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2022年江苏省南京中考数学终极押题密卷 (1)(word版含答案)
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这是一份2022年江苏省南京中考数学终极押题密卷 (1)(word版含答案)，共45页。试卷主要包含了2＝ 等内容，欢迎下载使用。
2022年南京中考数学终极押题密卷
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）（2021•鼓楼区二模）比﹣3小2的数是（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5
2．（2分）（2021•秦淮区一模）已知a＜b，下列式子不成立的是（ ）
A．a+2021＜b+2021 B．a﹣2021＜b﹣2021
C．﹣2021a＜﹣2021b D．a2021＜b2021
3．（2分）（2021•玄武区二模）下列平面图形中，是圆柱的侧面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2分）（2021•南京二模）若将⼀组数据中的每个数都加3，那么所得的这组新数据（ ）
A．平均数不变 B．中位数不变 C．众数不变 D．方差不变
5．（2分）（2021•鼓楼区二模）正比例函数y1＝k1x和反比例函数y2=k2x的图象如图所示，交点A的坐标是（1，4），那么当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x＜1
C．﹣1＜x＜1 D．﹣1＜x＜0或x＞1
6．（2分）（2021•秦淮区一模）将如图所示的纸片折叠、粘合成正方体形状．下列结论：
①粘合时，线段AB与线段FG重合；
②在正方体中，DE所在的面与GH所在的面相对；
③在正方体中，AC∥DE；
④在正方体中，DE与EF的夹角是60°．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）（2021•玄武区二模）写出一个负数，使这个数的绝对值大于2： ．
8．（2分）（2021•南京二模）习近平总书记在全国脱贫攻坚总结表彰大会上宣告现行标准下98990000农村贫困人口全部脱贫．用科学记数法表示98990000是 ．
9．（2分）（2021•鼓楼区二模）若8的平方根和立方根分别是a和b，则ab＝ ．
10．（2分）（2005•河源）计算：（a﹣b）2﹣（a+b）2＝ ．
11．（2分）（2021•玄武区二模）纳米（nm）是非常小的长度单位，1nm＝10﹣9m，我国某物理研究所已研制出直径为0.5nm的碳纳米管，用科学记数法表示0.5nm是 m．
12．（2分）（2021•南京二模）分解因式x3﹣2x2+x的结果是 ．
13．（2分）（2021•鼓楼区二模）若一组数据2，3，4，5，x的方差是2，那么x的值为 ．
14．（2分）（2021•肇源县模拟）已知α、β是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则α2+2β＝ ．
15．（2分）（2021•玄武区二模）如图，直线PQ经过正五边形ABCDE的中心O，与AB、CD边分别交于点P、Q，点C1是点C关于直线PQ的对称点，连接CC1，AC1，则∠CC1A的度数为 °．
16．（2分）（2021•南京二模）已知一次函数y=12x+1的图象与y轴交于点A，将该函数图象绕点A旋转45°，旋转后的图象对应的函数关系式是 ．
三．解答题（共11小题，满分88分）
17．（7分）（2021•鼓楼区二模）解不等式组x-2(x-1)≥12x-13-5x+12＜1，并写出它的整数解．
18．（7分）（2021•秦淮区一模）解不等式组x-3(x-2)≥42x-13＞x-12，并写出它的整数解．
19．（7分）（2021•玄武区二模）一个家具厂有甲、乙两个木料供货商，随机抽取该家具厂向这两个供货商订货后等待交货天数的样本数据，样本容量都为10，并绘制统计图．
（1）扇形统计图中“9天”对应扇形的圆心角度数为 °；
（2）根据以上信息，填空：
供货商
平均数/天
中位数/天
众数/天
方差/天2
甲
①
②
9
1.8
乙
8
8
8
③
（3）你认为家具厂从哪一个供货商进货比较好？请说明理由．
20．（8分）（2021•南京二模）某阅读网站现开通了A、B、C、D这4本书的免费下载权限，每位用户可免费下载其中2本阅读．
（1）求甲用户选择下载的2本书是A、B的概率；
（2）甲、⼄两个用户选择下载的2本书均不相同的概率是 ．
21．（8分）（2021•鼓楼区二模）已知△ABC，AB＝AC．按下列要求用直尺和圆规作图．（保留作图痕迹，不写作法）
（1）在图①中求作一点P，使∠BPC＝∠BAC，且A、P在直线BC异侧；
（2）在图②中求作一点P，使∠BPC＝∠BAC，且A、P在直线BC同侧．
22．（8分）（2021•秦淮区一模）“精准扶贫，暖心助力”．驻村书记通过某平台直播带货，帮助当地百姓脱贫致富．苹果成本价为每千克5元，销售价为每千克8元；蜜桔成本价为每千克6元，销售价为每千克10元．通过直播，两种水果共销售5000kg，苹果的销售量不少于2000kg．
（1）若销售的苹果和蜜桔的总成本为27400元，则销售苹果 kg，销售蜜桔 kg．
（2）当苹果的销量为多少时，两种水果的总利润最大？最大利润是多少？
23．（8分）（2021•玄武区二模）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC边上的点，DE＝BF，连接EF，∠EFB，∠FED的平分线分别交AB，CD边于点M，N，连接ME，NF．
（1）求证：四边形EMFN是平行四边形；
（2）小明在完成（1）的证明后继续探索，他猜想：当M为AB的中点时，四边形EMFN是矩形，请补全他的证明思路．
小明的证明思路：
连接MN．由（1）知四边形EMFN是平行四边形．
要证▱EMFN是矩形，只要证MN＝EF．
故只要证∠FEN＝∠MNE．
由已知条件 ，故只要证MN∥AD，
即证四边形AMND为平行四边形，易证 ，
故只要证AM＝DN，易证AM＝BM，故只要证 ，
易证△BMF≌△DNE，即可得证．
24．（8分）（2021•南京二模）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a（a为常数，且a≠0）．
（1）求证：不论a为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点．
（2）当1≤x≤4时，y＜5，直接写出a的取值范围．
25．（8分）（2021•鼓楼区二模）已知二次函数y＝﹣mx2﹣4mx﹣4m+4（m为常数，且m＞0）．
（1）求二次函数的顶点坐标；
（2）设该二次函数图象上两点A（a，ya）、B（a+2，yb），点A和点B间（含点A，B）的图象上有一点C，将点C纵坐标的最大值和最小值的差记为h．
①当m＝1时，若点A和点B关于二次函数对称轴对称，求h的值；
②若存在点A和点B使得h的值是4，则m的取值范围是 ．
26．（10分）（2021•秦淮区一模）【概念认识】
已知m是实数，若某个函数图象上存在点M（m，m），则称点M是该函数图象上的“固定点”．
【数学理解】
（1）一次函数y＝﹣2x+3的图象上的“固定点”的坐标是 ；
（2）求证：反比例函数y=kx（k＞0）的图象上存在2个“固定点”；
（3）将二次函数y＝x2+bx+1（b＜﹣2）的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象在x轴上方的部分组成一个类似“W”形状的新图象．若新图象上恰好存在3个“固定点”，求b的值．
27．（9分）（2021•玄武区二模）【问题情境】
如图①，小区A，B位于一条笔直的道路的同侧，为了方便A，B两个小区居民投放垃圾，现在l上建一个垃圾分类站C，使得C与A，B的距离之比为2：1．
【初步研究】
（1）在线段AB上作出点C，使CACB=2．
如图②，作法如下：
第一步：过点A作射线AM，
以A为圆心，任意长为半径画弧，交AM于点P1；
以P1为圆心，AP1长为半径画弧，交AM于点P2；
以P2为圆心，AP1长为半径画弧，交AM于点P3；
第二步：连接BP3，作∠AP2C＝∠AP3B，交AB于点C．则点C即为所求．
请证明所作的点C满足CACB=2．
【深入思考】
（2）如图③，点C在线段AB上，点D在直线AB外，且DADB=CACB=2．
求证：DC是∠ADB的平分线．
【问题解决】
（3）如图④，已知点A，B和直线l，点C在线段AB上，且CACB=2．用直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法）
（i）在直线AB上作出点E（异于点C），使EAEB=2；
（ii）在直线l上作出点F，使FAFB=2．
2022年南京中考数学终极押题密卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）（2021•鼓楼区二模）比﹣3小2的数是（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5
【考点】有理数的减法．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据题意列出减法式子，计算即可．
【解答】解：﹣3﹣2
＝﹣3+（﹣2）
＝﹣5．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的减法，减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．
2．（2分）（2021•秦淮区一模）已知a＜b，下列式子不成立的是（ ）
A．a+2021＜b+2021 B．a﹣2021＜b﹣2021
C．﹣2021a＜﹣2021b D．a2021＜b2021
【考点】不等式的性质．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；推理能力．
【分析】利用不等式的性质知：不等式两边同时乘以一个正数不等号方向不变，同乘以或除以一个负数不等号方向改变．
【解答】解：A、不等式两边同时加上2021，不等号方向不变，故本选项正确，不符合题意；
B、不等式两边同时减去2021，不等号方向不变，故本选项正确，不符合题意；
C、不等式两边同时乘以﹣2021，不等号方向改变，故本选项错误，符合题意；
D、不等式两边同时除以2021，不等号方向不变，故本选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质，解题的关键是牢记不等式的性质，特别是在不等式的两边同时乘以或除以一个负数时，不等号方向改变．
3．（2分）（2021•玄武区二模）下列平面图形中，是圆柱的侧面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】几何体的展开图．
【专题】投影与视图．
【分析】根据题意，注意其按圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，分析得到图形的性质，易得答案．
【解答】解：根据题意，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开展在一个平面上，
得到其侧面展开图是对边平行且相等的四边形；
又有母线垂直于上下底面，故可得是矩形．
故选：A．
【点评】本题考查的是圆柱的展开图，需要对圆柱有充分的理解；难度不大．
4．（2分）（2021•南京二模）若将⼀组数据中的每个数都加3，那么所得的这组新数据（ ）
A．平均数不变 B．中位数不变 C．众数不变 D．方差不变
【考点】众数；算术平均数；中位数．
【专题】统计的应用；运算能力；推理能力．
【分析】将⼀组数据中的每个数都加3，那么所得的新数据的众数、中位数、平均数都增加3，方差不变，据此可得答案．
【解答】解：将⼀组数据中的每个数都加3，那么所得的新数据的众数、中位数、平均数都增加3，方差不变，
故选：D．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差、众数、中位数和平均数的定义．
5．（2分）（2021•鼓楼区二模）正比例函数y1＝k1x和反比例函数y2=k2x的图象如图所示，交点A的坐标是（1，4），那么当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x＜1
C．﹣1＜x＜1 D．﹣1＜x＜0或x＞1
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；几何直观；推理能力．
【分析】由正、反比例的对称性结合点A的坐标即可得出点B的坐标，根据函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标，即可得出不等式y1＞y2的解集．
【解答】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，点A的坐标是（1，4），
