安徽师范大学附属中学2022届高三下学期适应性考试文科数学试题

这是一份安徽师范大学附属中学2022届高三下学期适应性考试文科数学试题，共22页。试卷主要包含了已知集合，集合，则，已知复数，则下列结论正确的是，函数的大致图象是，荀子曰等内容，欢迎下载使用。
安徽师范大学附属中学2022届高三下学期适应性考试文科数学试题第I卷（选择题）评卷人得分  一、单选题1．已知集合，集合，则（       ）A． B． C． D．2．已知复数，则下列结论正确的是（       ）A．的虚部为i B．C．的共轭复数 D．为纯虚数3．已知长方形的长与宽分别为3和2，则分别以长与宽所在直线为旋转轴的圆柱体的体积之比为（       ）A．3：2 B．2：3 C．9：4 D．4：94．由于发现新冠阳性感染者，2022年4月17日-23日芜湖市主城区实施静态管理，最终控制了疫情.初三、高三学生于27日返校复课，返校前需提供48小时核酸检测阴性证明.为配合核酸检测，我市从3名护士和2名医生中随机选取两位派往某社区检测点工作，则恰好选取一名医生和一名护士的概率为（　　）A． B． C． D．5．函数的大致图象是（       ）A． B．C． D．6．不论k为何值，直线都与圆相交，则该圆的方程可以是（　　）A． B．C． D．7．荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.“这句来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”是“至千里”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．执行下面的程序框图，若输入的，，则输出的结果为（ ）A．3 B．8 C．24 D．5049．已知，，，其中为自然对数的底数，则（　　）A． B． C． D．10．设为椭圆和双曲线的一个公共点，且在第一象限，是的左焦点，则（       ）A． B． C． D．11．已知的内角所对的边分别为，且，若的面积为，则的最小值为（　　）A．2 B．4 C．2 D．412．已知函数在（0，+∞）上有3个不同的零点，则实数的取值范围是（　　）A． B．C． D．第II卷（非选择题）评卷人得分  二、填空题13．设为非零向量，且，则，的夹角为___________.14．已知实数x，y满足，则的最小值是___________15．方程在区间上的所有解的和等于___________.16．已知三棱锥的外接球O的半径为，为等边三角形，若顶点P到底面ABC的距离为4，且三棱锥的体积为4，则满足上述条件的顶点P的轨迹长度是___________.评卷人得分  三、解答题17．已知正项数列的前项和为，且满足.(1)求的通项公式；(2)设求数列的前项和.18．为促进新能源汽车的推广，某市逐渐加大充电基础设施的建设，该市统计了近五年新能源汽车充电站的数量（单位：个），得到如下表格：年份x20172018201920202021新能源汽车充电站数量y/个5085105140170 (1)若y与x成线性相关关系，求y关于x的线性回归方程(2)预测2025年该市新能源汽车充电站的数量.参考公式：19．如图，菱形ABCD中，把△BDC沿BD折起，使得点C至P处. (1)证明：平面PAC⊥平面ABCD；(2)若与平面ABD所成角的余弦值为，，求三棱锥P—ABD的体积.20．已知抛物线，点F为其焦点，P为T上的动点，若|PF|的最小值为1.(1)求抛物线T的方程；(2)过x轴上一动点作互相垂直的两条直线，与抛物线T分别相交于点和C，D，点H，K分别为的中点，求△EHK面积的最小值.21．已知函数(1)讨论f（x）的单调性；(2)若对任意的不等正数，总有求实数a的取值范围.22．如图，在直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系. 图中的心型曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为 （t为参数）(1)求曲线的极坐标方程；(2)若曲线与交于三点，求的值.23．已知函数.(1)解关于x的不等式；(2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围.
