专题06基本初等函数第二缉（解析版）-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

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备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题06基本初等函数第二缉1．【2019年重庆预赛】函数的最小值为，最大值为，则________.【答案】  【解析】设,则且，∴.，令，.令得，，，∴，，∴.2．【2019年重庆预赛】设是定义在上的单调函数，对任意有，，则           . 【答案】【解析】由题意存在使。又因是上的单调函数，这样的是唯一的，再由得解得或（舍）。所以，。3．【2019年北京预赛】函数满足,且,其中,那么=         .【答案】.【解析】因为,所以,,,,,将以上各式等号两边分别相加得,进而有.4．【2019年福建预赛】函数的值域为         .【答案】【解析】解法一:.设，则.由，得.∴f(x)值域为.解法二:.时，时，.∴f(x)在区间上为增函数，在区间上为减函数.∴f(x)值域为.5．【2019年福建预赛】已知的图象关于点(2，0)对称，则f(1)=        .【答案】4【解析】解法一:由f(x)的图象关于点(2，0)对称，知：为奇函数..解法二:由f(x)的图象关于点(2，0)对称，知对任意x∈R，f(2+x)+f(2-x)=0于是，对任意x∈R，.即恒成立...解法三:依题意，有f(x)=(x-2)3+m(x-2).利用f(0)=-8-2m=2，得m=-5.于是，f(x)=(x-2)3-5(x-2)，f(1)=-1-(-5)=4.6．【2019年福建预赛】已知，若方程f(x)=0的根均为实数，m为这5个实根中最大的根，则m的最大值为                              .【答案】4【解析】设f(x)=0的5个实根为，则由韦达定理，得..于是，..另一方面，由柯西不等式，知于是，.又对，方程f(x)=0的根均为实数，且5个实根中最大的根m=4.∴m的最大值为4.7．【2019年广西预赛】已知xyz+y+z=12,则的最大值为        .【答案】【解析】.当xyz=y=z=4取到等号.8．【2019年贵州预赛】已知方程的五个根分别为,f(x)=x2+1.则        .【答案】37【解析】设,则,又f(x)=x2+1=(x-i)(x+i),所以.9．【2019年吉林预赛】已知函数f(x)=-x2+x+m+2,若关于x的不等式的解集中有且仅有1个整数,则实数m的取值范围为                                           .【答案】[-2,-1)【解析】.令.在同一直角坐标系内作出两个函数的图象,由图象可知,整数解为x=0,故.解得.10．【2019年吉林预赛】已知函数的零点,其中常数a、b满足条件,则n的值为        .【答案】-1【解析】因为,所以1<a<2,0<b<1,故函数f(x)在R上为増函数,又,故由零点定理可知,函数f(x)在区间(1,0)有唯ー的零点,则n的值是-1.11．【2019高中数学联赛A卷（第01试）】已知正实数a满足，则的值为        .【答案】【解析】由条件知，故，所以.12．【2018年山西预赛】函数的值域为________.【答案】【解析】由条件知.令.则，，，因为，所以，.13．【2018年福建预赛】函数的最小值为________.【答案】 【解析】设log3x=t，则.∴.∴当时，f(x)取最小值.14．【2018年福建预赛】若函数f(x)=x2－2ax+a2－4在区间[a－2，a2](a>0)上的值域为[－4，0]，则实数a的取值范围为________.【答案】[1，2]【解析】∵f(x)=x2－2ax+a2－4=(x－a)2－4，f(a)=－4，f(a－2)=0，f(x)在区间[a－2，a2]上的值域为[－4，0]，f(x)的图像为开口向上的拋物线.∴，解得－1≤a≤0或1≤a≤2.结合a>0，得1≤a≤2.∴a的取值范围为[1，2].15．【2018年江苏预赛】设，期中表示的最大公约数，则的值为________.【答案】520【解析】如果，则，所以.又，所以.故答案为：52016．【2018年贵州预赛】牛得亨先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手，这四人中有以下情况：①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同；②最佳选手与最差选手年龄相同．则这四人中最佳选手是_______．