∴交点B的坐标为（﹣1，﹣4）．
观察函数图象发现：
当﹣1＜x＜0或x＞1时，正比例函数图象在反比例函数图象的上方，
∴当y1＞y2时，x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞1．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是找出另一个交点的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数的对称性找出两函数交点的坐标，再根据函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标解决不等式是关键．
6．（2分）（2021•秦淮区一模）将如图所示的纸片折叠、粘合成正方体形状．下列结论：
①粘合时，线段AB与线段FG重合；
②在正方体中，DE所在的面与GH所在的面相对；
③在正方体中，AC∥DE；
④在正方体中，DE与EF的夹角是60°．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．
【专题】几何图形；空间观念．
【分析】注意正方体的展开图，从相对面入手，分析及解答问题．
【解答】解：如图：
①粘合时，线段AB与线段FG重合，正确；
②在正方体中，DE所在的面与GH所在的面相对，正确；
③在正方体中，AC、DE不在同一平面内，不平行，故不正确；
④在正方体中，DE与EF、DF分别为三个面的对角线，DE＝EF＝DF，△DEF是等边三角形，所以DE与EF的夹角是60°，正确．
其中所有正确结论的序号是①②④．
故选：B．
【点评】本题考查了正方体的展开图．注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）（2021•玄武区二模）写出一个负数，使这个数的绝对值大于2： ﹣3 ．
【考点】正数和负数；绝对值．
【专题】实数；数感．
【分析】首先根据一个负数的绝对值大于2，可得这个负数小于﹣2，据此求解即可．
【解答】解：满足绝对值大于2的负数可以是﹣3．
故答案为：﹣3（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了绝对值的含义和运用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．
8．（2分）（2021•南京二模）习近平总书记在全国脱贫攻坚总结表彰大会上宣告现行标准下98990000农村贫困人口全部脱贫．用科学记数法表示98990000是 9.899×107 ．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；符号意识．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：98990000＝9.899×107．
故答案为：9.899×107．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
9．（2分）（2021•鼓楼区二模）若8的平方根和立方根分别是a和b，则ab＝ ±42 ．
【考点】立方根；平方根．
【专题】实数；运算能力．
【分析】根据平方根和立方根的定义即可求解．
【解答】解：8的平方根：±8=±22．
8的立方根：38=2．
故ab=±42．
故答案为：±42．
【点评】本题考查立方根和平方根的知识，关键在于熟悉其概念．
10．（2分）（2005•河源）计算：（a﹣b）2﹣（a+b）2＝ ﹣4ab ．
【考点】完全平方公式．
【分析】根据完全平方公式展开整理即可．
【解答】解：（a﹣b）2﹣（a+b）2，
＝a2﹣2ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2，
＝﹣4ab．
【点评】本题主要考查完全平方公式，熟记公式结构是解题的关键．
11．（2分）（2021•玄武区二模）纳米（nm）是非常小的长度单位，1nm＝10﹣9m，我国某物理研究所已研制出直径为0.5nm的碳纳米管，用科学记数法表示0.5nm是 5×10﹣10 m．
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【专题】实数；数感．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.5nm＝0.5×10﹣9m＝5×10﹣10m，
故答案为：5×10﹣10．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，表示时关键要确定a的值以及n的值．
12．（2分）（2021•南京二模）分解因式x3﹣2x2+x的结果是 x（x﹣1）2 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；运算能力．
【分析】直接提取公因式x，再利用公式法分解因式得出答案．
【解答】解：x3﹣2x2+x
＝x（x2﹣2x+1）
＝x（x﹣1）2．
故答案为：x（x﹣1）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
13．（2分）（2021•鼓楼区二模）若一组数据2，3，4，5，x的方差是2，那么x的值为 1或6 ．
【考点】方差．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念；运算能力．
【分析】根据方差的定义列方程求解即可得出结果．
【解答】解：这组数据的平均数为：15（2+3+4+5+x）=14+x5，
方差是：S2=15[（14+x5-2）2+（14+x5-3）2+（14+x5-4）2+（14+x5-5）2+（14+x5-x）2]＝2，
整理得：x2﹣7x+6＝0，
解得：x1＝1，x2＝6，
∴x的值为1或6，
故答案为：1或6．
【点评】本题考查方差、平均数，解一元二次方程等知识，掌握方差的计算公式是是解题的关键．
14．（2分）（2021•肇源县模拟）已知α、β是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则α2+2β＝ 5 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】利用一元二次方程的解及根与系数的关系可得出β2﹣2β＝1，α+β＝2，α•β＝﹣1，将代数式变形为（α+β）2﹣2αβ﹣（β2﹣2β），整体代入即可．
【解答】解：∵α，β是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，
∴β2﹣2β＝1，α+β＝2，α•β＝﹣1，
∴α2+2β＝（α+β）2﹣2αβ﹣（β2﹣2β）＝22﹣2×（﹣1）﹣1＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于-ba，两根之积等于ca”是解题的关键．
15．（2分）（2021•玄武区二模）如图，直线PQ经过正五边形ABCDE的中心O，与AB、CD边分别交于点P、Q，点C1是点C关于直线PQ的对称点，连接CC1，AC1，则∠CC1A的度数为 72 °．
【考点】正多边形和圆；轴对称的性质．
【专题】正多边形与圆；推理能力．
【分析】连接OA，OB，OC，OC1．证明OA＝OB＝OC＝OC1，推出A，B，C，C1四点共圆，即可解决问题．
【解答】解：连接OA，OB，OC，OC1．
∵ABCDE是正五边形，
∴OA＝OB＝OC，∠ABC＝108°，
∵C，C1关于PQ对称，
∴OC＝OC1，
∴OA＝OB＝OC＝OC1，
∴A，B，C，C1四点共圆，
∴∠ABC+∠CC1A＝180°，
∴∠CC1A＝72°，
故答案为：72．
【点评】本题考查正多边形与圆，四点共圆，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是证明OA＝OB＝OC＝OC1，推出A，B，C，C1四点共圆．
16．（2分）（2021•南京二模）已知一次函数y=12x+1的图象与y轴交于点A，将该函数图象绕点A旋转45°，旋转后的图象对应的函数关系式是 y=-13x+1或y＝3x+1 ．
【考点】一次函数图象与几何变换．
【专题】一次函数及其应用；图形的全等；运算能力；推理能力．
【分析】分两种情况讨论，通过三角形全等，求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得旋转后的图象对应的函数关系式．
【解答】解：如图1，∵一次函数y=12x+1的图象与y轴交于点A，与x轴交于B，
∴A（0，1），B（﹣2，0），
当直线y=12x+1绕点A顺时针旋转45°后的图象为直线l，
过B作BD⊥直线l于D，过D作FD⊥y轴于F，过B作BE⊥FD延长线于E，则△ABD为等腰直角三角形，易得△ADF≌△DBE（AAS），设AF＝a，则DE＝a，
∵点A（0，1），点B（﹣2，0），
∴DF＝BE＝OF＝1+a，EF＝ED+DF＝a+1+a＝OB＝2，
∴a=12，
∴DF＝OF＝1+a=32，
∴D（-32，32），
设直线l的解析式为y＝kx+1，则32=-32k+1，解得k=-13，
∴y=-13x+1；
如图2，直线y=12x+1绕点A逆时针旋转45°后的图象为直线l，过B作BD⊥直线l于D，过D作FD⊥y轴于F，作DE⊥x轴于E，则△ABD为等腰直角三角形，易得△ADF≌△BDE（AAS），设DF＝b，则DE＝b，
∵点A（0，1），点B（﹣2，0），
∴AF＝BE＝1+b，BO＝BE+OE＝b+1+b＝2，
∴b=12，
∴D（-12，-12），
设直线l的解析式为y＝kx+1，则-12=-12k+1，解得k＝3，
∴y＝3x+1；
综上，旋转后的图象对应的函数关系式是y=-13x+1或y＝3x+1．
故答案为y=-13x+1或y＝3x+1．
【点评】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，旋转的性质以及一次函数图象上点的坐标特征的运用，解决问题的关键是利用45°角，作辅助线构造等腰直角三角形．
三．解答题（共11小题，满分88分）
17．（7分）（2021•鼓楼区二模）解不等式组x-2(x-1)≥12x-13-5x+12＜1，并写出它的整数解．
【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出整数解即可．
【解答】解：x-2(x-1)≥1①2x-13-5x+12＜1②，
由①得：x≤1，
由②得：x＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤1，
则不等式组的整数解为0，1．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（7分）（2021•秦淮区一模）解不等式组x-3(x-2)≥42x-13＞x-12，并写出它的整数解．
【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．
【专题】计算题；一元一次不等式（组）及应用．
【分析】分别解出两个不等式的解集，再表示出其公共部分即可．
【解答】解：解不等式x﹣3（x﹣2）≥4，得：x≤1，
解不等式2x-13＞x-12，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤1，
所以不等式组的整数解为0、1．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．
19．（7分）（2021•玄武区二模）一个家具厂有甲、乙两个木料供货商，随机抽取该家具厂向这两个供货商订货后等待交货天数的样本数据，样本容量都为10，并绘制统计图．
（1）扇形统计图中“9天”对应扇形的圆心角度数为 144 °；
（2）根据以上信息，填空：
供货商
平均数/天
中位数/天
众数/天
方差/天2
甲
① 8
② 8.5
9
1.8
乙
8
8
8
③ 1.2
（3）你认为家具厂从哪一个供货商进货比较好？请说明理由．
【考点】扇形统计图；中位数；众数；方差；总体、个体、样本、样本容量．
【专题】统计的应用；应用意识．
【分析】（1）扇形统计图中，“9天”占整体的1﹣10%﹣20%﹣20%﹣10%＝40%，因此所在扇形的圆心角度数为360°的40%；
（2）由扇形统计图中数据求出各组的频数，根据平均，中位数，方差的意义可求解；
（3）根据中位数，众数，方差的意义可得出答案．
【解答】解：（1）360°×（1﹣10%﹣20%﹣20%﹣10%）＝360°×40%＝144°，
故答案为：144；
（2）甲供货商的平均数：110（10×10%×10+10×20%×6+10×20%×7+10×10%×8+10×40%×9）＝8，
甲供货商的中位数：（8+9）÷2＝8.5，
