安徽师范大学附属中学2022届高三下学期适应性考试文科数学试题

安徽师范大学附属中学2022届高三下学期适应性考试

文科数学试题

第I卷（选择题）

1．已知集合，集合，则（       ）

A． B． C． D．

2．已知复数，则下列结论正确的是（       ）

A．的虚部为i B．

C．的共轭复数 D．为纯虚数

3．已知长方形的长与宽分别为3和2，则分别以长与宽所在直线为旋转轴的圆柱体的体积之比为（       ）

A．3：2 B．2：3 C．9：4 D．4：9

4．由于发现新冠阳性感染者，2022年4月17日-23日芜湖市主城区实施静态管理，最终控制了疫情.初三、高三学生于27日返校复课，返校前需提供48小时核酸检测阴性证明.为配合核酸检测，我市从3名护士和2名医生中随机选取两位派往某社区检测点工作，则恰好选取一名医生和一名护士的概率为（　　）

A． B． C． D．

5．函数的大致图象是（       ）

A． B．

C． D．

6．不论k为何值，直线都与圆相交，则该圆的方程可以是（　　）

A． B．

C． D．

7．荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.“这句来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”是“至千里”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8．执行下面的程序框图，若输入的，，则输出的结果为（ ）

A．3 B．8 C．24 D．504

9．已知，，，其中为自然对数的底数，则（　　）

A． B． C． D．

10．设为椭圆和双曲线的一个公共点，且在第一象限，是的左焦点，则（       ）

A． B． C． D．

11．已知的内角所对的边分别为，且，若的面积为，则的最小值为（　　）

A．2 B．4 C．2 D．4

12．已知函数在（0，+∞）上有3个不同的零点，则实数的取值范围是（　　）

A． B．

C． D．

第II卷（非选择题）

13．设为非零向量，且，则，的夹角为___________.

14．已知实数x，y满足，则的最小值是___________

15．方程在区间上的所有解的和等于___________.

16．已知三棱锥的外接球O的半径为，为等边三角形，若顶点P到底面ABC的距离为4，且三棱锥的体积为4，则满足上述条件的顶点P的轨迹长度是___________.

17．已知正项数列的前项和为，且满足.

(1)求的通项公式；

(2)设求数列的前项和.

18．为促进新能源汽车的推广，某市逐渐加大充电基础设施的建设，该市统计了近五年新能源汽车充电站的数量（单位：个），得到如下表格：

(1)若y与x成线性相关关系，求y关于x的线性回归方程

(2)预测2025年该市新能源汽车充电站的数量.

参考公式：

19．如图，菱形ABCD中，把△BDC沿BD折起，使得点C至P处.

(1)证明：平面PAC⊥平面ABCD；

(2)若与平面ABD所成角的余弦值为，，求三棱锥P—ABD的体积.

20．已知抛物线，点F为其焦点，P为T上的动点，若|PF|的最小值为1.

(1)求抛物线T的方程；

(2)过x轴上一动点作互相垂直的两条直线，与抛物线T分别相交于点和C，D，点H，K分别为的中点，求△EHK面积的最小值.

21．已知函数

(1)讨论f（x）的单调性；

(2)若对任意的不等正数，总有求实数a的取值范围.

22．如图，在直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系. 图中的心型曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为 （t为参数）

(1)求曲线的极坐标方程；

(2)若曲线与交于三点，求的值.

23．已知函数.

(1)解关于x的不等式；

(2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围.

参考答案：

1．C

【解析】

【分析】

直接求并集.

【详解】

因为集合，集合，所以.

故选：C．

2．D

【解析】

【分析】

根据复数的除法运算法则，结合复数模的定义、共轭复数的定义，结合复数虚部的定义、纯虚数的定义逐一判断即可.

【详解】

解：∵，∴z的虚部为1，为纯虚数，，∴正确的结论是D．

故选：D．

3．B

【解析】

【分析】

分别求出两圆柱的体积，即可得到比例关系；

【详解】

解：若以长为轴，则圆柱的高，底面半径，此时圆柱的体积，

若以宽为轴，则圆柱的高，底面半径，此时圆柱的体积，

所以；

故选：B

4．D

【解析】

【分析】

枚举所有情况求解即可

【详解】

记3名护士为cde，2名医生为AB，两个检测点分别为：AB，Ac，Ad，Ae，Bc，Bd，Be，cd，ce，de共10个基本事件，其中恰好选取一名医生和一名护士有Ac，Ad，Ae，Bc，Bd，Be 共6种，所以概率为

故选：D

5．C

【解析】

结合选项中函数图象的特征，利用函数的性质，采用排除法求解即可.

