2020-2021学年第五章 相交线与平行线5.1 相交线5.1.2 垂线教案

5.1.2　垂　线

◇教学目标◇

【知识与技能】

1.理解垂线、垂线段等概念,能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线;

2.理解点到直线的距离的意义,能度量点到直线的距离;

3.掌握垂线的两个性质:在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.

【过程与方法】

经历观察、操作、探索、归纳、总结的过程,初步形成几何概念的认识方式和几何结论的归纳方法.

【情感、态度与价值观】

体会探究的乐趣,能对感性认识到理性认识有初步的体验.

◇教学重难点◇

【教学重点】

垂线的定义及性质.

【教学难点】

垂线的画法.

◇教学过程◇

一、问题导入

如图,AB是河岸,现要把河中的水引到农田P处,如何挖能使渠道最短?为什么?图中的比例尺为1∶100000,修水渠的费用是每米50元,问修水渠的最低费用是多少?

二、合作探究

探究点1　垂线的相关概念

典例1　如图,三条直线相交于点O.若CO⊥AB,∠1=56°,则∠2等于 (　　)

A.30° B.34° 

C.45° D.56°

[解析]　因为CO⊥AB,所以∠BOC=90°,又因为∠1+∠3=∠BOC,∠1=56°,所以∠3=34°,所以∠2=∠3=34°.

[答案]　B

当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.

变式训练　如图,AO⊥BC,DO⊥OE,OF平分∠AOD,∠AOE=35°.

(1)求∠COD的度数;

(2)求∠AOF的度数;

(3)你能找出图中有关角的等量关系吗?(写出3个即可)

[解析]　(1)∠COD=∠DOE+∠EOC=∠DOE+(∠AOC-∠AOE)=90°+(90°-35°)=145°.

(2)∠AOF=∠DOA=(∠EOD-∠AOE)=×(90°-35°)=27.5°.

(3)答案不唯一,如∠AOB=∠AOC,∠BOD=∠AOE,∠AOD=∠EOC.

探究点2　垂线的性质及其应用

典例2　如图,在一张透明的纸上画一条直线l,在l外任取一点Q并折出过点Q且与l垂直的直线.这样的直线能折出              (　　)

A.0条 B.1条

C.2条 D.3条

[解析]　根据垂线的性质来判断,这样的直线只有一条.

[答案]　B

【技巧点拨】在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.也就是说,过一点画已知直线的垂线,只能画一条.

变式训练　如图,要把水渠中的水引到水池C,需在渠岸AB上开沟.在AB上的何处开沟可使水池C到水渠的距离最短?请你在图中找到符合题意的开沟处D,并说明这样开沟距离最短的道理.

[解析]　如图所示,过点C作CD⊥AB,垂足为D,则点D就是符合题意的开沟处.理由是:垂线段最短.

探究点3　点到直线的距离

典例3　如图,点P在直线AB外,在过点P的四条线段中表示点P到直线AB距离的是 (　　)

A.线段PA的长 B.线段PB的长

C.线段PC的长 D.线段PD的长

[解析]　由图知PD⊥AB,所以线段PD为垂线段,即线段PD的长可表示点P到直线AB的距离.

[答案]　D

点到直线的距离是从直线外一点向这条直线所作的垂线段的长度,它是一个数量概念,只能量出或求出,而不能画出,画出的是垂线段,不是点到直线的距离.变式训练　如图,AC⊥BC,且BC=5,AC=12,AB=13,则点A到BC的距离是　　　　,点B到AC的距离是　　　　,点B到点A的距离是　　　　. 

[答案]　12　5　13

三、板书设计

垂线

1.垂直的定义;

2.垂直的表示方法;

3.垂线的画法;

4.垂线的两条性质;

5.点到直线的距离及其应用.

◇教学反思◇

　　垂线的概念不但是本节的重点,也是本章的重点之一.因为垂线是“图形与几何”领域的基础知识,在以后的学习中要经常用到.学好这部分内容的关键是使学生理解与相交线有关的角.垂线的两条性质“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”和“垂线段最短”,前一条性质是我们过一点作已知直线的垂线的依据,后一条性质是解决一些实际问题的依据,需引起重视.