乙供货商的方差：110[（6﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2+（7﹣8）2+（10﹣8）2+（8﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2]＝1.2，
故答案为：8，8.5，1.2；
（3）家具厂从乙供货商进货比较好．
理由：由平均数可知，家具厂向甲、乙两供货商订货后等待天数相当，由甲的方差大于乙的方差可知，家具厂向乙供货商订货后等待天数比较稳定，所以家具厂从乙供货商进货比较好．
【点评】本题考查中位数、众数、平均数、方差、扇形统计图、频数分布表的意义，理解各个概念的意义是正确解答的前提．
20．（8分）（2021•南京二模）某阅读网站现开通了A、B、C、D这4本书的免费下载权限，每位用户可免费下载其中2本阅读．
（1）求甲用户选择下载的2本书是A、B的概率；
（2）甲、⼄两个用户选择下载的2本书均不相同的概率是 16 ．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念；推理能力．
【分析】（1）画树状图，共有12种等可能的结果，甲用户选择下载的2本书是A、B的结果有2种，再由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有36种等可能的结果，甲、⼄两个用户选择下载的2本书均不相同的结果有6种，再由概率公式求解即可；
【解答】解：（1）画树状图如图：
共有12种等可能的结果，甲用户选择下载的2本书是A、B的结果有2种，
∴甲用户选择下载的2本书是A、B的概率为212=16；
（2）甲用户选择下载的2本书共有6种结果：AB（BA）、AC（CA）、AD（DA）、BC（CB）、BD（DB）、CD（DC），分别记为：a、b、c、d、e、f，
乙户选择下载的2本书共有6种结果：AB（BA）、AC（CA）、AD（DA）、BC（CB）、BD（DB）、CD（DC），
画树状图如图：
共有36种等可能的结果，甲、⼄两个用户选择下载的2本书均不相同的结果有6种，
即AB、CD，AC、BD，AD、BC，BC、AD，BD、AC，CD，AB，
∴甲、⼄两个用户选择下载的2本书均不相同的概率为636=16，
故答案为：16．
【点评】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式，正确画出树状图是解题的关键．
21．（8分）（2021•鼓楼区二模）已知△ABC，AB＝AC．按下列要求用直尺和圆规作图．（保留作图痕迹，不写作法）
（1）在图①中求作一点P，使∠BPC＝∠BAC，且A、P在直线BC异侧；
（2）在图②中求作一点P，使∠BPC＝∠BAC，且A、P在直线BC同侧．
【考点】作图—复杂作图；等腰三角形的性质．
【专题】作图题；推理能力．
【分析】（1）分别以B，C为圆心，BA为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，PC即可．
（2）作△ABC的外接圆，在优弧BC上任意取一点P，连接BP，PC即可．
【解答】解：（1）如图1中，∠BPC即为所求作．
（2）如图2中，∠BPC即为所求作．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（8分）（2021•秦淮区一模）“精准扶贫，暖心助力”．驻村书记通过某平台直播带货，帮助当地百姓脱贫致富．苹果成本价为每千克5元，销售价为每千克8元；蜜桔成本价为每千克6元，销售价为每千克10元．通过直播，两种水果共销售5000kg，苹果的销售量不少于2000kg．
（1）若销售的苹果和蜜桔的总成本为27400元，则销售苹果 2600 kg，销售蜜桔 2400 kg．
（2）当苹果的销量为多少时，两种水果的总利润最大？最大利润是多少？
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【分析】（1）设销售苹果x千克，销售蜜桔（5000﹣x）千克，由题意列出关于x的一元一次方程，求解即可；
（2）根据总利润等于两种水果利润之和列出函数解析式，然后根据函数的性质，苹果的销售量不少于2000kg求出最大利润即可．
【解答】解：（1）设销售苹果x千克，销售蜜桔（5000﹣x）千克，
则列方程：5x+6（5000﹣x）＝27400，
解得：x＝2600（千克），
5000﹣2600＝2400（千克），
∴销售苹果2600千克，销售蜜桔2400千克，
故答案为：2600，2400；
（2）设销售苹果a千克，销售蜜桔（5000﹣a）千克，
则利润为：w＝（8﹣5）a+（10﹣6）（5000﹣a）＝﹣a+20000，
∵﹣1＜0，
∴w随a的增大而减小，
又∵a≥2000，
∴当a＝2000时，利润最大，
最大利润为：w＝﹣2000+20000＝18000（元），
答：当苹果的销量为2000千克时，两种水果的总利润最大，最大利润是18000元．
【点评】本题考查一次函数和一元一次方程的应用，关键是根据题意列出函数解析式．
23．（8分）（2021•玄武区二模）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC边上的点，DE＝BF，连接EF，∠EFB，∠FED的平分线分别交AB，CD边于点M，N，连接ME，NF．
（1）求证：四边形EMFN是平行四边形；
（2）小明在完成（1）的证明后继续探索，他猜想：当M为AB的中点时，四边形EMFN是矩形，请补全他的证明思路．
小明的证明思路：
连接MN．由（1）知四边形EMFN是平行四边形．
要证▱EMFN是矩形，只要证MN＝EF．
故只要证∠FEN＝∠MNE．
由已知条件 EN平分∠FED ，故只要证MN∥AD，
即证四边形AMND为平行四边形，易证 AM∥DN ，
故只要证AM＝DN，易证AM＝BM，故只要证 BM＝DN ，
易证△BMF≌△DNE，即可得证．
【考点】矩形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；平行四边形的判定与性质．
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，∠B＝∠D，求得∠FED＝∠EFB，根据角平分线定义得到∠FEN＝∠DEN=12∠FED，∠EFM＝∠BFM=12∠EFB，求得∠FEN＝∠EFM，∠DEN＝∠BFM，根据平行线的判定定理得到FM∥EN，根据全等三角形的性质FM＝EN，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）连接MN．由（1）知四边形EMFN是平行四边形，根据矩形的判定定理和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠B＝∠D，
∴∠FED＝∠EFB，
∵EN，FM分别平分∠FED，∠EFB，
∴∠FEN＝∠DEN=12∠FED，∠EFM＝∠BFM=12∠EFB，
∴∠FEN＝∠EFM，∠DEN＝∠BFM，
∴FM∥EN，
在△BFM与△DEN中，
∠B=∠DBF=DE∠DEN=∠BFM，
∴△BFM≌△DEN（ASA），
∴FM＝EN，
∴四边形EMFN是平行四边形；
（2）连接MN．由（1）知四边形EMFN是平行四边形．
要证▱EMFN是矩形，只要证MN＝EF．
故只要证∠FEN＝∠MNE．
由已知条件EN平分∠FED，故只要证MN∥AD，
即证四边形AMND为平行四边形，易证AM∥DN，
故只要证AM＝DN，易证AM＝BM，故只要证BM＝DN，
易证△BMF≌△DNE，即可得证．
故答案为：EN平分∠FED；AM∥DN；BM＝DN．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
24．（8分）（2021•南京二模）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a（a为常数，且a≠0）．
（1）求证：不论a为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点．
（2）当1≤x≤4时，y＜5，直接写出a的取值范围．
【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【分析】（1）由△＝4a2（a≠0）大于0恒成立得出结论；
（2）现求出抛物线与x轴的交点，对称轴，然后在1≤x≤4范围内分a＞0和a＜0两种情况确定函数的最大值，从而得出结论．
【解答】（1）证明：∵a≠0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4a）2﹣4a×3a＝16a2﹣12a2＝4a2＞0，
∴不论a为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）令ax2﹣4ax+3a＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∴抛物线交x轴于（1，0）和（3，0）两点，
对称轴x=-b2a=--4a2a=2，
当a＞0时，
∵1≤x≤4，
∴当x＝4时，y最大＝16a﹣16a+3a＝3a＜5，
∴0＜a＜53，
当a＜0时，
∵对称轴x＝2，1≤x≤4，
∴抛物线在顶点处取得最大值，
y最大＝4a﹣8a+3a＝﹣a＜5，
∴a＞﹣5，
∴﹣5＜a＜0，
∴a的取值范围：0＜a＜53或﹣5＜a＜0．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，关键是x在某一范围内的函数最大值的确定．
25．（8分）（2021•鼓楼区二模）已知二次函数y＝﹣mx2﹣4mx﹣4m+4（m为常数，且m＞0）．
（1）求二次函数的顶点坐标；
（2）设该二次函数图象上两点A（a，ya）、B（a+2，yb），点A和点B间（含点A，B）的图象上有一点C，将点C纵坐标的最大值和最小值的差记为h．
①当m＝1时，若点A和点B关于二次函数对称轴对称，求h的值；
②若存在点A和点B使得h的值是4，则m的取值范围是 0＜m≤4 ．
【考点】二次函数综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【分析】（1）利用配方法求出顶点坐标即可．
（2）①根据A，B关于抛物线的对称轴对称，求出a的值，在求出﹣3≤x≤﹣1时，二次函数的最大值，最小值，可得结论．
②分四种情形：当a+2≤﹣2，即a≤﹣4时，当﹣4＜a≤﹣3时，当﹣3＜a≤﹣2时，当a＞﹣2时，分别求出满足条件的m的取值范围，可得结论．
【解答】解：（1）y＝﹣mx2﹣4mx﹣4m+4
＝﹣m（x2+4x+4）+4
＝﹣m（x+2）2+4，
∴二次函数的顶点坐标为（﹣2，4）．
（2）①∵点A、B关于对称轴对称a+a+22=-2，
∴a＝﹣3，
当m＝1时，y＝﹣x2﹣4x﹣4+4＝﹣x2﹣4x，
则当x＝﹣3（或x＝﹣1）时，y最小值＝3，
当x＝﹣2时，y最大值＝4，
∴h＝1．
②结论：0＜m≤4，理由如下：
当a+2≤﹣2，即a≤﹣4时，
h＝yb﹣ya
＝﹣m（a+2+2）2+4﹣[﹣m（a+2）2+4]
＝﹣4m（a+3），
∵h＝4，
∴4＝﹣4m（a+3），
∴a=-1m-3≤﹣4，
∵m＞0，
解得m≤1，
当﹣4＜a≤﹣3时，
h＝4﹣ya
＝4﹣[﹣m（a+2）2+4]
＝m（a+2）2，
∴可得a=-2m-2，
∴﹣4＜-2m-2≤﹣3，
解得1＜m≤4，
当﹣3＜a≤﹣2时，
h＝4﹣yb
＝4﹣[﹣m（a+2+2）2+4]
＝m（a+4）2，
可得a=2m-4，
∴﹣3＜2m-4≤﹣2，
不等式无解．
当a＞﹣2时，
h＝ya﹣yb
＝﹣m（a+2）2+4﹣[﹣m（a+2+2）2+4]
＝4m（a+3），
可得a=1m-3，
∴1m-3＞﹣2，
∴m＜1，
综上所述，满足条件的m的值为0＜m≤4．
故答案为：0＜m≤4．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程或不等式解决问题，学会用分类讨论的思想解决问题．
26．（10分）（2021•秦淮区一模）【概念认识】
已知m是实数，若某个函数图象上存在点M（m，m），则称点M是该函数图象上的“固定点”．
【数学理解】
（1）一次函数y＝﹣2x+3的图象上的“固定点”的坐标是 （1，1） ；
（2）求证：反比例函数y=kx（k＞0）的图象上存在2个“固定点”；
（3）将二次函数y＝x2+bx+1（b＜﹣2）的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象在x轴上方的部分组成一个类似“W”形状的新图象．若新图象上恰好存在3个“固定点”，求b的值．
【考点】二次函数综合题．
【专题】函数思想；应用意识．
【分析】（1）令固定点为（m，m），把（m，m）代入一次函数中，可求得m的值，即可得出点坐标；
（2）令y＝x可得反比例函数解析式x2＝k，解方程得两个x值，即对应2个y值，即得两个固定点；
（3）画出二次函数大致图象，设固定点为（m，m）代入y＝x2+bx+1中，得到m2+（b﹣1）m+1＝0，方程Δ＞0，可得有2个固定点，翻折后图形关于x轴对称，即y＝﹣（x2+bx+1），再有一个固定点便可得3个固定点．即把（m，m）代入y＝﹣（x2+bx+1）中得到关于m的一元二次方程，只需Δ＝0即可求出b的值．
