第38-40讲 圆锥曲线-【高考艺术生专用】2022年高考数学一轮复习讲义（基础版，全国通用版）

第40讲 抛物线

1、抛物线的定义

平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．

2、抛物线的标准方程及几何性质

题型一：抛物线的定义

1．（2021·山西平城·大同一中高二月考）若抛物线上一点到焦点的距离为8，则点的纵坐标为（    ）

A．6 B． C．7 D．

【答案】A

【详解】

设点，

因为抛物线方程为x2=8y，

所以其准线方程为，

又因为抛物线上点P到焦点的距离为8，

由抛物线的定义得：，

交点，

所以点P的纵坐标为6，

故选：A

2．（2021·绥德中学高二月考（文））已知抛物线上一点到焦点的距离与到轴的距离之差为1，则＝（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【详解】

由题意到准线的距离减去到轴距离等于1，所以，．

故选：B．

3．（2021·全国高二课时练习）若点为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，则的最小值为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【详解】

由，得，∴，则，所以焦点，由抛物线上所有点中，顶点到焦点的距离最小，得的最小值为.

故选：D．

4．（2021·广西柳州·高三开学考试（理））已知是抛物线的焦点，直线是抛物线的准线，则到直线的距离为（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】B

【详解】

由得，所以F到直线l的距离为

故选：B

5．（2021·广东南山·蛇口育才中学高三月考）若抛物线上的点到焦点的距离是4，则抛物线的方程为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

由题得抛物线的准线方程为

到准线的距离等于它到焦点的距离，则，所以，

故抛物线方程为，

故选：B．

6．（2021·贵州贵阳·高三开学考试（文））已知抛物线：的焦点为，点在上且满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

由抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可知，

故选：D

7．（2021·北京西城·）在抛物线上，若横坐标为的点到焦点的距离为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

由题知，抛物线的准线方程为，

若横坐标为的点到焦点的距离为，则由抛物线的定义知，，

解得.

故选：D.

8．（2021·全国高二课前预习）若抛物线上一点到该抛物线的焦点的距离，则点到轴的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

根据题意可知抛物线的准线方程为，∵到该抛物线的焦点的距离为，

∴到准线的距离为，即，∴，代入抛物线方程求得，

∴点到轴的距离为.

故选：A

题型二：抛物线标准方程

1．（2021·全国高二课时练习）如果抛物线的准线是直线，那么它的焦点坐标为（    ）

A．（1，0） B．（2，0） C．（3，0） D．

【答案】D

【详解】

由于抛物线的准线是直线，所以它的焦点为.

故选：D

2．（2021·南昌市实验中学高三月考（理））抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

抛物线的焦点为，双曲线的渐近线方程为，

故焦点到渐近线的距离为，

故选：D.

3．（2021·贵州（文））已知抛物线：（）上一点到焦点的距离为8，则＝（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【详解】

因为到焦点F的距离为8，

所以，得.

故选：D

4．（2021·全国高二课时练习）已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两个不同的点，若，则线段的中点到轴的距离为（    ）

A．3 B． C．5 D．

【答案】B

【详解】

由抛物线方程，得其准线方程为.设，，由抛物线的定义，得，即，所以线段中点的横坐标为，线段的中点到轴的距离为．

故选：B.

5．（2021·贵州凯里一中高三三模（文））已知抛物线：的焦点，准线为，点，线段的中点在上，则点到直线的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

焦点为，线段的中点为，将点代入得，解得，点到直线的距离为.

故选：C

6．（2021·浙江高二单元测试）已知抛物线上一点到焦点的距离为，则其焦点坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

解：抛物线上一点到焦点的距离为，

由抛物线的定义知，即，所以，所以，

抛物线的焦点坐标为，

故选：A.

7．（2021·安徽安庆·（文））顶点在坐标原点，焦点是双曲线的左焦点的抛物线标准方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

因为，∴，∴，，∴，∴．

故选：B．

8．（2021·上海浦东新·高三二模）以圆的圆心为焦点的抛物线标准方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

的圆心，

圆心为焦点的抛物线标准方程为．

故选：C．

题型三：抛物线的弦长

1．（2021·北京延庆·）设为坐标原点，抛物线的焦点为，为抛物线上一点．若，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

由题意可得点的坐标，准线方程为，

因为为抛物线上一点，，

所以点的横坐标为4，

当时，，所以，

所以 的面积为，

故选：D

2．（2021·四川遂宁·高三二模（文））若过抛物线：的焦点且斜率为2的直线与交于，两点，则线段的长为（    ）

A．3. B．4 C．5 D．6

【答案】C

【详解】

抛物线：的焦点

所以直线的方程为，

设，，

由，消去并整理得，

所以，.

故选：C.

3．（2021·广西浦北中学（理））已知抛物线的焦点在直线上，又经过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，则（    ）

A．12 B．14 C．16 D．18

【答案】C

【详解】

解：因为直线与轴的交点为，

所以抛物线的焦点坐标为，设，抛物线方程为，

所以过焦点且倾斜角为的直线方程为，

设，

由，得，

所以，

所以，

故选：C

4．（2021·辽宁凌源·高三月考）已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线交于点，，则（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【详解】

由点在抛物线上得，设，由直线过定点得

，解得（舍去2），

所以

故选：C.

5．（2021·河南（文））已知为的两个顶点，点在抛物线上，且到焦点的距离为，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由题意，点在抛物线上，设，

又由抛物线的准线方程为

根据抛物线的定义知，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，

即，解得，

所以.

故选：C.

6．（2021·广西玉州·高二期中（文））已知抛物线的焦点为，为抛物线上的点，且.

（1）求抛物线的方程；

（2）若直线与抛物线相交于两点，求弦长.

【答案】（1）；（2）.

（1），

所以，即抛物线C的方程.

（2）设，

由得

所以，

所以

.

7．（2021·黄冈天有高级中学高二月考）已知抛物线，其焦点到其准线的距离为，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，

（1）求抛物线的方程及其焦点坐标；

（2）求.

【答案】（1），焦点坐标为；（2）8.

【详解】

解：（1）抛物线的焦点到其准线的距离为，得，

所以抛物线的方程为，焦点坐标为.

（2）过焦点且倾斜角为的直线的方程为，设，

联立方程组消去可得，则，

所以.

8．（2021·全国高二课时练习）已知动圆经过点，并且与直线相切

（1）求动圆圆心的轨迹的方程；   

（2）经过点(2,0)且倾斜角等于135°的直线与轨迹相交于两点，求

【答案】（1）（2）16

【详解】

（1）设，则依题意可得，

化简得，

所以动圆圆心P的轨迹M的方程为

（2）直线的方程为，即，

联立，消去并整理得，

设，，

则，，

由弦长公式可得.

所以