参考答案：1．C【解析】【分析】直接求并集.【详解】因为集合，集合，所以.故选：C．2．D【解析】【分析】根据复数的除法运算法则，结合复数模的定义、共轭复数的定义，结合复数虚部的定义、纯虚数的定义逐一判断即可.【详解】解：∵，∴z的虚部为1，为纯虚数，，∴正确的结论是D．故选：D．3．B【解析】【分析】分别求出两圆柱的体积，即可得到比例关系；【详解】解：若以长为轴，则圆柱的高，底面半径，此时圆柱的体积，若以宽为轴，则圆柱的高，底面半径，此时圆柱的体积，所以；故选：B4．D【解析】【分析】枚举所有情况求解即可【详解】记3名护士为cde，2名医生为AB，两个检测点分别为：AB，Ac，Ad，Ae，Bc，Bd，Be，cd，ce，de共10个基本事件，其中恰好选取一名医生和一名护士有Ac，Ad，Ae，Bc，Bd，Be 共6种，所以概率为故选：D5．C【解析】结合选项中函数图象的特征，利用函数的性质，采用排除法求解即可.【详解】由题可知，函数的定义域为，，所以函数为奇函数，所以排除选项BD；又，所以排除选项A.故选:C.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.6．B【解析】【分析】判断所给的圆是否与直线 始终相交的依据是直线所过的定点（-4，1）是否在该圆内或圆上.【详解】，   ，∴直线恒过点P（—4，1） ，对于A，圆心为（2，-1），半径为5，P到圆心的距离为：     ，即P点不在该圆内；对于B，圆心为（-1，-2），半径为5，P到圆心的距离为 ，故点P在该圆内；对于C，圆心为（3，-4），半径为5，P点到圆心的距离为 ，故点P不在该圆内；对于D，圆心为（-1，-3），半径为5，点P到圆心的距离为 ，点P该在圆上，可能相切也可能相交；故选：B.7．B【解析】【分析】利用命题间的关系及命题的充分必要性直接判断.【详解】由已知设“积跬步”为命题，“至千里”为命题，“故不积跬步，无以至千里”，即“若，则”，其逆否命题为“若则”，反之不成立，所以命题是命题的必要不充分条件，故选：B.8．C【解析】【分析】先求出除以的余数，然后利用辗转相除法，将的值赋给，将余数赋给，进行迭代，一直计算到余数为零时即可结束【详解】解：当，，除以的余数，此时，则除以的余数，此，满足条件，所以输出，故选：C9．B【解析】【分析】利用对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.【详解】因为，，，因此，.故选：B.10．A【解析】【分析】根据椭圆和双曲线方程可知二者共焦点，利用椭圆和双曲线定义可构造方程组求得结果.【详解】由椭圆方程知其焦点为；由双曲线方程知其焦点为；椭圆与双曲线共焦点，设其右焦点为，为椭圆与双曲线在第一象限内的交点，由椭圆和双曲线定义知：，解得：.故选：A.11．A【解析】【分析】根据题意化简得，再由的面积为得，再由关于角的余弦定理加基本不等式即可求出答案.【详解】 （当且仅当时取等号），∴故选：A.12．D【解析】【分析】解法一：根据代入排除法分析即可；解法二：转化为|和的图像在上有3个交点，再画图分类讨论分析实数的取值范围即可【详解】解法一：因为函数在（0，+∞）上有3个不同的零点，所以，和的图像在（0，+∞）上有3个交点，代入，不合题意，排除A、C，又k取+∞显然不合题意，排除B；解法二：因为函数在上有3个不同的零点，所以|和的图像在上有3个交点，画出函数g（x）的图像，如图.的图像恒过点（0，2），且当时与x轴的交点为（，0），当时，与g（x）的图像在上有3个不同的交点，如图. 当，即时，与g（x）的图像在上仅有2个不同的交点，如图. 当，即时，与g（x）的图像在（0，）上有1个交点，在（，∞）上有2个交点，如图. 当，即时，与g（x）的图像在（0，）上有3个交点，在上有0个交点，如图， 当，即时，与g（x）的图像在（0，+∞）上有2个交点，如图.当时，的左支与g（x）的图像无交点，当直线与相切时，联立方程得令，得舍去），所以当，即时，与g（x）的图像在上有3个交点. 综上，可得k的取值范围为故选：D.【点睛】本题主要考查了数形结合分类讨论解决函数零点与参数范围的问题，需要根据题意转化为两个函数图像的交点，再分情况讨论分析.属于难题13．##【解析】【分析】由||两边平方化简分析即可【详解】由，平方得到，即，所以，夹角为故答案为：.14．8【解析】【分析】画出可行域，根据的几何意义求解即可【详解】画出可行域如图，因为的几何意义为到的距离的平方，由图可知距离最小值为到的距离，故的最小值为故答案为：815．##【解析】【分析】由已知可得，由可求得的取值范围，求出原方程的根，相加可得结果.