重庆市潼南区六校2021-2022学年九年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

重庆市潼南区六校2021-2022学年九年级（下）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48分）

1. 下列各数中，最小的数是

A.  B.  C.  D.

2. 以下是一些常见的交通标识，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

3. 不等式组解集在数轴上表示为

A.  B.
C.  D.

4. 如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，且和的位似比是：，则和的面积的比是

A. ： B. ： C. ： D. ：

5. 如图，，是上直径两侧的两点，设，则

A.
B.
C.
D.

6. 估计的值在之间．

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

7. 如图，直线、被、所截，且，则下列结论中正确的是

A.
B.
C.
D.
 

8. 如图为甲、乙两人训练跑步中路程关于时间的函数图象，下列信息：甲跑用了；乙跑用了；甲的平均速度是乙的倍；乙的平均速度是甲的倍，其中正确的是

A.  B.  C.  D.

9. 如图，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，已知，连接，则的度数为

A.  B.  C.  D.

10. 九章算术中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不如其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的数为；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为，乙的钱数为，则可建立方程组为

A.  B.
C.  D.

11. 如果关于的不等式组有且仅有四个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和是

A.  B.  C.  D.

12. 如图，抛物线的对称轴是直线，且与轴、轴分别交于、两点，其中点在点的右侧，直线经过、两点给出以下四个结论：；；；，其中正确的结论是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共16分）

13. 年月日，年春运正式开启，本次春运从月日一直持续到月日，共天，而在春运期间，全国预计发送旅客人次，相比去年提升了，将数据用科学记数法表示为______．
14. 有张除数字外无差别的卡片，上面分别写着，，，随机抽取一张记作，放回并混合在一起，再随机抽一张记作，组成有序实数对，则点在直线上的概率为______．
15. 如图，是的直径，是的切线，若，，则图中阴影部分的面积为______．
    
     

16. 某车间有，，型的生产线共条，，，型生产线每条生产线每小时的产量分别为，，件，为正整数．该车间准备增加种类型的生产线共条，其中型生产线增加条，受到限电限产的影响，每条生产线包括之前的和新增的生产线每小时的产量将减少件．统计发现，增加生产线后，该车间每小时的总产量恰比增加生产线前减少件，且型生产线每小时的产量与三种类型生产线每小时的总产量之比为：请问增加生产线后，该车间所有生产线每小时的总产量为______件．

三、解答题（本大题共9小题，共86分）

17. 计算：
    ；
     
18. 如图，在四边形中，，．
    在图中，用尺规作线段的垂直平分线，分别交、于点、保留作图痕迹，不写作法
    连接，证明四边形为菱形．

19. 潼南区为了加强社区居民对民法典知识的了解，鼓励社区居民在线参与作答“适用民法”专项试题，社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取名人员的答卷成绩，并对他们的成绩单位：分进行统计、分析，过程如下：
    收集数据
    甲小区：
    乙小区：
    整理数据

分析数据

直接写出，，，的值：
根据以上的数据分析，请你判断哪个小区对“适用民法”专项知识掌握更好？说明理由．

20. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图是政府给贫困户新建的房屋，如图是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点点，，在同一水平线上参考数据：，，，
    
    求屋顶到横梁的距离；
    求房屋的高结果精确到．
21. 为抗击疫情，人们众志成城，响应号召，某药店销售普通口罩和口罩．
    计划口罩每包售价比普通口罩贵元，包普通口罩和包口罩总售价相同，求普通口罩和口罩每包售价；
    已知普通口罩每包进价元，按中售价销售一段时间后，发现普通口罩的日均销售量为包，当每包降价元时，日均销售量增加包．该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天普通口罩的利润为元，求此时普通口罩每包售价．
22. 如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于点、．
    求一次函数和反比例函数的表达式；
    求的面积；
    若，直接写出的取值范围．
    
    
     

23. 我们知道，任意一个大于的正整数都可以进行这样的分解：、是正整数，且，在的所有这种分解中，如果、两数的乘积最大，我们就称是的最佳分解，并规定在最佳分解时：例如可以分解成，，或，因为，所以是的最佳分解，所以．
    求的值；
    一个正整数，由个数字组成，若从左向右它的第一位数能被整除，它的前两位数被除余，前三位数被除余，前四位数被除余，，一直到前位数被除余，我们称这样的数为“多余数”，如：的第一位数能被整除，前两位数被除余，被除余，则是一个“多余数”若一个小于的三位“多余数”记为，它的各位数字之和再加上为一个完全平方数，请求出所有“多余数”中的最大值．
24. 如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于，连接．
    求抛物线的解析式；
    如图，点是直线下方抛物线上一点，过点作于点，过点作轴交于点，求周长的最大值及此时点的坐标；
    如图，将抛物线沿射线方向平移，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，在平移后的抛物线的对称轴上是否存在一点，使得以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

25. 在中，，，点是边上任意一点，连接．
    
    如图，若，时，求的长．
    如图，当时，过点作交于点，交于点，连接，求证：．
    如图，当点是边中点时，过点作交于点，当线段取最大值时，请直接写出的面积．
    答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，
最小的数是．
故选：．
根据有理数的大小比较解答即可．
本题考查了有理数大小比较法则．正数大于，大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小．
 