【解答】（1）解：设固定点为（m，m）把（m，m）代入一次函数y＝﹣2x+3中，
得m＝﹣2m+3，
解得m＝1，
∴固定点为（1，1）；
（2）证明：在y=kx（k＞0）中，令y＝x，可得x2＝k．
解得x1=k，x2=-k．
将x1=k代入y=kx中，得y1=k．
将x2=-k代入y=kx中，得y2=-k．
因此反比例函数y=kx（k＞0）的图象上存在2个“固定点”，分别为（k，k）和（-k，-k）．
（3）图象大致如下：
设固定点为（m，m），将（m，m）代入y＝x2+bx+1，
得m2+bm+1＝m，
即m2+（b﹣1）m+1＝0，
△＝（b﹣1）2﹣4＞0，
即原图象（翻折前）有两个“固定点”，
翻折后图形为：y＝﹣（x2+bx+1），
将（m，m）代入：m＝﹣（m2+bm+1），
即﹣m2﹣（b+1）m﹣1＝0，
依题意，只需该方程有一个根即可（对应一个“固定点”，与前两个合成三个），
∴△＝（b+1）2﹣4＝0，
即（b+1）2＝4，
∴b+1＝±4=±2，
①当b+1＝2时，b＝1（不合题意，b＜﹣2舍去），
②当b+1＝﹣2时，b＝﹣3，
综上，b＝﹣3．
【点评】本题主要考查函数图象的性质及综合应用能力，解本题关键要熟练掌握二次函数的性质，代入法求值，解一元二次方程及判断一元二次方程根的情况．
27．（9分）（2021•玄武区二模）【问题情境】
如图①，小区A，B位于一条笔直的道路的同侧，为了方便A，B两个小区居民投放垃圾，现在l上建一个垃圾分类站C，使得C与A，B的距离之比为2：1．
【初步研究】
（1）在线段AB上作出点C，使CACB=2．
如图②，作法如下：
第一步：过点A作射线AM，
以A为圆心，任意长为半径画弧，交AM于点P1；
以P1为圆心，AP1长为半径画弧，交AM于点P2；
以P2为圆心，AP1长为半径画弧，交AM于点P3；
第二步：连接BP3，作∠AP2C＝∠AP3B，交AB于点C．则点C即为所求．
请证明所作的点C满足CACB=2．
【深入思考】
（2）如图③，点C在线段AB上，点D在直线AB外，且DADB=CACB=2．
求证：DC是∠ADB的平分线．
【问题解决】
（3）如图④，已知点A，B和直线l，点C在线段AB上，且CACB=2．用直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法）
（i）在直线AB上作出点E（异于点C），使EAEB=2；
（ii）在直线l上作出点F，使FAFB=2．
【考点】几何变换综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
（2）如图③中，过点B作BM∥CD交AD的延长线于M．证明DM＝DB，推出∠M＝∠DBM，由∠ADC＝∠M，∠CDB＝∠DBM，可得∠ADC＝∠CDB．
（3）作法：①作点A关于点B的对称点E．②以CE为直径作圆交直线l于F1，F2．点F1，F2即为所求作．利用（2）中，结论证明∠CFE＝90°，可得结论．
【解答】（1）解：如图②中，
由作法可知，AP2＝2P2P3，∠AP3B＝∠AP2C，
∴CP2∥BP3，
∴ACCB=AP2P2P3=2．
（2）证明：如图③中，过点B作BM∥CD交AD的延长线于M．
∵CD∥BM，
∴ADDM=ACCB=2，
∵ADDB=2，
∴ADDB=ADDM，
∴DM＝DB，
∴∠M＝∠DBM，
∵∠ADC＝∠M，∠CDB＝∠DBM，
∴∠ADC＝∠CDB，
∴CD平分∠ADB．
（3）（i）如图，点E即为所求．
（ii）如图，点F1，F2即为所求作．
作法：①作点A关于点B的对称点E．
②以CE为直径作圆交直线l于F1，F2．
点F1，F2即为所求作．
理由：若F满足FAFB=2，则FAFB=CACB，FAFB=EAEB，
由（2）可知，FC平分∠AFB，
类似地，FE平分∠AFB邻补角，
∴∠CFE＝90°，
即点F在以CE为直径的圆上．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了平行线分线段成比例定理，角平分线的判定，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用平行线分线段成比例定理解决问题，属于中考压轴题．
考点卡片
1．正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
2．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
3．有理数的减法
（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b）
（2）方法指引：
①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；
②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）；
【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．
减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．
4．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
5．科学记数法—表示较小的数
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律
x的取值范围
表示方法
a的取值
n的取值
|x|≥10
a×10n
1≤|a|
＜10
整数的位数﹣1
|x|＜1
a×10﹣n
第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）
6．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“a”，负的平方根表示为“-a”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
7．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：3a．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号a3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
8．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
9．提公因式法与公式法的综合运用
提公因式法与公式法的综合运用．
10．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca，反过来也成立，即ba=-（x1+x2），ca=x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
11．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或am＞bm；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或am＜bm；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
12．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
13．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
14．一次函数图象与几何变换
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）
①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；
（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）
②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；
（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）
③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．
（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）
15．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
16．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中有0个交点．
17．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
18．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
19．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
20．几何体的展开图
（1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形．
（2）常见几何体的侧面展开图：
①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形．
（3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决．
从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
21．专题：正方体相对两个面上的文字
（1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象．
（2）从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
（3）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面．
22．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
23．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
24．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
25．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
26．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．
27．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
28．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
29．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
30．几何变换综合题
几何变换综合题．
31．总体、个体、样本、样本容量
（1）定义
①总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体；
②个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体；
③样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；
④样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量．
（2）关于样本容量
样本容量只是个数字，没有单位．
32．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
33．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则x=1n（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
34．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
35．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
36．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2=1n[（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
37．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
