2022泰安高三下学期三模数学试题含解析

高三三模检测

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则（    ）

A. (0，2] B. (0，2) C. (1，2) D. (1，2]

【答案】C

【解析】

【分析】化简集合，根据集合的交集运算的定义求.

【详解】不等式的解集为，

不等式的解集为，

故，，

所以，

故选：C.

2. 已知复数，i为虚数单位，则z的共轭复数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数的运算公式求复数的代数形式，再求其共轭复数即可.

【详解】，

所以z的共轭复数为，

故选：B.

3. 已知随机变量X服从正态分布，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用对称性可得结合条件可求，再由 求解.

【详解】因随机变量服从正态分布，

由对称性可知，，

又，

所以，

故.

故选：A.

4. 已知对数函数的图象经过点，，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由对数函数的图象过点，可求出的值，代入、、即可比较出三个数的大小关系.

【详解】对数函数图象经过点，则，

所以，，，，

因此，.

故选：D

5. 已知双曲线（，）的右焦点为F，点B为双曲线虚轴的上端点，A为双曲线的左顶点，若，则双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由已知求出的坐标，再由列方程求双曲线的离心率.

【详解】由已知双曲线的右焦点的坐标为，虚轴的上端点B的坐标为，

左顶点A的坐标为，所以，

又，所以，故，即，

所以，又，

所以双曲线的离心率，

故选：D.

6. 已知函数，则对任意实数，，“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】判断函数的奇偶性和单调性，结合函数的性质判断与的关系即可.

【详解】∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ 函数为奇函数，

又，

当时，函数单调递增，单调递减，

所以函数在上单调递增，又函数为奇函数，

所以函数在上单调递增，

由可得，所以，故，

由可得，所以，所以，

所以“”是“”的充要条件，

故选：C.

7. 已知数列满足：对任意的m，，都有，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由递推关系判断数列为等比数列，再由等比数列通项公式求.

【详解】因为对任意的m，，都有，

所以，，

又，

所以，所以，

所以数列是首项为，公比为的等比数列，

所以，

所以，

故选：C.

8. 如图，已知三棱柱的底面是等腰直角三角形，底面ABC，AC＝BC＝2，，点D在上底面（包括边界）上运动，则三棱锥D-ABC的外接球表面积的最大值为（    ）

A.  B. 24π C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由条件确定球心位置，引入变量表示球的半径，由此确定球的表面积及其最大值.

【详解】因为为等腰直角三角形，AC＝BC＝2，

所以外接圆的圆心为的中点， 且

连接与的中点，则，所以平面，

设球的球心为，由球的截面性质可得在上，

设，，半径为，

因为，所以，

所以，又

所以，

因为，所以，

所以三棱锥D-ABC的外接球表面积的最大值为，

故选：B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知a，，，且，则下列说法正确的为（    ）

A. ab的最小值为1 B.

C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】直接根据基本不等式判断各选项的对错即可.

【详解】因为，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，

又，所以，当且仅当时等号成立，故ab的最大值为1，A错，

，当且仅当时等号成立，B对，

，当且仅当时等号成立，C对，

，当且仅当，时等号成立，D错，

故选：BC.

10. 已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（    ）

A. 的最大值为 B. 的最小值为0

C. 的最大值为 D. 的最大值为

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据的几何意义，结合图形可求得的最值，由此判断A，B，根据的几何意义求其最值，判断C，再利用三角换元，结合正弦函数性质判断D.

【详解】由实数x，y满足方程可得点在圆上，作其图象如下，

因为表示点与坐标原点连线的斜率，

设过坐标原点的圆的切线方程为，则，解得：或，

，，，A，B正确；

表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为，

所以最大值为，又，

所以的最大值为，C错，

因为可化为，

故可设，，

所以，

所以当时，即时取最大值，最大值为，D对，

故选：ABD.

11. 已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A. 函数的最小正周期为π

B. 函数的对称轴方程为（）

C. 函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到

D. 方程在[0，10]内有7个根

【答案】ACD

【解析】

【分析】先对函数化简变形，再利用正弦函数的性质逐个分析判断即可

【详解】

，

对于A，函数的最小正周期为，所以A正确，

对于B，由，得，所以函数的对称轴方程为，所以B错误，

对于C，的图象向右平移，得，所以函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，所以C正确，

对于D，由，得或，得或，

由，得，

由，得，

所以方程在[0，10]内有7个根，所以D正确，

故选：ACD

12. 已知函数（）有两个不同的零点，，符号[x]表示不超过x的最大整数，如[0.5]＝0，[1.2]＝1，则下列结论正确的是（    ）

A. a的取值范围为

B. a的取值范围为

C.