【详解】

由题可知，函数的定义域为，，

所以函数为奇函数，所以排除选项BD；又，所以排除选项A.

故选:C.

【点睛】

思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

6．B

【解析】

【分析】

判断所给的圆是否与直线 始终相交的依据是

直线所过的定点（-4，1）是否在该圆内或圆上.

【详解】

，   ，∴直线恒过点P（—4，1） ，

对于A，圆心为（2，-1），半径为5，P到圆心的距离为：     ，

即P点不在该圆内；

对于B，圆心为（-1，-2），半径为5，P到圆心的距离为 ，

故点P在该圆内；

对于C，圆心为（3，-4），半径为5，P点到圆心的距离为 ，

故点P不在该圆内；

对于D，圆心为（-1，-3），半径为5，点P到圆心的距离为 ，

点P该在圆上，可能相切也可能相交；

故选：B.

7．B

【解析】

【分析】

利用命题间的关系及命题的充分必要性直接判断.

【详解】

由已知设“积跬步”为命题，“至千里”为命题，

“故不积跬步，无以至千里”，即“若，则”，

其逆否命题为“若则”，反之不成立，

所以命题是命题的必要不充分条件，

故选：B.

8．C

【解析】

【分析】

先求出除以的余数，然后利用辗转相除法，将的值赋给，将余数赋给，进行迭代，一直计算到余数为零时即可结束

【详解】

解：当，，除以的余数，

此时，则除以的余数，

此，满足条件，

所以输出，

故选：C

9．B

【解析】

【分析】

利用对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.

【详解】

因为，，，

因此，.

故选：B.

10．A

【解析】

【分析】

根据椭圆和双曲线方程可知二者共焦点，利用椭圆和双曲线定义可构造方程组求得结果.

【详解】

由椭圆方程知其焦点为；由双曲线方程知其焦点为；

椭圆与双曲线共焦点，设其右焦点为，

为椭圆与双曲线在第一象限内的交点，

由椭圆和双曲线定义知：，解得：.

故选：A.

11．A

【解析】

【分析】

根据题意化简得，再由的面积为得，再由关于角的余弦定理加基本不等式即可求出答案.

【详解】

（当且仅当时取等号），

∴

故选：A.

12．D

【解析】

【分析】

解法一：根据代入排除法分析即可；

解法二：转化为|和的图像在上有3个交点，再画图分类讨论分析实数的取值范围即可

【详解】

解法一：因为函数在（0，+∞）上有3个不同的零点，

所以，和的图像在（0，+∞）上有3个交点，代入，不合题意，排除A、C，又k取+∞显然不合题意，排除B；

解法二：因为函数在上有3个不同的零点，

所以|和的图像在上有3个交点，

画出函数g（x）的图像，如图.

的图像恒过点（0，2），且当时与x轴的交点为（，0），

当时，与g（x）的图像在上有3个不同的交点，如图.

当，即时，

与g（x）的图像在上仅有2个不同的交点，如图.

当，即时，与g（x）的图像在（0，）上有1个交点，在（，∞）上有2个交点，如图.

当，即时，与g（x）的图像在（0，）上有3个交点，在上有0个交点，如图，

当，即时，与g（x）的图像在（0，+∞）上有2个交点，如图.

当时，的左支与g（x）的图像无交点，

当直线与相切时，联立方程得

令，得舍去），

所以

当，即时，与g（x）的图像在上有3个交点.

综上，可得k的取值范围为

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了数形结合分类讨论解决函数零点与参数范围的问题，需要根据题意转化为两个函数图像的交点，再分情况讨论分析.属于难题

13．##

【解析】

【分析】

由||两边平方化简分析即可

【详解】

由，平方得到，即，所以，夹角为

故答案为：.

14．8

【解析】

【分析】

画出可行域，根据的几何意义求解即可

【详解】

画出可行域如图，因为的几何意义为到的距离的平方，由图可知距离最小值为到的距离，故的最小值为

故答案为：8

15．##

【解析】

【分析】

由已知可得，由可求得的取值范围，求出原方程的根，相加可得结果.

【详解】

由可得，

，则，所以，，

解得，

因此，方程在区间上的所有解的和.

故答案为：.

16．

【解析】

【分析】

根据给定条件，求出球心O到平面ABC的距离，判断点P的轨迹形状，再借助球的截面圆性质计算作答.