38．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
2022年南京中考数学终极押题密卷
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）（2021•鼓楼区二模）比﹣3小2的数是（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5
2．（2分）（2021•秦淮区一模）已知a＜b，下列式子不成立的是（ ）
A．a+2021＜b+2021 B．a﹣2021＜b﹣2021
C．﹣2021a＜﹣2021b D．a2021＜b2021
3．（2分）（2021•玄武区二模）下列平面图形中，是圆柱的侧面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2分）（2021•南京二模）若将⼀组数据中的每个数都加3，那么所得的这组新数据（ ）
A．平均数不变 B．中位数不变 C．众数不变 D．方差不变
5．（2分）（2021•鼓楼区二模）正比例函数y1＝k1x和反比例函数y2=k2x的图象如图所示，交点A的坐标是（1，4），那么当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x＜1
C．﹣1＜x＜1 D．﹣1＜x＜0或x＞1
6．（2分）（2021•秦淮区一模）将如图所示的纸片折叠、粘合成正方体形状．下列结论：
①粘合时，线段AB与线段FG重合；
②在正方体中，DE所在的面与GH所在的面相对；
③在正方体中，AC∥DE；
④在正方体中，DE与EF的夹角是60°．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）（2021•玄武区二模）写出一个负数，使这个数的绝对值大于2： ．
8．（2分）（2021•南京二模）习近平总书记在全国脱贫攻坚总结表彰大会上宣告现行标准下98990000农村贫困人口全部脱贫．用科学记数法表示98990000是 ．
9．（2分）（2021•鼓楼区二模）若8的平方根和立方根分别是a和b，则ab＝ ．
10．（2分）（2005•河源）计算：（a﹣b）2﹣（a+b）2＝ ．
11．（2分）（2021•玄武区二模）纳米（nm）是非常小的长度单位，1nm＝10﹣9m，我国某物理研究所已研制出直径为0.5nm的碳纳米管，用科学记数法表示0.5nm是 m．
12．（2分）（2021•南京二模）分解因式x3﹣2x2+x的结果是 ．
13．（2分）（2021•鼓楼区二模）若一组数据2，3，4，5，x的方差是2，那么x的值为 ．
14．（2分）（2021•肇源县模拟）已知α、β是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则α2+2β＝ ．
15．（2分）（2021•玄武区二模）如图，直线PQ经过正五边形ABCDE的中心O，与AB、CD边分别交于点P、Q，点C1是点C关于直线PQ的对称点，连接CC1，AC1，则∠CC1A的度数为 °．
16．（2分）（2021•南京二模）已知一次函数y=12x+1的图象与y轴交于点A，将该函数图象绕点A旋转45°，旋转后的图象对应的函数关系式是 ．
三．解答题（共11小题，满分88分）
17．（7分）（2021•鼓楼区二模）解不等式组x-2(x-1)≥12x-13-5x+12＜1，并写出它的整数解．
18．（7分）（2021•秦淮区一模）解不等式组x-3(x-2)≥42x-13＞x-12，并写出它的整数解．
19．（7分）（2021•玄武区二模）一个家具厂有甲、乙两个木料供货商，随机抽取该家具厂向这两个供货商订货后等待交货天数的样本数据，样本容量都为10，并绘制统计图．
（1）扇形统计图中“9天”对应扇形的圆心角度数为 °；
（2）根据以上信息，填空：
供货商
平均数/天
中位数/天
众数/天
方差/天2
甲
①
②
9
1.8
乙
8
8
8
③
（3）你认为家具厂从哪一个供货商进货比较好？请说明理由．
20．（8分）（2021•南京二模）某阅读网站现开通了A、B、C、D这4本书的免费下载权限，每位用户可免费下载其中2本阅读．
（1）求甲用户选择下载的2本书是A、B的概率；
（2）甲、⼄两个用户选择下载的2本书均不相同的概率是 ．
21．（8分）（2021•鼓楼区二模）已知△ABC，AB＝AC．按下列要求用直尺和圆规作图．（保留作图痕迹，不写作法）
（1）在图①中求作一点P，使∠BPC＝∠BAC，且A、P在直线BC异侧；
（2）在图②中求作一点P，使∠BPC＝∠BAC，且A、P在直线BC同侧．
22．（8分）（2021•秦淮区一模）“精准扶贫，暖心助力”．驻村书记通过某平台直播带货，帮助当地百姓脱贫致富．苹果成本价为每千克5元，销售价为每千克8元；蜜桔成本价为每千克6元，销售价为每千克10元．通过直播，两种水果共销售5000kg，苹果的销售量不少于2000kg．
（1）若销售的苹果和蜜桔的总成本为27400元，则销售苹果 kg，销售蜜桔 kg．
（2）当苹果的销量为多少时，两种水果的总利润最大？最大利润是多少？
23．（8分）（2021•玄武区二模）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC边上的点，DE＝BF，连接EF，∠EFB，∠FED的平分线分别交AB，CD边于点M，N，连接ME，NF．
（1）求证：四边形EMFN是平行四边形；
（2）小明在完成（1）的证明后继续探索，他猜想：当M为AB的中点时，四边形EMFN是矩形，请补全他的证明思路．
小明的证明思路：
连接MN．由（1）知四边形EMFN是平行四边形．
要证▱EMFN是矩形，只要证MN＝EF．
故只要证∠FEN＝∠MNE．
由已知条件 ，故只要证MN∥AD，
即证四边形AMND为平行四边形，易证 ，
故只要证AM＝DN，易证AM＝BM，故只要证 ，
易证△BMF≌△DNE，即可得证．
24．（8分）（2021•南京二模）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a（a为常数，且a≠0）．
（1）求证：不论a为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点．
（2）当1≤x≤4时，y＜5，直接写出a的取值范围．
25．（8分）（2021•鼓楼区二模）已知二次函数y＝﹣mx2﹣4mx﹣4m+4（m为常数，且m＞0）．
（1）求二次函数的顶点坐标；
（2）设该二次函数图象上两点A（a，ya）、B（a+2，yb），点A和点B间（含点A，B）的图象上有一点C，将点C纵坐标的最大值和最小值的差记为h．
①当m＝1时，若点A和点B关于二次函数对称轴对称，求h的值；
②若存在点A和点B使得h的值是4，则m的取值范围是 ．
26．（10分）（2021•秦淮区一模）【概念认识】
已知m是实数，若某个函数图象上存在点M（m，m），则称点M是该函数图象上的“固定点”．
【数学理解】
（1）一次函数y＝﹣2x+3的图象上的“固定点”的坐标是 ；
（2）求证：反比例函数y=kx（k＞0）的图象上存在2个“固定点”；
（3）将二次函数y＝x2+bx+1（b＜﹣2）的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象在x轴上方的部分组成一个类似“W”形状的新图象．若新图象上恰好存在3个“固定点”，求b的值．
27．（9分）（2021•玄武区二模）【问题情境】
如图①，小区A，B位于一条笔直的道路的同侧，为了方便A，B两个小区居民投放垃圾，现在l上建一个垃圾分类站C，使得C与A，B的距离之比为2：1．
【初步研究】
（1）在线段AB上作出点C，使CACB=2．
如图②，作法如下：
第一步：过点A作射线AM，
以A为圆心，任意长为半径画弧，交AM于点P1；
以P1为圆心，AP1长为半径画弧，交AM于点P2；
以P2为圆心，AP1长为半径画弧，交AM于点P3；
第二步：连接BP3，作∠AP2C＝∠AP3B，交AB于点C．则点C即为所求．
请证明所作的点C满足CACB=2．
【深入思考】
（2）如图③，点C在线段AB上，点D在直线AB外，且DADB=CACB=2．
求证：DC是∠ADB的平分线．
【问题解决】
（3）如图④，已知点A，B和直线l，点C在线段AB上，且CACB=2．用直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法）
（i）在直线AB上作出点E（异于点C），使EAEB=2；
（ii）在直线l上作出点F，使FAFB=2．
2022年南京中考数学终极押题密卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）（2021•鼓楼区二模）比﹣3小2的数是（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5
【考点】有理数的减法．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据题意列出减法式子，计算即可．
【解答】解：﹣3﹣2
＝﹣3+（﹣2）
＝﹣5．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的减法，减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．
2．（2分）（2021•秦淮区一模）已知a＜b，下列式子不成立的是（ ）
A．a+2021＜b+2021 B．a﹣2021＜b﹣2021
C．﹣2021a＜﹣2021b D．a2021＜b2021
【考点】不等式的性质．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；推理能力．
【分析】利用不等式的性质知：不等式两边同时乘以一个正数不等号方向不变，同乘以或除以一个负数不等号方向改变．
【解答】解：A、不等式两边同时加上2021，不等号方向不变，故本选项正确，不符合题意；
B、不等式两边同时减去2021，不等号方向不变，故本选项正确，不符合题意；
C、不等式两边同时乘以﹣2021，不等号方向改变，故本选项错误，符合题意；
D、不等式两边同时除以2021，不等号方向不变，故本选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质，解题的关键是牢记不等式的性质，特别是在不等式的两边同时乘以或除以一个负数时，不等号方向改变．
3．（2分）（2021•玄武区二模）下列平面图形中，是圆柱的侧面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】几何体的展开图．
【专题】投影与视图．
【分析】根据题意，注意其按圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，分析得到图形的性质，易得答案．
【解答】解：根据题意，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开展在一个平面上，
得到其侧面展开图是对边平行且相等的四边形；
又有母线垂直于上下底面，故可得是矩形．
故选：A．
【点评】本题考查的是圆柱的展开图，需要对圆柱有充分的理解；难度不大．
4．（2分）（2021•南京二模）若将⼀组数据中的每个数都加3，那么所得的这组新数据（ ）
A．平均数不变 B．中位数不变 C．众数不变 D．方差不变
【考点】众数；算术平均数；中位数．
【专题】统计的应用；运算能力；推理能力．
【分析】将⼀组数据中的每个数都加3，那么所得的新数据的众数、中位数、平均数都增加3，方差不变，据此可得答案．
【解答】解：将⼀组数据中的每个数都加3，那么所得的新数据的众数、中位数、平均数都增加3，方差不变，
故选：D．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差、众数、中位数和平均数的定义．
5．（2分）（2021•鼓楼区二模）正比例函数y1＝k1x和反比例函数y2=k2x的图象如图所示，交点A的坐标是（1，4），那么当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x＜1
C．﹣1＜x＜1 D．﹣1＜x＜0或x＞1
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；几何直观；推理能力．
【分析】由正、反比例的对称性结合点A的坐标即可得出点B的坐标，根据函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标，即可得出不等式y1＞y2的解集．
【解答】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，点A的坐标是（1，4），
∴交点B的坐标为（﹣1，﹣4）．
观察函数图象发现：
当﹣1＜x＜0或x＞1时，正比例函数图象在反比例函数图象的上方，