D. 若，则a的取值范围为

【答案】BD

【解析】

【分析】利用导数研究函数的单调性，结合条件列不等式求a的取值范围，由此判断A，B，结合零点存在性定理判断C，D.

【详解】函数的定义域为，

，

当时，，函数在上单调递增，

函数在上至多只有一个零点，与条件矛盾，

当时，由可得或（舍去），

当时，，函数单调递增，

当，，函数单调递减，

因为函数有两个不同的零点，可得

所以，所以，

所以，B对，

不妨设，

因为，，所以，，

当时，，则，

当时，则

所以，当时，，

此时，，C错，

因为，

若则，，，

所以，，，

所以，

所以，

若，则，，，且

所以，，

所以，

所以，

又，所以，所以，故满足条件的不存在，

所以a的取值范围为，D对，

故选：BD.

【点睛】函数的零点问题的解决的关键在于分析函数的单调性，并结合零点存在性定理列关系式.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知，则________．

【答案】-2

【解析】

【分析】利用，，即可求出答案.

【详解】

故答案为：-2.

14. 已知函数，则________．

【答案】##

【解析】

【分析】根据分段函数解析式直接求值即可.

【详解】∵

∴ ，

故答案为：

15. 如图，在中，，，点P在线段CD上（P不与C，D点重合），若的面积为，，则实数m＝________，的最小值为________．

【答案】    ①. ##0.25    ②.

【解析】

【分析】用表示出与，利用两个向量共线可求出m,求出后利用基本不等式可求出最值.

【详解】因为,所以

而

因为与为非零共线向量,故存在实数使得

故 所以

的面积为，

所以

当且仅当时等号成立,故的最小值为;

故答案为：；.

16. 从抛物线的准线l上一点P引抛物线的两条切线PA，PB，且A，B为切点，若直线AB的倾斜角为，则P点的横坐标为________．

【答案】

【解析】

【分析】设，，，，，，由直线的倾斜角为，可得，利用导数分别求出过，的切线方程，可得，是方程的两个根，利用根与系数的关系可得，从而可得出答案．

【详解】解：抛物线的准线l：，

设，，，，，，

则，

又，，

，则，

由，得，，

切线的方程为，

切线的方程为，

即切线的方程为，即，

切线的方程为，即，

点，在切线、上，

，，

可知，是方程的两个根，

，得，

即P点的横坐标为.

故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若．

（1）求B；

（2）若D为AC的中点，且，求的面积．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由正弦定理化角为边，再由余弦定理即可求解；

（2）由题可得，则可求得，即可得出面积.

【小问1详解】

因为，

由正弦定理可得，即，

所以，又，．

【小问2详解】

由题知，AB＝4，BD＝2，，因为D为AC的中点，

所以，

所以，整理得，

所以a＝4，所以的面积为．

18. 已知数列的前n项和为，且满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）能否在数列中找到这样的三项，它们按原来的顺序构成等差数列？请说明理由．

【答案】（1）   

（2）不能；理由见解析

【解析】

【分析】(1)利用数列的通项与前项和的关系化简条件可得数列的递推关系，再证明数列为等比数列，并由等比数列通项公式求数列通项，(2)利用反证法结合等差数列的定义证明.

【小问1详解】

∵，

∴n＝1时，，

∴；

当时，，所以，

∴，即（）

∴数列是以2为首项，3为公比的等比数列，

∴．

【小问2详解】

若，有，，成等差数列，则

即，整理得，

又k，m，且

∴，，所以，与矛盾，

所以数列中找不到三项，它们按原来的顺序构成等差数列．

19. 如图，四边形ABCD为平行四边形，点E在AB上，AE＝2EB＝2，且DE⊥AB，沿DE将折起，使点A到达点F的位置，且．

（1）求证：平面BFC⊥平面BCDE；

（2）若直线DF与平面BCDE所成的角的正切值为，求平面DEF与平面DFC的夹角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】(1)利用线面垂直的判定定理证明BF⊥平面BCDE，再由面面垂直的判定定理证明平面BFC⊥平面BCDE；(2)由线面角的定义结合条件求出AD，建立空间直角坐标系利用向量方法求二面角的大小.