【详解】由可得，，则，所以，，解得，因此，方程在区间上的所有解的和.故答案为：.16．【解析】【分析】根据给定条件，求出球心O到平面ABC的距离，判断点P的轨迹形状，再借助球的截面圆性质计算作答.【详解】设底面等边三角形ABC的边长为，因顶点P到底面ABC的距离为4且三棱锥的体积为4，于是有：，解得，则的外接圆半径为，球半径，球心O到底面ABC的距离为，而顶点P到底面ABC的距离为4，即点P在与平面ABC平行且距离为4的平面上，又点P在球O的表面上，则有点P的轨迹是与平面ABC平行且距离为4的平面截球O所得截面圆（球心在底面ABC和截面圆之间），球心O到该截面圆的距离为，则截面圆的半径，所以顶点P的轨迹长度是.故答案为：17．(1)；(2)【解析】【分析】（1）由与的关系求解数列的通项公式；（2）由裂项相消法求和.(1)由题意，当时，，则，可得，由数列是正项数列可知，，又，得，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以；(2)由（1）可得：，∴，∴.18．(1)(2)【解析】【分析】（1）根据题中所给数据，求出，，即可求出回归方程；（2）将代入到（1）中所求方程，即可预测该市新能源汽车充电站的数量.(1)设年份代号为z，2017,2018,2019,2020,2021分别为1，2，3，4，5，由已知数据得，，，，所以所求线性回归方程为，所以；(2)将代入线性回归方程得，故预测2025年市新能源汽车充电站的数量为287个.19．(1)证明见解析(2)1【解析】【分析】（1）通过证明和得出BD⊥平面PAC即可；（2）作于H点，可判断H与O重合，即可求出相关长度，求出体积.(1)如图所示，取AC与BD的交点为O，连接PO，∵四边形ABCD为菱形，现把△BDC沿BD折起，使得点C至P处，，∴，∵AC平面PAC，PO平面PAC，,∴BD⊥平面PAC，又BD平面ABCD，∴平面PAC⊥平面ABCD．(2)作于H点，∵，∴△PAC为直角三角形，因为平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面，所以PH⊥平面ABCD，所以，∵PA与平面ABD所成角的余弦值为，即，∴△PAC为等腰直角三角形，∴H与O重合，∵，菱形ABCD中，∴，.20．(1)(2)4【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义求出，即可得到抛物线T的方程；（2） 可设直线AB的方程为，设A（），B（）把直线淯抛物线联立，表示出，，得到面积的表达式，利用基本不等式求出△EHK面积的最小值.(1)抛物线定义，，∵，∴，∴抛物线T的方程为：(2)由题意可知，直线AB不与y轴垂直，所以设直线AB的方程为.设A（），B（）由∴，同理∴同理∴当且仅当时取等号，故△EHK面积的最小值为4.21．(1)答案见解析(2)【解析】【分析】（1）求导可得，再分和两种情况分析导函数的正负与原函数的单调性即可；（2）化简可得，再构造函数，求导后参变分离分析函数的最值求解即可(1)由题意得：f（x）定义域为（0，+∞），当时，，∴在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；当时，令，解得：∴当时，；当时，∴f（x）在（0，）上单调递增，在上单调递减；综上所述：当时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减.(2)不妨设，则由得即令，则h（x）在（0，+∞）上单调递增，∴在（0，+∞）上恒成立，即又，∴令，则令，解得：或（舍）∴当时，；当时，∴m（x）在上单调递增，在上单调递减，∴∴a的取值范围为【点睛】本题主要考查了求导分类讨论分析函数单调性的问题，同时也考查了根据同构函数构造不等式解决单调性的问题、参变分离求解参数范围的问题等，属于难题22．(1)和或；(2)2.【解析】【分析】（1）先化为直角坐标，在化为极坐标方程即可求出答案.（2）写出极坐标系下点与的坐标，再利用即可取出答案.(1)曲线的直角坐标方程为，则极坐标方程为：和或(2)设，则.23．(1)(2)【解析】【分析】（1）讨论不同取值范围对原绝对值不等式化简求解再取并集即可；（2）当时不等式恒成立，则；当时，先进行参变分离，再利用绝对值三角不等式求解即可.(1)因为，所以或或，解得或或，所以，即原不等式的解集为.(2)当时，不等式恒成立，此时；当时，不等式可转化为，因为，当且仅当，即时等号成立，所以.所以实数a的取值范围为.