∴当y1＞y2时，x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞1．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是找出另一个交点的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数的对称性找出两函数交点的坐标，再根据函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标解决不等式是关键．
6．（2分）（2021•秦淮区一模）将如图所示的纸片折叠、粘合成正方体形状．下列结论：
①粘合时，线段AB与线段FG重合；
②在正方体中，DE所在的面与GH所在的面相对；
③在正方体中，AC∥DE；
④在正方体中，DE与EF的夹角是60°．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．
【专题】几何图形；空间观念．
【分析】注意正方体的展开图，从相对面入手，分析及解答问题．
【解答】解：如图：
①粘合时，线段AB与线段FG重合，正确；
②在正方体中，DE所在的面与GH所在的面相对，正确；
③在正方体中，AC、DE不在同一平面内，不平行，故不正确；
④在正方体中，DE与EF、DF分别为三个面的对角线，DE＝EF＝DF，△DEF是等边三角形，所以DE与EF的夹角是60°，正确．
其中所有正确结论的序号是①②④．
故选：B．
【点评】本题考查了正方体的展开图．注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）（2021•玄武区二模）写出一个负数，使这个数的绝对值大于2： ﹣3 ．
【考点】正数和负数；绝对值．
【专题】实数；数感．
【分析】首先根据一个负数的绝对值大于2，可得这个负数小于﹣2，据此求解即可．
【解答】解：满足绝对值大于2的负数可以是﹣3．
故答案为：﹣3（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了绝对值的含义和运用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．
8．（2分）（2021•南京二模）习近平总书记在全国脱贫攻坚总结表彰大会上宣告现行标准下98990000农村贫困人口全部脱贫．用科学记数法表示98990000是 9.899×107 ．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；符号意识．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：98990000＝9.899×107．
故答案为：9.899×107．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
9．（2分）（2021•鼓楼区二模）若8的平方根和立方根分别是a和b，则ab＝ ±42 ．
【考点】立方根；平方根．
【专题】实数；运算能力．
【分析】根据平方根和立方根的定义即可求解．
【解答】解：8的平方根：±8=±22．
8的立方根：38=2．
故ab=±42．
故答案为：±42．
【点评】本题考查立方根和平方根的知识，关键在于熟悉其概念．
10．（2分）（2005•河源）计算：（a﹣b）2﹣（a+b）2＝ ﹣4ab ．
【考点】完全平方公式．
【分析】根据完全平方公式展开整理即可．
【解答】解：（a﹣b）2﹣（a+b）2，
＝a2﹣2ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2，
＝﹣4ab．
【点评】本题主要考查完全平方公式，熟记公式结构是解题的关键．
11．（2分）（2021•玄武区二模）纳米（nm）是非常小的长度单位，1nm＝10﹣9m，我国某物理研究所已研制出直径为0.5nm的碳纳米管，用科学记数法表示0.5nm是 5×10﹣10 m．
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【专题】实数；数感．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.5nm＝0.5×10﹣9m＝5×10﹣10m，
故答案为：5×10﹣10．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，表示时关键要确定a的值以及n的值．
12．（2分）（2021•南京二模）分解因式x3﹣2x2+x的结果是 x（x﹣1）2 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；运算能力．
【分析】直接提取公因式x，再利用公式法分解因式得出答案．
【解答】解：x3﹣2x2+x
＝x（x2﹣2x+1）
＝x（x﹣1）2．
故答案为：x（x﹣1）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
13．（2分）（2021•鼓楼区二模）若一组数据2，3，4，5，x的方差是2，那么x的值为 1或6 ．
【考点】方差．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念；运算能力．
【分析】根据方差的定义列方程求解即可得出结果．
【解答】解：这组数据的平均数为：15（2+3+4+5+x）=14+x5，
方差是：S2=15[（14+x5-2）2+（14+x5-3）2+（14+x5-4）2+（14+x5-5）2+（14+x5-x）2]＝2，
整理得：x2﹣7x+6＝0，
解得：x1＝1，x2＝6，
∴x的值为1或6，
故答案为：1或6．
【点评】本题考查方差、平均数，解一元二次方程等知识，掌握方差的计算公式是是解题的关键．
14．（2分）（2021•肇源县模拟）已知α、β是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则α2+2β＝ 5 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】利用一元二次方程的解及根与系数的关系可得出β2﹣2β＝1，α+β＝2，α•β＝﹣1，将代数式变形为（α+β）2﹣2αβ﹣（β2﹣2β），整体代入即可．
【解答】解：∵α，β是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，
∴β2﹣2β＝1，α+β＝2，α•β＝﹣1，
∴α2+2β＝（α+β）2﹣2αβ﹣（β2﹣2β）＝22﹣2×（﹣1）﹣1＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于-ba，两根之积等于ca”是解题的关键．
15．（2分）（2021•玄武区二模）如图，直线PQ经过正五边形ABCDE的中心O，与AB、CD边分别交于点P、Q，点C1是点C关于直线PQ的对称点，连接CC1，AC1，则∠CC1A的度数为 72 °．
【考点】正多边形和圆；轴对称的性质．
【专题】正多边形与圆；推理能力．
【分析】连接OA，OB，OC，OC1．证明OA＝OB＝OC＝OC1，推出A，B，C，C1四点共圆，即可解决问题．
【解答】解：连接OA，OB，OC，OC1．
∵ABCDE是正五边形，
∴OA＝OB＝OC，∠ABC＝108°，
∵C，C1关于PQ对称，
∴OC＝OC1，
∴OA＝OB＝OC＝OC1，
∴A，B，C，C1四点共圆，
∴∠ABC+∠CC1A＝180°，
∴∠CC1A＝72°，
故答案为：72．
【点评】本题考查正多边形与圆，四点共圆，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是证明OA＝OB＝OC＝OC1，推出A，B，C，C1四点共圆．
16．（2分）（2021•南京二模）已知一次函数y=12x+1的图象与y轴交于点A，将该函数图象绕点A旋转45°，旋转后的图象对应的函数关系式是 y=-13x+1或y＝3x+1 ．
【考点】一次函数图象与几何变换．
【专题】一次函数及其应用；图形的全等；运算能力；推理能力．
【分析】分两种情况讨论，通过三角形全等，求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得旋转后的图象对应的函数关系式．
【解答】解：如图1，∵一次函数y=12x+1的图象与y轴交于点A，与x轴交于B，
∴A（0，1），B（﹣2，0），
当直线y=12x+1绕点A顺时针旋转45°后的图象为直线l，
过B作BD⊥直线l于D，过D作FD⊥y轴于F，过B作BE⊥FD延长线于E，则△ABD为等腰直角三角形，易得△ADF≌△DBE（AAS），设AF＝a，则DE＝a，
∵点A（0，1），点B（﹣2，0），
∴DF＝BE＝OF＝1+a，EF＝ED+DF＝a+1+a＝OB＝2，
∴a=12，
∴DF＝OF＝1+a=32，
∴D（-32，32），
设直线l的解析式为y＝kx+1，则32=-32k+1，解得k=-13，
∴y=-13x+1；
如图2，直线y=12x+1绕点A逆时针旋转45°后的图象为直线l，过B作BD⊥直线l于D，过D作FD⊥y轴于F，作DE⊥x轴于E，则△ABD为等腰直角三角形，易得△ADF≌△BDE（AAS），设DF＝b，则DE＝b，
∵点A（0，1），点B（﹣2，0），
∴AF＝BE＝1+b，BO＝BE+OE＝b+1+b＝2，
∴b=12，
∴D（-12，-12），
设直线l的解析式为y＝kx+1，则-12=-12k+1，解得k＝3，
∴y＝3x+1；
综上，旋转后的图象对应的函数关系式是y=-13x+1或y＝3x+1．
故答案为y=-13x+1或y＝3x+1．
【点评】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，旋转的性质以及一次函数图象上点的坐标特征的运用，解决问题的关键是利用45°角，作辅助线构造等腰直角三角形．
三．解答题（共11小题，满分88分）
17．（7分）（2021•鼓楼区二模）解不等式组x-2(x-1)≥12x-13-5x+12＜1，并写出它的整数解．
【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出整数解即可．
【解答】解：x-2(x-1)≥1①2x-13-5x+12＜1②，
由①得：x≤1，
由②得：x＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤1，
则不等式组的整数解为0，1．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（7分）（2021•秦淮区一模）解不等式组x-3(x-2)≥42x-13＞x-12，并写出它的整数解．
【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．
【专题】计算题；一元一次不等式（组）及应用．
【分析】分别解出两个不等式的解集，再表示出其公共部分即可．
【解答】解：解不等式x﹣3（x﹣2）≥4，得：x≤1，
解不等式2x-13＞x-12，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤1，
所以不等式组的整数解为0、1．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．
19．（7分）（2021•玄武区二模）一个家具厂有甲、乙两个木料供货商，随机抽取该家具厂向这两个供货商订货后等待交货天数的样本数据，样本容量都为10，并绘制统计图．
（1）扇形统计图中“9天”对应扇形的圆心角度数为 144 °；
（2）根据以上信息，填空：
供货商
平均数/天
中位数/天
众数/天
方差/天2
甲
① 8
② 8.5
9
1.8
乙
8
8
8
③ 1.2
（3）你认为家具厂从哪一个供货商进货比较好？请说明理由．
【考点】扇形统计图；中位数；众数；方差；总体、个体、样本、样本容量．
【专题】统计的应用；应用意识．
【分析】（1）扇形统计图中，“9天”占整体的1﹣10%﹣20%﹣20%﹣10%＝40%，因此所在扇形的圆心角度数为360°的40%；
（2）由扇形统计图中数据求出各组的频数，根据平均，中位数，方差的意义可求解；
（3）根据中位数，众数，方差的意义可得出答案．
【解答】解：（1）360°×（1﹣10%﹣20%﹣20%﹣10%）＝360°×40%＝144°，
故答案为：144；
（2）甲供货商的平均数：110（10×10%×10+10×20%×6+10×20%×7+10×10%×8+10×40%×9）＝8，
甲供货商的中位数：（8+9）÷2＝8.5，
乙供货商的方差：110[（6﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2+（7﹣8）2+（10﹣8）2+（8﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2]＝1.2，
故答案为：8，8.5，1.2；
（3）家具厂从乙供货商进货比较好．