【答案】牛得亨先生的女儿【解析】由题意知，最佳选手和最佳选手的孪生同抱年龄相同；由②，最佳选手和最差选手的年龄相同；由①，最佳选手的孪生同胞和最差选手不是间一个人．因此，四个人中有三个人的年龄相同．由于牛得亨先生的年龄肯定大于他的儿子和女儿，从而年龄相同的三个人必定是牛得亨先生的儿子、女儿和妹妹．由此，牛得亨先生的儿子和女儿必定是①中所指的孪生同胞．因此，牛得亨先生的儿子或女儿是最佳选手，而牛得亨先生的妹妹是最差选手．由①，最佳选手的孪生同胞一定是牛得亨先生的儿子，而最佳选手无疑是牛得亨先生的女儿．故答案为：牛得亨先生的女儿17．【2018年贵州预赛】函数 的最小值是______．【答案】【解析】因为此即为直线y=x上的点（x，y）到点（0，1）与到点（2，3）的距离之和，根据镜像原理，z的最小值应为点（1，0）到点（2，3）的距离．故答案为：18．【2018年贵州预赛】若方程ax>x（a>0，a≠1）有两个不等实根，则实数a的取值范围是_______．【答案】【解析】由ax>x知x>0，故，令（x>0），则．当时，；当时，．所以在(0，e)上递增，在(e，+∞)上递减．故，即．故答案为：19．【2018年浙江预赛】已知a为正实数，且 是奇函数，则的值域为________.【答案】【解析】由为奇函数可知，解得a= 2，即，由此得的值域为.20．【2018年北京预赛】已知实数满足，则________.【答案】1【解析】化为对数，有，所以.21．【2018年北京预赛】已知函数满足，那么的值域为_______.【答案】【解析】设函数满足，.所以所求函数是，其图像如图，易知的值域是.22．【2018年湖南预赛】函数的定义城为_________.【答案】【解析】由 得，所以函数的定义城为.故答案为23．【2018年湖南预赛】已知函数对任意的实数满足：，且当时，，当时，，则象与的图象的交点个数为___________。【答案】10【解析】由题意知，f（x）=且周期是6，，且此函数是偶函数，
在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象如下图所示：
由图可得，两个函数图象的交点个数是10个．24．【2018年陕西预赛】已知函数，若存在，使得，则正整数的最大值是________.【答案】6【解析】由题意得.故尽可能大时的情形为，此时.25．【2018年陕西预赛】已知函数，若存在，使得，则正整数的最大值是________.【答案】6【解析】由题意得.故尽可能大时的情形为，此时.26．【2018年陕西预赛】已知函数，若存在，使得，则正整数的最大值是________.【答案】6【解析】由题意得.故尽可能大时的情形为，此时.27．【2018年广东预赛】函数的值域为_____________.【答案】当时，的值域为（）；当时，的值域为（）.【解析】，因为，所以当时，的值域为（）；当时，的值域为（）.故答案为：当时，的值域为（）；当时，的值域为（）.28．【2018年广东预赛】已知方程在区间（-2，2）内恰有两个实根，则k的取值范围是__________.【答案】【解析】记，令，得.当时，在（）上为增函数.当时，在（）上为减函数.所以在点处取得最大值，当且仅当时，在区间（-2，2）内恰有两个实根，故k的取值范围是.故答案为：29．【2018年贵州预赛】方程组的实数解为___________.【答案】【解析】因为，所以，即，代入，得.由.30．【2018年贵州预赛】若方程有两个不等实根，则实数的取值范围是_____________.【答案】【解析】由知x＞0，故.令，则.当时，；当时，.所以在（0，e）上递增，在（e，+）上递减.故，即.31．【2018年安徽预赛】设点P、Q分别在函数的图象上，则的最小值=_________.【答案】【解析】设P（），Q（）使最小.由互为反函数，知点P、Q处的切线斜率都是1，直线PQ的斜率都是-1.故.故答案为：32．【2018年山东预赛】对任意的实数的最小值为______．【答案】【解析】设，则①＋②＋③得．解得．又当时，有解．故当时，取到最小值．33．【2018年山东预赛】已知，且为方程的一个根，则的最大可能值为______．【答案】9    【解析】由题设，则．因为，则必为完全平方数．设，则．所以．解得，8，,0．所以的最大可能值为9.34．【2018年山东预赛】设为最接近的整数，则______．【答案】    【解析】设，则，即．而，因此满足个．注意到，从而或7．由于，所以．因此．35．【2018年湖北预赛】设是定义在上的单调函数，若对任意的，都有，则不等式的解集为______.【答案】 【解析】由题设，存在正常数，使得，且对任意的，有.当时，有，由单调性知此方程只有唯一解.所以.不等式，即，解得.故不等式的解集为.