江苏省苏锡常镇四市2022届高三下学期3月教学情况调研

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江苏省南京市2022届高三下学期5月模拟数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知R为实数集，集合A＝{x∈Z||x|≤1}，B＝{x|2x－1≥0}，则A∩（）＝（       ）
A．{－1，0} B．{0，1} C．{－1，0，1} D．
2．已知i为虚数单位，复数z满足z（1－i）＝4－3i，则|z|＝（       ）
A． B． C． D．
3．为庆祝中国共青团成立100周年，某校计划举行庆祝活动，共有4个节目，要求A节目不排在第一个，则节目安排的方法数为（       ）
A．9 B．18 C．24 D．27
4．函数的部分图象大致是（       ）
A． B．
C． D．
5．我们知道，任何一个正整数N可以表示成N＝a×10n（1≤a＜10，n∈Z），此时lgN＝n＋lga（0≤lga＜1）．当n≥0时，N是一个n＋1位数．已知lg5≈0.69897，则5100是（       ）位数．
A．71 B．70 C．69 D．68
6．（1＋x）4（1＋2y）a（a∈N*）的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n）．若f（0，1）＋f（1，0）＝8，则a的值为（       ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，）的图象与y轴的交点为M（0，1），与x轴正半轴最靠近y轴的交点为N（3，0），y轴右侧的第一个最高点与第一个最低点分别为B，C．若△OBC的面积为（其中O为坐标原点），则函数f（x）的最小正周期为（       ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．已知，若∀x≥1，f（x＋2m）＋mf（x）＞0，则实数m的取值范围是（       ）
A．（－1，＋∞） B．
C．（0，＋∞） D．
二、多选题
9．设，a∈R，则下列说法正确的是（       ）
A．
B．“a＞1”是“”的充分不必要条件
C．“P＞3”是“a＞2”的必要不充分条件
D．$a∈（3，＋∞），使得P＜3
10．在平面直角坐标系中，已知圆：，则下列说法正确的是（       ）
A．若，则点在圆外
B．圆与轴相切
C．若圆截轴所得弦长为，则
D．点到圆上一点的最大距离和最小距离的乘积为
11．连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能．记事件A表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向上”，则（       ）
A．事件B与事件C互斥
B．
C．事件A与事件B独立
D．记C的对立事件为，则
12．在一个圆锥中，D为圆锥的顶点，O为圆锥底面圆的圆心，P为线段DO的中点，AE为底面圆的直径，是底面圆的内接正三角形，，则下列说法正确的是（       ）
A．BE∥平面PAC
B．PA⊥平面PBC
C．在圆锥侧面上，点A到DB中点的最短距离为
D．记直线DO与过点P的平面α所成的角为θ，当时，平面α与圆锥侧面的交线为椭圆
三、填空题
13．在平面直角坐标系xOy中，P是直线3x＋2y＋1＝0上任意一点，则向量与向量＝（3，2）的数量积为__________．
14．写出一个同时具有下列性质（1）（2）（3）的数列 的通项公式： __________．
（1）数列是无穷等比数列；（2）数列不单调；（3）数列单调递减．
15．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1与双曲线C2共焦点，双曲线C2实轴的两顶点将椭圆C1的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线C2的离心率为__________．
四、双空题
16．19世纪，美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频率约为总数的三成，接近期望值的3倍，并提出本福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．根据本福特定律，在某项大量经济数据（十进制）中，以6开头的数出现的概率为______；若,，则k的值为__________．
五、解答题
17．在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，，求sin∠ADC．
18．已知数列的前项和为，．
从下面①②③中选取两个作为条件，剩下一个作为结论．如果该命题为真，请给出证明；如果该命题为假，请说明理由．
①；②为等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
19．如图1，在平行四边形ABCD中，AB＝2，，∠ABC＝30°，AE⊥BC，垂足为E．以AE为折痕把△ABE折起，使点B到达点P的位置，且平面PAE与平面AECD所成的角为90°（如图2）．