理由：由平均数可知，家具厂向甲、乙两供货商订货后等待天数相当，由甲的方差大于乙的方差可知，家具厂向乙供货商订货后等待天数比较稳定，所以家具厂从乙供货商进货比较好．
【点评】本题考查中位数、众数、平均数、方差、扇形统计图、频数分布表的意义，理解各个概念的意义是正确解答的前提．
20．（8分）（2021•南京二模）某阅读网站现开通了A、B、C、D这4本书的免费下载权限，每位用户可免费下载其中2本阅读．
（1）求甲用户选择下载的2本书是A、B的概率；
（2）甲、⼄两个用户选择下载的2本书均不相同的概率是 16 ．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念；推理能力．
【分析】（1）画树状图，共有12种等可能的结果，甲用户选择下载的2本书是A、B的结果有2种，再由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有36种等可能的结果，甲、⼄两个用户选择下载的2本书均不相同的结果有6种，再由概率公式求解即可；
【解答】解：（1）画树状图如图：
共有12种等可能的结果，甲用户选择下载的2本书是A、B的结果有2种，
∴甲用户选择下载的2本书是A、B的概率为212=16；
（2）甲用户选择下载的2本书共有6种结果：AB（BA）、AC（CA）、AD（DA）、BC（CB）、BD（DB）、CD（DC），分别记为：a、b、c、d、e、f，
乙户选择下载的2本书共有6种结果：AB（BA）、AC（CA）、AD（DA）、BC（CB）、BD（DB）、CD（DC），
画树状图如图：
共有36种等可能的结果，甲、⼄两个用户选择下载的2本书均不相同的结果有6种，
即AB、CD，AC、BD，AD、BC，BC、AD，BD、AC，CD，AB，
∴甲、⼄两个用户选择下载的2本书均不相同的概率为636=16，
故答案为：16．
【点评】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式，正确画出树状图是解题的关键．
21．（8分）（2021•鼓楼区二模）已知△ABC，AB＝AC．按下列要求用直尺和圆规作图．（保留作图痕迹，不写作法）
（1）在图①中求作一点P，使∠BPC＝∠BAC，且A、P在直线BC异侧；
（2）在图②中求作一点P，使∠BPC＝∠BAC，且A、P在直线BC同侧．
【考点】作图—复杂作图；等腰三角形的性质．
【专题】作图题；推理能力．
【分析】（1）分别以B，C为圆心，BA为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，PC即可．
（2）作△ABC的外接圆，在优弧BC上任意取一点P，连接BP，PC即可．
【解答】解：（1）如图1中，∠BPC即为所求作．
（2）如图2中，∠BPC即为所求作．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（8分）（2021•秦淮区一模）“精准扶贫，暖心助力”．驻村书记通过某平台直播带货，帮助当地百姓脱贫致富．苹果成本价为每千克5元，销售价为每千克8元；蜜桔成本价为每千克6元，销售价为每千克10元．通过直播，两种水果共销售5000kg，苹果的销售量不少于2000kg．
（1）若销售的苹果和蜜桔的总成本为27400元，则销售苹果 2600 kg，销售蜜桔 2400 kg．
（2）当苹果的销量为多少时，两种水果的总利润最大？最大利润是多少？
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【分析】（1）设销售苹果x千克，销售蜜桔（5000﹣x）千克，由题意列出关于x的一元一次方程，求解即可；
（2）根据总利润等于两种水果利润之和列出函数解析式，然后根据函数的性质，苹果的销售量不少于2000kg求出最大利润即可．
【解答】解：（1）设销售苹果x千克，销售蜜桔（5000﹣x）千克，
则列方程：5x+6（5000﹣x）＝27400，
解得：x＝2600（千克），
5000﹣2600＝2400（千克），
∴销售苹果2600千克，销售蜜桔2400千克，
故答案为：2600，2400；
（2）设销售苹果a千克，销售蜜桔（5000﹣a）千克，
则利润为：w＝（8﹣5）a+（10﹣6）（5000﹣a）＝﹣a+20000，
∵﹣1＜0，
∴w随a的增大而减小，
又∵a≥2000，
∴当a＝2000时，利润最大，
最大利润为：w＝﹣2000+20000＝18000（元），
答：当苹果的销量为2000千克时，两种水果的总利润最大，最大利润是18000元．
【点评】本题考查一次函数和一元一次方程的应用，关键是根据题意列出函数解析式．
23．（8分）（2021•玄武区二模）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC边上的点，DE＝BF，连接EF，∠EFB，∠FED的平分线分别交AB，CD边于点M，N，连接ME，NF．
（1）求证：四边形EMFN是平行四边形；
（2）小明在完成（1）的证明后继续探索，他猜想：当M为AB的中点时，四边形EMFN是矩形，请补全他的证明思路．
小明的证明思路：
连接MN．由（1）知四边形EMFN是平行四边形．
要证▱EMFN是矩形，只要证MN＝EF．
故只要证∠FEN＝∠MNE．
由已知条件 EN平分∠FED ，故只要证MN∥AD，
即证四边形AMND为平行四边形，易证 AM∥DN ，
故只要证AM＝DN，易证AM＝BM，故只要证 BM＝DN ，
易证△BMF≌△DNE，即可得证．
【考点】矩形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；平行四边形的判定与性质．
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，∠B＝∠D，求得∠FED＝∠EFB，根据角平分线定义得到∠FEN＝∠DEN=12∠FED，∠EFM＝∠BFM=12∠EFB，求得∠FEN＝∠EFM，∠DEN＝∠BFM，根据平行线的判定定理得到FM∥EN，根据全等三角形的性质FM＝EN，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）连接MN．由（1）知四边形EMFN是平行四边形，根据矩形的判定定理和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠B＝∠D，
∴∠FED＝∠EFB，
∵EN，FM分别平分∠FED，∠EFB，
∴∠FEN＝∠DEN=12∠FED，∠EFM＝∠BFM=12∠EFB，
∴∠FEN＝∠EFM，∠DEN＝∠BFM，
∴FM∥EN，
在△BFM与△DEN中，
∠B=∠DBF=DE∠DEN=∠BFM，
∴△BFM≌△DEN（ASA），
∴FM＝EN，
∴四边形EMFN是平行四边形；
（2）连接MN．由（1）知四边形EMFN是平行四边形．
要证▱EMFN是矩形，只要证MN＝EF．
故只要证∠FEN＝∠MNE．
由已知条件EN平分∠FED，故只要证MN∥AD，
即证四边形AMND为平行四边形，易证AM∥DN，
故只要证AM＝DN，易证AM＝BM，故只要证BM＝DN，
易证△BMF≌△DNE，即可得证．
故答案为：EN平分∠FED；AM∥DN；BM＝DN．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
24．（8分）（2021•南京二模）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a（a为常数，且a≠0）．
（1）求证：不论a为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点．
（2）当1≤x≤4时，y＜5，直接写出a的取值范围．
【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【分析】（1）由△＝4a2（a≠0）大于0恒成立得出结论；
（2）现求出抛物线与x轴的交点，对称轴，然后在1≤x≤4范围内分a＞0和a＜0两种情况确定函数的最大值，从而得出结论．
【解答】（1）证明：∵a≠0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4a）2﹣4a×3a＝16a2﹣12a2＝4a2＞0，
∴不论a为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）令ax2﹣4ax+3a＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∴抛物线交x轴于（1，0）和（3，0）两点，
对称轴x=-b2a=--4a2a=2，
当a＞0时，
∵1≤x≤4，
∴当x＝4时，y最大＝16a﹣16a+3a＝3a＜5，
∴0＜a＜53，
当a＜0时，
∵对称轴x＝2，1≤x≤4，
∴抛物线在顶点处取得最大值，
y最大＝4a﹣8a+3a＝﹣a＜5，
∴a＞﹣5，
∴﹣5＜a＜0，
∴a的取值范围：0＜a＜53或﹣5＜a＜0．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，关键是x在某一范围内的函数最大值的确定．
25．（8分）（2021•鼓楼区二模）已知二次函数y＝﹣mx2﹣4mx﹣4m+4（m为常数，且m＞0）．
（1）求二次函数的顶点坐标；
（2）设该二次函数图象上两点A（a，ya）、B（a+2，yb），点A和点B间（含点A，B）的图象上有一点C，将点C纵坐标的最大值和最小值的差记为h．
①当m＝1时，若点A和点B关于二次函数对称轴对称，求h的值；
②若存在点A和点B使得h的值是4，则m的取值范围是 0＜m≤4 ．
【考点】二次函数综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【分析】（1）利用配方法求出顶点坐标即可．
（2）①根据A，B关于抛物线的对称轴对称，求出a的值，在求出﹣3≤x≤﹣1时，二次函数的最大值，最小值，可得结论．
②分四种情形：当a+2≤﹣2，即a≤﹣4时，当﹣4＜a≤﹣3时，当﹣3＜a≤﹣2时，当a＞﹣2时，分别求出满足条件的m的取值范围，可得结论．
【解答】解：（1）y＝﹣mx2﹣4mx﹣4m+4
＝﹣m（x2+4x+4）+4
＝﹣m（x+2）2+4，
∴二次函数的顶点坐标为（﹣2，4）．
（2）①∵点A、B关于对称轴对称a+a+22=-2，
∴a＝﹣3，
当m＝1时，y＝﹣x2﹣4x﹣4+4＝﹣x2﹣4x，
则当x＝﹣3（或x＝﹣1）时，y最小值＝3，
当x＝﹣2时，y最大值＝4，
∴h＝1．
②结论：0＜m≤4，理由如下：
当a+2≤﹣2，即a≤﹣4时，
h＝yb﹣ya
＝﹣m（a+2+2）2+4﹣[﹣m（a+2）2+4]
＝﹣4m（a+3），
∵h＝4，
∴4＝﹣4m（a+3），
∴a=-1m-3≤﹣4，
∵m＞0，
解得m≤1，
当﹣4＜a≤﹣3时，
h＝4﹣ya
＝4﹣[﹣m（a+2）2+4]
＝m（a+2）2，
∴可得a=-2m-2，
∴﹣4＜-2m-2≤﹣3，
解得1＜m≤4，
当﹣3＜a≤﹣2时，
h＝4﹣yb
＝4﹣[﹣m（a+2+2）2+4]
＝m（a+4）2，
可得a=2m-4，
∴﹣3＜2m-4≤﹣2，
不等式无解．
当a＞﹣2时，
h＝ya﹣yb
＝﹣m（a+2）2+4﹣[﹣m（a+2+2）2+4]
＝4m（a+3），
可得a=1m-3，
∴1m-3＞﹣2，
∴m＜1，
综上所述，满足条件的m的值为0＜m≤4．
故答案为：0＜m≤4．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程或不等式解决问题，学会用分类讨论的思想解决问题．
26．（10分）（2021•秦淮区一模）【概念认识】
已知m是实数，若某个函数图象上存在点M（m，m），则称点M是该函数图象上的“固定点”．
【数学理解】
（1）一次函数y＝﹣2x+3的图象上的“固定点”的坐标是 （1，1） ；
（2）求证：反比例函数y=kx（k＞0）的图象上存在2个“固定点”；
（3）将二次函数y＝x2+bx+1（b＜﹣2）的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象在x轴上方的部分组成一个类似“W”形状的新图象．若新图象上恰好存在3个“固定点”，求b的值．
【考点】二次函数综合题．
【专题】函数思想；应用意识．
【分析】（1）令固定点为（m，m），把（m，m）代入一次函数中，可求得m的值，即可得出点坐标；
（2）令y＝x可得反比例函数解析式x2＝k，解方程得两个x值，即对应2个y值，即得两个固定点；
（3）画出二次函数大致图象，设固定点为（m，m）代入y＝x2+bx+1中，得到m2+（b﹣1）m+1＝0，方程Δ＞0，可得有2个固定点，翻折后图形关于x轴对称，即y＝﹣（x2+bx+1），再有一个固定点便可得3个固定点．即把（m，m）代入y＝﹣（x2+bx+1）中得到关于m的一元二次方程，只需Δ＝0即可求出b的值．
【解答】（1）解：设固定点为（m，m）把（m，m）代入一次函数y＝﹣2x+3中，
得m＝﹣2m+3，
解得m＝1，
∴固定点为（1，1）；