2.【答案】

【解析】解：不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

3.【答案】

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：和的位似比是：，
和的面积的比：，
故选：．
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
本题考查的是位似变换的性质、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：是的直径，
，
，
，
，
故选：．
由是直径可得，由可知，再根据圆周角定理可得的度数，即可得出答案．
本题考查了圆周角定理，由是直径求出是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：原式，
，
，
，
故选：．
先化简，然后估算无理数的大小即可得出答案．
本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：，
．
故选：．
根据平行线的性质进行判断即可．
本题考查平行线的性质，解题关键是熟知平行线的性质．
 

8.【答案】

【解析】解：由图象可得，
甲跑用了，故正确；
乙跑用了，故错误；
甲的平均速度是，乙的平均速度是，
则甲的平均速度是乙的：倍，故错误；
乙的平均速度是甲的倍，故正确；
故选：．
根据函数图象中的数据，可以直接判断、，再根据图象中的数据，计算出甲、乙的速度，然后即可判断、．
本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：四边形是矩形，
，
矩形沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
由折叠的性质可得，，由余角的性质和等腰三角形的性质可得，即可求解．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，解题的关键是掌握折叠的性质：折叠前后能够重合的线段相等、能够重合的角相等．
 

10.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设甲的钱数为 ，人数为 ，根据“若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为 ；而甲把其 的钱给乙，则乙的钱数也能为 ”，即可得出关于 ， 的二元一次方程组，此题得解．
【解答】
解：设甲的钱数为 ，乙的钱数为 ，
依题意，得： ．
故选： ．   

11.【答案】

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组有且仅有四个整数解，
，
解得：，
解关于的分式方程，
得：，
分式方程有非负整数解，且，，
解得：，
所以所有满足条件的整数值的和为．
故选：．
解不等式组和分式方程得出关于的范围及的值，根据不等式组有且仅有三个整数解和分式方程的解为非负整数得出的值，即可求解．
本题主要考查分式方程的解和一元一次不等式组的解，熟练掌握解分式方程和不等式组的能力，并根据题意得到关于的范围是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：抛物线开口向下，
，
，
，故正确；
直线经过点，，
，
，故错误；
，，，
，故正确；
抛物线的对称轴是直线，点在点的右侧，
点的对称点在的左侧，
当时，，
，，
，
，
，故正确；
故选：．
根据抛物线开口方向和对称轴即可判断；把代入，求得的值，即可判断；由整理得到即可判断；根据抛物线的对称性即可判断．
本题考查了二次函数的系数与图象的关系，根据抛物线与轴，轴的交点以及对称轴推理对称，，之间的关系是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：．
故答案为：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中点在直线上的结果有种，即，，
点在直线上的概率为，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中点在直线上的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

15.【答案】

【解析】解：
是的切线，是的直径，
，
，
，
，
，
，
连接，
是直径，
，
，
，
，
，
，

故答案为：．
先求出，进而求出的面积，再判断出点是的中点，进而判断出，
即可得出阴影部分的面积等于面积的一半．
此题主要考查了等腰直角三角形的性质，三角形的中位线定理，三角形的面积公式，扇形的面积公式，判断出是解本题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：设增加生产线前，，型生产线各有、、条，增加生产线后型增加条，则型增加即条，
由题意可得：
，
整理得：
，
由题意得：，
代入上式整理可得：
，
又因为是正整数，
所以的值可能为、、、、、、，
结合且为正数，
可得，即，
所以，
所以增加生产线后型增加条生产线，型增加条生产线，型增加条生产线，
且增加生产线后，，型生产线的每小时产量分别为件、件、件，
即增加生产线后，，型生产线的每小时产量分别为件、件、件，
再由型生产线每小时的产量与三种类型生产线每小时的总产量之比为：，
可得，
化简分式方程得：，
移项、合并同类项得：，
而由得：，
代入上式得：，
整理得：，
因为、、均为非负整数，
所以一定能被整除，
所以的个位数字一定是，
即的个位数字一定是，
所以条，
那么条，
随即可得条，
再次检验当、、分别为、、时，以上分式均成立．
最后计算增加生产线后该车间生产线每小时总产量为：
件．
故答案为：．
解此题的关键在于依题意列出方程组，再结合与生产线的数均为正整数可得解．具体为设，，型生产线各有、、条，增加生产线后型增加条，则型增加条，依据增加生产线后总产量减少件的已知条件可列方程，再结合与生产线的数均为正整数进而可得、的值，再由型生产线每小时的产量与三种类型生产线每小时的总产量之比为：可列方程，再结合生产线的数量均为非负整数的特征，进而可得、、的值，即可得解．
本题考查了三元一次方程组的应用，解题的关键在于能够理解题意列出方程求解．
 

