直线，的交点Q的轨迹方程；
（Ⅱ）从圆O：上任意一点P作椭圆的两条切线，切点为A，B，证明：为定值，并求出这个定值．
【解析】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，则，即，则，
椭圆方程为，将点的坐标代入得，
故所求的椭圆方程为焦点坐标，故抛物线方程为．
设直线MN：，，，代入抛物线方程得，
则，，由于，∴，
故直线的斜率为，的方程为，即，
同理的方程为，令，即，显然，，即点Q的横坐标是，
点Q的纵坐标是，即点，
故点Q的轨迹方程是．（阿基米德三角形）
（Ⅱ）证明：①当两切线的之一的斜率不存在时，根据对称性，设点P在第一象限，则此时P点横坐标为，代入圆的方程得P点的纵坐标为，此时两条切线方程分别为，，此时，若的大小为定值，则这个定值只能是．
②当两条切线的斜率都存在时，即时，
设，切线的斜率为k，则切线方程为，与椭圆方程联立消元得．
由于直线是椭圆的切线，故，
整理得．
切线PA，PB的斜率，是上述方程的两个实根，故，点P在圆上，故，∴，∴，综上可知：的大小为定值，得证．
例5．已知抛物线：（），圆：（），抛物线上的点到其准线的距离的最小值为．
（1）求抛物线的方程及其准线方程；
（2）如图，点是抛物线在第一象限内一点，过点P作圆的两条切线分别交抛物线于点A，B（A，B异于点P），问是否存在圆使AB恰为其切线？若存在，求出r的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）的方程为，准线方程为．（2）存在，
【分析】（1）由得到p即可；
（2）设，利用点斜式得到PA的的方程为，由到PA的距离为半径可得，同理，同理写出直线AB的方程，利用点到直线AB的距离为半径建立方程即可．
【解析】（1）由题意得，解得，∴抛物线的方程为，准线方程为．
（2）由（1）知，．
假设存在圆使得AB恰为其切线，设，，
则直线PA的的方程为，即．
由点到PA的距离为r，得，
化简，得，同理，得．
∴，是方程的两个不等实根，
故，．
易得直线AB的方程为，
由点到直线AB的距离为r，得，
∴，于是，，
化简，得，即，经分析知，，因此．
【点评】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，直线与圆、抛物线的位置关系等，考查运算求解能力、数形结合思想．
例6．已知中心在原点的椭圆C1和抛物线C2有相同的焦点（1，0），椭圆C1过点，抛物线的顶点为原点．
（1）求椭圆C1和抛物线C2的方程；
（2）设点P为抛物线C2准线上的任意一点，过点P作抛物线C2的两条切线PA，PB，其中A、B为切点．
设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；
②若直线AB交椭圆C1于C，D两点，S△PAB，S△PCD分别是△PAB，△PCD的面积，试问：是否有最小值?若有，求出最小值；若没有，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的标准方程为，椭圆的方程为：，（2）①证明见解析，②有，最小值为．
【分析】（1）利用可得抛物线的标准方程，根据和点在椭圆上列方程组可求得和，从而可得标准方程；（2）①利用△=0以及韦达定理可得结论；
②先求出直线过定点，将问题转化为，即求得最小值，当直线的斜率存在时，联立直线与抛物线，利用弦长公式求出和，然后求比值，此时大于，当直线的斜率不存在时，直接求出和可得比值为．从而可得结论．
【解析】（1）∵抛物线C2有相同的焦点（1，0），且顶点为原点，∴，∴，
∴抛物线的标准方程为，
设椭圆方程为，则且，解得，∴椭圆的方程为：．
（2）①证明：设，过点与抛物线相切的直线为，
由，消去得，由△=，得，
则．
②设 ，由①得，则，
∴直线的方程为，∴，
即，即直线恒过定点，
设点到直线的距离为，∴，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
设，由，消去得，
时，△恒成立，
，
由消去得，△恒成立，
则，
∴，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，，，∴的最小值为．
【点评】本题考查了求抛物线和椭圆的标准方程，考查了直线与抛物线相切，考查了直线与椭圆相交的问题，考查了三角形的面积公式，考查了分类讨论思想，考查了弦长公式，属于难题．
【强化训练】
1．已知椭圆：的长半轴长为，点（为椭圆的离心率）在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，为直线上任一点，过点椭圆上点处的切线为，，切点分别，，直线与直线，分别交于，两点，点，的纵坐标分别为，，求的值.
2．已知椭圆的方程为.
（1）设是椭圆上的点，证明：直线与椭圆有且只有一个公共点；
（2）过点作两条与椭圆只有一个公共点的直线，公共点分别记为､，点在直线上的射影为点，求点的坐标；
（3）互相垂直的两条直线与相交于点，且､都与椭圆只有一个公共点，求点的轨迹方程.