(1)求证：PE⊥CD；
(2)若点F在线段PC上，且二面角F－AD－C的大小为30°，求三棱锥F－ACD的体积．
20．空气质量指数AQI与空气质量等级的对应关系如下：
空气质量指数AQI
空气质量等级
[0，50]
优
（50，100]
良
（100，150]
轻度污染
（150，200]
中度污染
（200，300]
中度污染
（300，＋¥）
严重污染

下列频数分布表是某场馆记录了一个月（30天）的情况：
空气质量指数AQI
[0，50]
（50，100]
（100，150]
（150，200]
频数（单位：天）
3
6
15
6

(1)利用上述频数分布表，估算该场馆日平均AQI的值；（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表）
(2)如果把频率视为概率，且每天空气质量之间相互独立，求未来一周（7天）中该场馆至少有两天空气质量等级达到“优或良”的概率；（参考数据：0.77≈0.0824，结果精确到0.01）
(3)为提升空气质量，该场馆安装了2套相互独立的大型空气净化系统．已知每套净化系统一年需要更换滤芯数量情况如下：
更换滤芯数量（单位：个）
3
4
5
概率
0．2
0．3
0．5

已知厂家每年年初有一次滤芯促销活动，促销期内每个滤芯售价1千元，促销期结束后每个滤芯恢复原价2千元．该场馆每年年初先在促销期购买n（n≥8，且n∈N*）个滤芯，如果不够用，则根据需要按原价购买补充．问该场馆年初促销期购买多少个滤芯，使当年购买滤芯的总花费最合理，请说明理由．（不考虑往年剩余滤芯和下一年需求）
21．已知函数＝（x2－x＋1）ex－3，，e为自然对数的底数．
(1)求函数的单调区间；
(2)记函数在（0，＋∞）上的最小值为m，证明：e＜m＜3．
22．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2＝4y，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线的切线，两切线的交点P在直线y＝x－5上．
(1)若点A的坐标为，求AP的长；
(2)若AB＝2AP，求点P的坐标．

参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
根据集合补集和交集的定义，结合解绝对值不等式的公式法进行求解即可.
【详解】
因为，，所以，
故选：A
2．D
【解析】
【分析】
利用复数模的运算律求解.
【详解】
解：因为，
所以，
故选：D
3．B
【解析】
【分析】
由于A节目有特殊要求，所以先安排A节目，再安排其它的节目，从而即可求解.
【详解】
解：由题意，先从后面3个节目中选择一个安排A节目，然后其它3个节目任意排在剩下的3个位置，共有种方法，
故选：B.
4．C
【解析】
【分析】
通过奇偶性可排除A，通过零点及特值可排除BD，即得结果.
【详解】
函数的定义域为，关于原点对称，

所以为奇函数排除A，
又排除B，当，，排除D；
故选：C.
5．B
【解析】
【分析】
运用代入法直接进行求解即可.
【详解】
，则其为70位数，
故选：B
6．C
【解析】
【分析】
利用二项展开式求出对应的项，列出方程求解即可.
【详解】
展开式中含的项为，含的项为，
，
∴，
故选：C
7．D
【解析】
【分析】
根据△OBC的面积可求得A，结合题中已知根据三角函数的性质可求得解析式，进而求得最小正周期.
【详解】
如下图，，，
，
，
∴，
，
∴，
，
，
，
∴，
故选：D．