【详解】

设底面等边三角形ABC的边长为，因顶点P到底面ABC的距离为4且三棱锥的体积为4，

于是有：，解得，则的外接圆半径为，

球半径，球心O到底面ABC的距离为，而顶点P到底面ABC的距离为4，

即点P在与平面ABC平行且距离为4的平面上，又点P在球O的表面上，

则有点P的轨迹是与平面ABC平行且距离为4的平面截球O所得截面圆（球心在底面ABC和截面圆之间），

球心O到该截面圆的距离为，则截面圆的半径，

所以顶点P的轨迹长度是.

故答案为：

17．(1)；

(2)

【解析】

【分析】

（1）由与的关系求解数列的通项公式；（2）由裂项相消法求和.

(1)

由题意，当时，，

则，可得，

由数列是正项数列可知，，又，

得，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，

所以；

(2)

由（1）可得：，∴，

∴.

18．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据题中所给数据，求出，，即可求出回归方程；

（2）将代入到（1）中所求方程，即可预测该市新能源汽车充电站的数量.

(1)

设年份代号为z，2017,2018,2019,2020,2021分别为1，2，3，4，5，

由已知数据得，

，

，

，

所以所求线性回归方程为，

所以；

(2)

将代入线性回归方程得，

故预测2025年市新能源汽车充电站的数量为287个.

19．(1)证明见解析

(2)1

【解析】

【分析】

（1）通过证明和得出BD⊥平面PAC即可；

（2）作于H点，可判断H与O重合，即可求出相关长度，求出体积.

(1)

如图所示，取AC与BD的交点为O，连接PO，

∵四边形ABCD为菱形，现把△BDC沿BD折起，使得点C至P处，

，∴，

∵AC平面PAC，PO平面PAC，,

∴BD⊥平面PAC，又BD平面ABCD，∴平面PAC⊥平面ABCD．

(2)

作于H点，

∵，∴△PAC为直角三角形，

因为平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面，

所以PH⊥平面ABCD，所以，

∵PA与平面ABD所成角的余弦值为，即，

∴△PAC为等腰直角三角形，∴H与O重合，

∵，菱形ABCD中，

∴，

.

20．(1)

(2)4

【解析】

【分析】

（1）利用抛物线的定义求出，即可得到抛物线T的方程；

（2） 可设直线AB的方程为，设A（），B（）把直线淯抛物线联立，表示出，，得到面积的表达式，利用基本不等式求出△EHK面积的最小值.

(1)

抛物线定义，，∵，∴，∴抛物线T的方程为：

(2)

由题意可知，直线AB不与y轴垂直，所以设直线AB的方程为.

设A（），B（）

由

∴，同理

∴

同理

∴

当且仅当时取等号，故△EHK面积的最小值为4.

21．(1)答案见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）求导可得，再分和两种情况分析导函数的正负与原函数的单调性即可；

（2）化简可得，再构造函数，求导后参变分离分析函数的最值求解即可

(1)

由题意得：f（x）定义域为（0，+∞），

当时，，∴在（0，+∞）上恒成立，

∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；

当时，令，解得：

∴当时，；当时，

∴f（x）在（0，）上单调递增，在上单调递减；

综上所述：当时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；

当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减.

(2)

不妨设，则由得

即

令，则h（x）在（0，+∞）上单调递增，

∴在（0，+∞）上恒成立，

即又，∴

令，则

令，解得：或（舍）

∴当时，；当时，

∴m（x）在上单调递增，在上单调递减，

∴

∴a的取值范围为

【点睛】

本题主要考查了求导分类讨论分析函数单调性的问题，同时也考查了根据同构函数构造不等式解决单调性的问题、参变分离求解参数范围的问题等，属于难题

22．(1)和或；

(2)2.

【解析】

【分析】

（1）先化为直角坐标，在化为极坐标方程即可求出答案.

（2）写出极坐标系下点与的坐标，再利用即可取出答案.

(1)

曲线的直角坐标方程为，则极坐标方程为：和或

(2)

设，则.

23．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）讨论不同取值范围对原绝对值不等式化简求解再取并集即可；

（2）当时不等式恒成立，则；当时，先进行参变分离，再利用绝对值三角不等式求解即可.

(1)

因为，

所以或或，

解得或或，

所以，即原不等式的解集为.

(2)

当时，不等式恒成立，此时；

当时，不等式可转化为，

因为，当且仅当，即时等号成立，所以.

所以实数a的取值范围为.