3．已知椭圆的左、右顶点分别为，，点在椭圆上运动，若面积的最大值为，椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作圆：，的两条切线，分别与椭圆交于两点，(异于点)，当变化时，直线是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由.
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2：＋＝1(a>b>0)，C2与C1的长轴长之比为∶1，离心率相同．
(1) 求椭圆C2的标准方程；
(2) 设点P为椭圆C2上的一点．
①射线PO与椭圆C1依次交于点A，B，求证：为定值；
②过点P作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，且直线l1，l2与椭圆C1均有且只有一个公共点，求证k1·k2为定值．
5．已知抛物线上一点到焦点的距离.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点引圆的两条切线，切线与抛物线的另一交点分别为，线段中点的横坐标记为，求的取值范围.
6．如图，已知M(x0，y0)是椭圆C：上的任一点，从原点O向圆M：(x－x0)2＋(y－y0)2＝2作两条切线，分别交椭圆于点P，Q.
(1)若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求证：k1k2为定值；
(2)试问|OP|2＋|OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．
7．已知抛物线E：过点，过抛物线E上一点作两直线PM，PN与圆C：相切，且分别交抛物线E于M、N两点．
（1）求抛物线E的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（2）若直线MN的斜率为，求点P的坐标．
参考答案：
1．（1）；（2）.
【分析】（1）因为点在椭圆上，所以，然后，利用，，得出，进而求解即可
（2）设点的坐标为，直线的方程为，直线的方程为，分别联立方程：和，利用韦达定理，再利用，，即可求出的值
【详解】（1）由椭圆的长半轴长为，得.
因为点在椭圆上，所以.
又因为，，所以，
所以（舍）或.
故椭圆的标准方程为.
（2）设点的坐标为，直线的方程为，直线的方程为.
据得.
据题意，得，得，
同理，得，
所以.
又可求，得，，
所以
.
【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解以及联立方程求定值的问题，联立方程求定值的关键在于利用韦达定理进行消参，属于中档题
2．（1）证明见解析；（2）；（3）.
【分析】（1）当时，符合题意；当时，联立直线与椭圆的方程，得判别式为0，从而方程组只有一组解，进而可得答案；
（2）设，，得出A，B的坐标满足直线方程，推出直线AB的方程为，联立NQ的方程解得Q点坐标；
（3）设，分两种情况：当直线与有一条斜率不存在时，当直线与有一条斜率存在时，讨论点P的轨迹，即可得出答案.
【详解】（1）当时，，直线，
即直线，与椭圆只有一个公共点.
当时，由得，，又，
有，从而方程组只有一组解，
直线与椭圆的有且只有一个公共点.
（2）设，.
由（1）知两条直线为，，
又是它们的交点，，，
从而有，的坐标满足直线方程，
所以直线：.
直线的方程为，
由解得，即，
（3）设.
当直线与有一条斜率不存在时，，.
当直线与的斜率都存在时，设为和，
由得，
由，
整理得，，和是这个方程的两个根，
有，得，
所以点的轨迹方程是.
【点睛】关键点点睛：解决第一问主要是通过联立直线与椭圆所构成的方程组有一个解；解决第二问主要是通过第一问中的结论得出的方程；解决第三问主要是依据两直线的关系得到.
3．（1）；（2）直线恒过定点.
【分析】（1）首先列出关于的等式，再求椭圆的标准方程；（2）首先设出过点的切线方程，利用，得到关于斜率的一元二次方程，得到根与系数的关系，再与椭圆方程联立求得点的坐标，写出直线的斜率，并写出直线的方程，说明直线过定点.
【详解】（1）由题可知当点在椭圆的上顶点时，最大，
此时，∴，，，
∴椭圆的标准方程为.
（2）设过点与圆相切的直线方程为，即，
∵直线与圆：相切，∴，
即得.
设两切线的斜率分别为，，则，
设，，由，
∴，即，∴；
同理：，；
∴，
∴直线的方程为.
整理得，
∴直线恒过定点.
【点睛】本题考查椭圆方程，直线与圆，直线与椭圆的位置关系，重点考查转化思想，计算能力，逻辑推理能力，属于难题.
4．(1)＋＝1；(2)①证明见解析，②证明见解析
【解析】(1)根据已知条件，求出a，b的值，得到椭圆C2的标准方程．
(2)①对直线OP斜率分不存在和存在两种情况讨论，当OP斜率存在时，设直线OP的方程为y＝kx，并与椭圆C1的方程联立，解得点A横坐标，同理求得点P横坐标，再通过弦长公式，求出的表达式，化简整理得到定值．
②设P(x0，y0)，写出直线l1的方程，并与椭圆C1联立，得到关于x的一元二次方程，根据直线l1与椭圆C1有且只有一个公共点，得到方程只有一解，即Δ＝0，整理得－2x0y0k1＋－1＝0，同理得到－2x0y0k2＋－1＝0，从而说明k1，k2是关于k的一元二次方程的两个根，运用根与系数的关系，证得定值．
【详解】(1)设椭圆C2的焦距为2c，由题意，a＝2，，解得b＝，
因此椭圆C2的标准方程为＋＝1.