8．B
【解析】
【分析】
分和进行分类讨论，分别确定m的取值范围，最后综合得答案.
【详解】
时，，符合题意；
时，，即
显然在R上递增，则对恒成立
对恒成立
则：；
综上，，
故选：B．
9．BC
【解析】
【分析】
根据双勾函数的单调性，逐一分析，即可求解.
【详解】
解：A错误，当时，显然有P小于0
B正确，时，，故充分性成立，而只需即可；
C正确，可得或，当时成立的，故C正确；
D错误，因为有，故D错误；
故选：BC.
10．ABD
【解析】
【分析】
选项A，根据点与圆的位置关系判断即可；选项B，根据直线与圆相切的定义判断即可；选项C，根据圆的弦长公式求解即可；选项D，根据分和两种情况即可判断.
【详解】
对于A，因为时，将原点代入圆方程可得，故点在圆外，故A正确；
对于B，圆化为标准方程即为，则圆心，，
显然圆心到轴距离为等于半径，所以相切，故B正确；
对于C，对根据题意，，解得，解得所以圆截轴所得弦长为，
则，故C不正确；
对于D，当时，圆：，所以点在圆上，显然最小值为，最大值为，
故乘积且等于；当时，由选项A知，点在圆外，，
所以最大值为，最小值为，乘积为，故D正确.
故选：ABD.
11．BCD
【解析】
【分析】
对A，根据事件B包含事件C判断即可；
对B，根据概率的性质，用1减去全为正面和全为反面的情况概率即可；
对C，根据相互独立事件的公式判断即可；
对D，先求得，再利用条件概率公式求解即可
【详解】
选项A：显然B发生的情况中包含C，故可同时发生，错误；
选项B：，正确；
选项C：，
故A与B独立，正确；
选项D：，，正确；
故选：BCD．
12．BD
【解析】
【分析】
根据线面平行的判定定理，结合题意，即可判断A的正误；根据线面垂直的判定、性质定理，结合勾股定理，可判断B的正误；根据圆锥侧面展开图，分析计算，可判断C的正误；根据圆锥曲线的定义，可判断D的正误，即可得答案.
【详解】
对于A：假设BE∥平面PAC，因为平面，平面平面，
所以，
由题意得BE不与AC平行，所以假设不成立，则BE不平行平面PAC，故A错．
对于B：因为平面ABC，平面ABC，
所以，
又AE为底面圆的直径，正三角形，
所以，
又，所以平面PAO，
所以，
又因为，所以，则，
所以，
所以，同理，，
所以，所以，
因为，所以平面PBC，故B正确．

对于C：将侧面铺平展开得

其中，底面圆周长
所以，则，
所以A到DB中点的最短距离为图中AM，若时，由余弦定理可得，
因为，所以，故C错．
对于D:设圆锥顶角为，则，
因为，由截曲线知，平面与圆锥侧面的交线为椭圆，故D正确．
故选：BD
【点睛】
解题的关键是熟练掌握圆锥的几何性质，并灵活应用，难点在于作出图象，分析并求解各个长度，再结合圆锥曲线的定义，进行求解，属中档题.
13．
【解析】
【分析】
设，利用数量积的坐标运算求解.
【详解】
解：设，
因为P是直线3x＋2y＋1＝0上任意一点，
所以，
故答案为：-1
14．（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根据数列需要满足的条件，可写出答案.
【详解】
由题意可得，满足（1）数列是无穷等比数列；（2）数列不单调；（3）数列单调递减，
故答案为：
15．
【解析】
【分析】
先利用椭圆和双曲线的定义得到，， 再根据两曲线的交点与两焦点共圆，利用勾股定理求解.
【详解】
不妨设焦点，在x轴上，两者在第一象限的公共点为P，
设的实半轴长为a，则的长半轴长为3a，半焦距为c，
设，，
则，
由题意知：P在为直径的圆上，
所以，
解得：．
故答案为：
16．          5
【解析】
【分析】
第一空，将 代入即可求得答案；第二空，根据得到的表达式，结合的值可得方程，解得答案.
【详解】
由题意可得：
（1）
（2），而，故，则．
故答案为：
17．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据正弦定理的边角转化，进而能求得;
（2）根据已知，可以确定各个角的三角函数值，进而求得与的关系，就能求得sin∠ADC．
(1)
由正弦定理有，
所以，
又，则有；
(2)
如下图，由，则，
所以，
可知，
设，
所以，
则有，
所以，
又，
所以，
又有，
所以．

18．答案见解析
【解析】
【分析】
选①②作为条件，可得，即可求出和，进而得到③.
选①③作为条件，可得，即可得到，进而得到②
选②③作为条件，可得，，进而得到①
【详解】
解：选①②作为条件，③作为结论
由，，，
所以，则有，，
所以可知，
则有，得
故可知，
又符合，
所以，
则有．
选①③作为条件，②作为结论