（2）证明：在y=kx（k＞0）中，令y＝x，可得x2＝k．
解得x1=k，x2=-k．
将x1=k代入y=kx中，得y1=k．
将x2=-k代入y=kx中，得y2=-k．
因此反比例函数y=kx（k＞0）的图象上存在2个“固定点”，分别为（k，k）和（-k，-k）．
（3）图象大致如下：
设固定点为（m，m），将（m，m）代入y＝x2+bx+1，
得m2+bm+1＝m，
即m2+（b﹣1）m+1＝0，
△＝（b﹣1）2﹣4＞0，
即原图象（翻折前）有两个“固定点”，
翻折后图形为：y＝﹣（x2+bx+1），
将（m，m）代入：m＝﹣（m2+bm+1），
即﹣m2﹣（b+1）m﹣1＝0，
依题意，只需该方程有一个根即可（对应一个“固定点”，与前两个合成三个），
∴△＝（b+1）2﹣4＝0，
即（b+1）2＝4，
∴b+1＝±4=±2，
①当b+1＝2时，b＝1（不合题意，b＜﹣2舍去），
②当b+1＝﹣2时，b＝﹣3，
综上，b＝﹣3．
【点评】本题主要考查函数图象的性质及综合应用能力，解本题关键要熟练掌握二次函数的性质，代入法求值，解一元二次方程及判断一元二次方程根的情况．
27．（9分）（2021•玄武区二模）【问题情境】
如图①，小区A，B位于一条笔直的道路的同侧，为了方便A，B两个小区居民投放垃圾，现在l上建一个垃圾分类站C，使得C与A，B的距离之比为2：1．
【初步研究】
（1）在线段AB上作出点C，使CACB=2．
如图②，作法如下：
第一步：过点A作射线AM，
以A为圆心，任意长为半径画弧，交AM于点P1；
以P1为圆心，AP1长为半径画弧，交AM于点P2；
以P2为圆心，AP1长为半径画弧，交AM于点P3；
第二步：连接BP3，作∠AP2C＝∠AP3B，交AB于点C．则点C即为所求．
请证明所作的点C满足CACB=2．
【深入思考】
（2）如图③，点C在线段AB上，点D在直线AB外，且DADB=CACB=2．
求证：DC是∠ADB的平分线．
【问题解决】
（3）如图④，已知点A，B和直线l，点C在线段AB上，且CACB=2．用直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法）
（i）在直线AB上作出点E（异于点C），使EAEB=2；
（ii）在直线l上作出点F，使FAFB=2．
【考点】几何变换综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
（2）如图③中，过点B作BM∥CD交AD的延长线于M．证明DM＝DB，推出∠M＝∠DBM，由∠ADC＝∠M，∠CDB＝∠DBM，可得∠ADC＝∠CDB．
（3）作法：①作点A关于点B的对称点E．②以CE为直径作圆交直线l于F1，F2．点F1，F2即为所求作．利用（2）中，结论证明∠CFE＝90°，可得结论．
【解答】（1）解：如图②中，
由作法可知，AP2＝2P2P3，∠AP3B＝∠AP2C，
∴CP2∥BP3，
∴ACCB=AP2P2P3=2．
（2）证明：如图③中，过点B作BM∥CD交AD的延长线于M．
∵CD∥BM，
∴ADDM=ACCB=2，
∵ADDB=2，
∴ADDB=ADDM，
∴DM＝DB，
∴∠M＝∠DBM，
∵∠ADC＝∠M，∠CDB＝∠DBM，
∴∠ADC＝∠CDB，
∴CD平分∠ADB．
（3）（i）如图，点E即为所求．
（ii）如图，点F1，F2即为所求作．
作法：①作点A关于点B的对称点E．
②以CE为直径作圆交直线l于F1，F2．
点F1，F2即为所求作．
理由：若F满足FAFB=2，则FAFB=CACB，FAFB=EAEB，
由（2）可知，FC平分∠AFB，
类似地，FE平分∠AFB邻补角，
∴∠CFE＝90°，
即点F在以CE为直径的圆上．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了平行线分线段成比例定理，角平分线的判定，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用平行线分线段成比例定理解决问题，属于中考压轴题．
考点卡片
1．正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
2．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
3．有理数的减法
（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b）
（2）方法指引：
①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；
②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）；
【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．
减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．
4．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
5．科学记数法—表示较小的数
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律
x的取值范围
表示方法
a的取值
n的取值
|x|≥10
a×10n
1≤|a|
＜10
整数的位数﹣1
|x|＜1
a×10﹣n
第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）
6．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“a”，负的平方根表示为“-a”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
7．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：3a．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号a3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
8．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
9．提公因式法与公式法的综合运用
提公因式法与公式法的综合运用．
10．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca，反过来也成立，即ba=-（x1+x2），ca=x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
11．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或am＞bm；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或am＜bm；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
12．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
13．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
14．一次函数图象与几何变换
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）
①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；
（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）
②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；
（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）
③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．
（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）
15．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
16．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中有0个交点．
17．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
18．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
19．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
20．几何体的展开图
（1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形．
（2）常见几何体的侧面展开图：
①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形．
（3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决．
从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
21．专题：正方体相对两个面上的文字
（1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象．
（2）从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
（3）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面．
22．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
23．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
24．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
25．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
26．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．
27．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
28．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
29．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
30．几何变换综合题
几何变换综合题．
31．总体、个体、样本、样本容量
（1）定义
①总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体；
②个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体；
③样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；
④样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量．
（2）关于样本容量
样本容量只是个数字，没有单位．
32．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
33．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则x=1n（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
34．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
35．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
36．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2=1n[（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
37．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
38．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
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