(2)①1°当直线OP斜率不存在时，
PA＝－1，PB＝＋1，则＝＝3－2.
2°当直线OP斜率存在时，设直线OP的方程为y＝kx，代入椭圆C1的方程，消去y，得(4k2＋1)x2＝4，
所以，同理．
所以，由题意，xP与xA同号，所以xP＝xA，
从而＝＝＝＝3－2.
所以＝3－2为定值．
②设P(x0，y0)，所以直线l1的方程为y－y0＝k1(x－x0)，即y＝k1x－k1x0＋y0，
记t＝－k1x0＋y0，则l1的方程为y＝k1x＋t，
代入椭圆C1的方程，消去y，得(4＋1)x2＋8k1tx＋4t2－4＝0，
因为直线l1与椭圆C1有且只有一个公共点，
所以Δ＝(8k1t)2－4(4＋1)(4t2－4)＝0，即4－t2＋1＝0，
将t＝－k1x0＋y0代入上式，整理得，－2x0y0k1＋－1＝0，
同理可得，－2x0y0k2＋－1＝0，
所以k1，k2为关于k的方程(－4)k2－2x0y0k＋y－1＝0的两根，从而k1·k2＝.
又点在P(x0，y0)椭圆C2：＋＝1上，所以，
所以k1·k2＝为定值．
【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查椭圆中的定值问题，椭圆中的定值问题，一种方法是直接计算，即由直线与椭圆相交求出交点坐标，求出直线斜率等，然后计算题中要证定值的量即可得，一种不直接计算，像本题（2）②中通过直线与椭圆相切，得出两直线斜率满足的关系式，从而确定这两个斜率是某个二次方程的根，由韦达定理直接得证，即建立参数之间的联系，然后推导出定值．
5．（1）（2）见解析
【分析】（1）由题意确定p的值即可确定抛物线方程；
（2）很明显切线斜率存在，由圆心到直线的距离等于半径可得是方程的两根，联立直线方程与抛物线方程可得点的横坐标 .结合韦达定理将原问题转化为求解函数的值域的问题即可.
【详解】（1）由抛物线定义,得，由题意得：
解得
所以，抛物线的方程为.
（2）由题意知，过引圆的切线斜率存在，设切线的方程为，则圆心到切线的距离，整理得，.
设切线的方程为,同理可得.
所以，是方程的两根，.
设，由得，，
由韦达定理知，，所以，同理可得.
设点的横坐标为，则
.
设，则，
所以，，对称轴，所以
【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解，直线与抛物线的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6．（1）；（2）9
【详解】试题分析：（1）设直线：，：，，，设过原点圆的切线方程为，运用直线和圆相切的条件：，再由二次方程的韦达定理，即可得到定值；（2）联立直线、方程和椭圆方程，求得，的坐标，运用韦达定理，化简整理，即可得到定值.
试题解析：(1)证明：因为直线OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x与圆M相切，所以，
化简得：，同理：，所以k1，k2是方程(x－2)k2－2x0y0k＋y－2＝0的两个不相等的实数根，所以，因为点M(x0，y0)在椭圆C上，所以，即，所以为定值．
(2)|OP|2＋|OQ|2是定值，定值为9，理由如下：
①当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立解得，所以，同理得，又因为，
所以.
②当直线OP，OQ落在坐标轴上时，显然有|OP|2＋|OQ|2＝9，综上：|OP|2＋|OQ|2＝9为定值．
7．（1）抛物线E的方程为，焦点坐标为，准线方程为；（2）或
【解析】（1）将点代入抛物线方程，可求出抛物线E的方程，进而可求出焦点坐标及准线方程；
（2）设，，可表示出直线及的斜率的表达式，进而可表示出两直线的方程，再结合直线和圆相切，利用点到直线的距离等于半径，可得，满足方程，从而得到，又直线MN的斜率为，可求出的值，即可求出点P的坐标.
【详解】（1）将点代入抛物线方程得，，所以抛物线E的方程为，焦点坐标为：，准线方程为：．
（2）由题意知，，设，，
则直线的斜率为，同理，直线PN的斜率为，
直线MN的斜率为，故，
于是直线的方程为，即，
由直线和圆相切，得，
即，
同理，直线PN的方程为，
可得，
故，是方程的两根．
故，即，
所以，解得或．
当时，；当时，．
故点P的坐标为或．
【点睛】本题考查抛物线方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查直线的方程，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
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