【小问1详解】

AE＝EF＝2，EB＝1，，

所以，

所以，所以BF⊥BE，

又因为DE⊥AB，所以DE⊥EF，DE⊥EB．

又，

所以DE⊥平面BEF，

因为平面BEF，所以BF⊥DE，

因为EB，平面BCDE，，

所以BF⊥平面BCDE，又平面BFC，

所以平面BFC⊥平面BCDE；

【小问2详解】

设AD＝a，则，

由（1）知BF⊥平面BCDE，所以∠FDB为直线DF与平面BCDE所成的角，

所以，

所以，解得，

以E为坐标原点，，的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A（-2，0，0），B（1，0，0），D（0，2，0），C（3，2，0），，

∴，，

设为平面DFC一个法向量，则，

即，令，则z＝2，所以，

由（1）知，平面DEF⊥平面BEF，过B引EF的垂线交EF于M，则BM⊥平面DEF，求得，则为平面DEF的一个法向量．

所以，

所以平面DEF与平面DFC的夹角的余弦值为．

20. 某商场为了促销规定顾客购买满500元商品即可抽奖，最多有3次抽奖机会．每次抽中，可依次获得10元，20元，30元奖金，若没有抽中，不可继续抽奖，顾客每次抽中后，可以选择带走所有奖金，结束抽奖；也可选择继续抽奖，若没有抽中，则连同前面所得奖金全部归零，结束抽奖．小明购买了500元商品并参与了抽奖活动，已知他每次抽中的概率依次为，，，选择继续抽奖的概率均为，且每次是否抽中互不影响．

（1）求小明第一次抽中，但所得奖金归零的概率；

（2）设小明所得奖金总数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．

【答案】（1）   

（2）分布列见解析；期望为

【解析】

【分析】(1)利用独立事件概率乘法公式和互斥事件加法公式求解；

(2)由条件确定随机变量X的可能取值，再求取各值的概率，根据期望公式求其期望.

【小问1详解】

记小明第i次抽中为事件，（i＝1，2，3），则有，，，并且，，两两相互独立，

记小明第i次抽中后选择继续抽奖为事件，则，

小明第一次抽中但奖金归零记为事件A，则A的概率为

．

【小问2详解】

小明所得奖金总数为随机变量X，则X＝0，10，30，60，

，

，

，

随机变量X的分布列为：

随机变量X的数学期望为．

21. 已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，四个顶点组成的菱形面积为，O为坐标原点．

（1）求椭圆E的方程；

（2）过上任意点P做的切线l与椭圆E交于点M，N，求证为定值．

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】(1)由条件列方程求出，由此可得椭圆标准方程；(2)先计算当直线的斜率不存在时的值，再利用设而不求法求出当直线的斜率存在时，结合直线与圆相切的条件证明为定值．

【小问1详解】

由题意得，，

可得，b＝2，

所以椭圆的标准方程为．

【小问2详解】

当切线l的斜率不存在时，其方程为，

当时，将代入椭圆方程得，

∴，，，

∴

当时，同理可得，

当切线l的斜率存在时，设l的方程为，，，

因为l与相切，所以，所以

由，得，

∴，

，∴  ，

∴ 或

∴

∴

综上，为定值．

【点睛】求定值问题常见的方法有两种：

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

22. 已知函数，．

（1）若函数是增函数，求实数a的取值范围；

（2）当a＝0时，设函数，证明：恒成立．

【答案】（1）；   

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）根据题意可知在上恒成立，进而进行分参得到，然后通过导数方法求出的最大值即可得到答案；

（2）分和进行讨论，然后通过导数方法并结合三角函数的有界性得到函数的单调区间，进而证明问题.

【小问1详解】

因为函数为增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立.

令（x＞0），则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴，∴．

【小问2详解】

当a＝0时，，.

当时，，

设，则，∴单调递增，∴，∴当时，恒成立．

当时，设，则，

∵，∴，，，∴，单调递增.

∴.

∴当时，，单调递增，∴，即当时，恒成立.

综上，恒成立．

【点睛】本题第（2）问较难，且方法比较巧妙，一般来讲，象涵盖指（对）数函数和三角函数的超越函数通常都要分段，并会利用到三角函数的有界性，平常注意对此种题型的归纳总结.