17.【答案】解：原式
；
原式


．

【解析】先展开，再合并同类项；
先算括号内的，再将除化为乘，最后约分．
本题考查整式、分式的混合运算，解题的关键是掌握整式运算、分式运算的相关法则及运算顺序．
 

18.【答案】解：如图：
证明：如图，连接，
，
，
垂直平分，
．
在和中，
，
≌，
，
与互相垂直且平分，
四边形为菱形．

【解析】此题主要考查了菱形的判定以及线段垂直平分线的性质与作法，正确应用线段垂直平分线的性质是解题关键．
直接利用线段垂直平分线的作法得出答案；
结合垂直平分线的性质得出≌，即可得出，进而利用菱形的判定方法得出答案．
 

19.【答案】解：乙小区对应的人数，
甲小区成绩的众数，
将乙小区成绩重新排列为，，，，，，，，，，
所以其平均数，中位数；
根据以上的数据分析，甲小区对“适用民法”专项知识掌握更好．
甲、乙小区随机抽取的名人员中，“适用民法”专项知识的测试平均分相同，且其中甲的中位数大于乙的中位数，甲的众数大于乙的众数．
所以，甲小区掌握“适用民法”专项知识较好．答案不唯一．

【解析】根据平均数、众数和中位数的定义求解即可；
根据平均数、众数和中位数的意义求解即可．
本题考查统计表的意义和表示数据的特征，理解平均数、中位数、众数的意义是正确解答的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
 

20.【答案】解：由题意得：
，，
，
，
在中，，
屋顶到横梁的距离为；
过点作，垂足为，

则，
设，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，
经检验：是原方程的根，
，
，
房屋的高约为．

【解析】根据轴对称的性质可得，，再利用平行线的性质可求出的度数，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；
过点作，垂足为，根据题意可得，先设，在中，利用锐角三角函数定义求出的长，从而在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，轴对称图形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

21.【答案】解：设普通口罩每包的售价为元，口罩每包的售价为元，
依题意得：，
解得：．
答：普通口罩每包的售价为元，口罩每包的售价为元．
设普通口罩每包售价为元，则普通口罩每包的销售利润为元，日均销售量为包，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：此时普通口罩每包售价为元或元．

【解析】设普通口罩每包的售价为元，口罩每包的售价为元，根据“口罩每包售价比普通口罩贵元，包普通口罩和包口罩总售价相同”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设普通口罩每包售价为元，则普通口罩每包的销售利润为元，日均销售量为包，利用总利润每包的销售利润日均销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
 

22.【答案】解：点在反比例函数上，
．
．
点在反比例函数上，
．
．
．
点、在一次函数的图象上，
，
解得：．
．
设直线与轴交于点，如图，

令，则，
．
．
；
由图象可知，点右侧的部分和点与点之间的部分，
若，的取值范围为：或．

【解析】利用待定系数法即可求得结论；
设直线与轴交于点，利用直线解析式求得点的坐标，用，的面积之和表示的面积即可；
利用图象即可确定出的取值范围．
本题是一道反比例函数与一次函数图象的交点问题，主要考查了待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长和利用数形结合的思想方法求得的取值范围是解题的关键．
 

23.【答案】解：可以分解成、、、、，
，
．
小于且各位数字之和再加上为一个完全平方数的数有：、、、、、、、、、、、、、、、，
其中最大的“多余数”为，
可以分为、、、、，
，
，
所有“多余数”中的最大值为．

【解析】本题考查了因式分解的应用以及有理数的计算，解题的关键：熟读题意，理解何为最佳分解；找出符合题意得最大三位数．
将分解为、、、、，根据即可求出的值；
找出小于且各位数字之和再加上为一个完全平方数的数，再根据“多余数”的定义找出其中的最大数，重复的操作，即可找出所有“多余数”中的最大值．
 

24.【答案】解：设，
把，代入得，
，
，
；
如图，

设点，的周长是，
，，，的周长是，
直线的解析式是：，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
当时，，
当时，，
；
如图，

，
，
，
的解析式，
设新抛物线解析式是，
，
或舍去，
新抛物线对称轴是直线，
设点，
当时，
，
，
当时，
，
或，
当时，
，
，
或或或或

【解析】设抛物线解析式为交点式，把点代入即可；
设点坐标，表示出的长，根据∽，进而根据求二次函数的最值求得；
设新抛物线的顶点式解析式，将点坐标代入，求出新抛物线的对称轴，进而分为，和，列出方程求得．
本题考查了二次函数及其图象性质，等腰三角形的分类，相似三角形的判定和性质，一次函数及其图象性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关基础知识
 

25.【答案】解：如图，

作于，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
；
证明：如图，

作于，于，
，
，，
设，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
≌，
，
，
，
；
解：如图，

以为斜边作等腰直角三角形，
，，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，
作于，
，
，
点在以为直径圆上运动，
当过点时，最大，
，
，
，
 

【解析】作于，解和，进而求得结果；
作于，于，先证明，然后证明≌，进而命题得证；
先确定点的运动轨迹，进而由，确定点的轨迹在为直径的圆上，进而得出的最大值，进一步求得结果．
本题考查了等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，解直角三角形，确定圆的条件，垂径定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握“定弦对定角”等模型．