由
当为奇数，
当为偶数，
故


，
是以公差为，首项为的等差数列
选②③作为条件，①作为结论
为等差数列，，即



19．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据平面PAE与平面AECD所成的角为90°，得到平面平面AECD，进而得到 平面AECD即可；
（2）由平面AECD，和，得到EA，EC，EP两两垂直，则以E为坐标原点，分别以EA，EC，EP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设，求得平面AFD的一个法向量，平面ACD的一个法向量，根据二面角F-AD-C为30°，由，求得即可.
(1)
∵平面PAE与平面AECD所成的角为90°，
∴平面平面AECD，平面平面，
又，平面PAE，
∴平面AECD，
平面AECD，
∴．
(2)
∵平面AECD，
∴，，
又∵，
∴EA，EC，EP两两垂直，
以E为坐标原点，分别以EA，EC，EP为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系E-xyz，


Rt△ABE中，，，
∴，，
则，
∴，，，，
设，
∴，
∴，
设平面AFD的一个法向量为，
，，
则，∴，
不妨设，则，，
∴，
∵y轴⊥平面ACD，
∴平面ACD的一个法向量
∵二面角F-AD-C为30°，
∴，即，
∴，
∴，
∴F到平面AECD的距离，
，
∴．
20．(1)115
(2)0.67
(3)买9个最划算，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）法一：直接根据平均数的求解方法计算；
法二：根据频率进行计算
（2）易得空气质量等级达到优或良的概率为，再根据二项分布，利用其对立事件的概率求解即可；
（3）分别计算每年年初先在促销期购买n个滤芯的总花费数学期望比较大小即可
(1)
法一：；
法二：
(2)
一个月30天中达到优或良的天数为9，空气质量等级达到优或良的概率为，
∴未来一周（7天）中该场馆至少有两天空气质量达到优或良的概率为
；
(3)
法一：需要更换的滤芯个数X的所有可能取值为6，7，8，9，10，
，
，
，
，

∴更换滤芯个数X的期望为：
个
若购买8个，则总花费为元，
若购买9个，则总花费为9000元，∵，
故应购买9个最合理．
法二：按照这个数据，每年需要6到10个滤芯，也就是，9，10，而需求假设为Z，会有
；
；

那么当时，会有花费的分布为



均值
同理算出，
故此买9个最划算．
21．(1)单调递增区间为，，单调递减区间；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求导，利用导数求函数的单调区间即得解；
（2）求导得到，再求出，再对分类讨论得证.
(1)
解：，
，，单调递增；，，单调递减；
，，单调递增；
单调递增区间为，，单调递减区间.
(2)
解：，，
①，则，
②当时，，
所以
所以；
当时，
设所以在单调递增，
所以，所以，
所以，
当时，，
对任意，均有，则，
综上：.
22．(1)
(2)或
【解析】
【分析】
（1）利用导数的几何意义，表示出切线方程，和联立，求得，即得答案；
（2）法一：设，，AB：，联立，求得弦长，结合导数的几何意义求得，继而求得的长，利用得方程，求得答案.
法二：设，，，AB中点，利用导数几何意义的切线方程，表示出P点坐标，可得，从而结合可得，由此解得，结合，可求得答案.
(1)
由题意得， ，
由，则，
所以A点处的切线方程为，
联立，可得，
所以；
(2)
法一：由题意知，直线l斜率存在，设，，AB：，
联立，可得，需满足 ，
，
所以，
又有，，
所以A,B处的切线方程为，，
联立，有，
所以有，
又有

由，则有，
所以，，
又，则有，
所以，解得或，
当时，；当时，，满足,
所以或．
法二：
设，，，AB中点，
设PM中点为N，，
直线AP方程为：，整理有，
同理直线BP方程为：，
联立，
解得，显然，由题知，则，
故，
即，
整理有，其中，
则， ，
又因为满足，即，
解得或，
故或．
【点睛】
本题考查了抛物线和直线相交时的求线段长度以及点的坐标问题，综合性较强，涉及到导数的几何意义的应用，解答时要注意解题思路要顺畅，明确一步步要去求解什么，关键是计算量较大，要十分细心.