2021-2022学年上海市奉贤区华亭学校九年级（下）期中数学试卷-普通用卷

2021-2022学年上海市奉贤区华亭学校九年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共4小题，共16分）

1. 下列计算中，正确的是

A.  B.  C.  D.

2. 如果关于的方程有实数根，那么的取值范围是

A.  B.  C.  D.

3. 抛物线向左平移个单位后再向下平移个单位，新抛物线的顶点是

A.  B.  C.  D.

4. 下列方程中，有实数根的是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共32分）

5. 化简：______．
6. 函数：的定义域是______．
7. 不等式组的解集是______ ．
8. 某校为了解本校学生每周阅读课外书籍的时间，对本校全体学生进行了调查，并绘制如图所示的频率分布直方图，那么图中的值为______ ．

9. 如图，已知▱，是边的中点，联结并延长，与的延长线交于点设，用表示为______ ．

10. 某传送带与地面所成斜坡的坡度为，如果它把物体从地面送到离地面米高的地方，物体所经过的路程为米，则______．
11. 半径为的圆的内接正六边形的面积为______．
12. 已知等腰三角形中，，，以为圆心为半径长作，以为圆心为半径作，如果与内切，那么的面积等于______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共10分）

13. 解方程组：．

四、解答题（本大题共2小题，共42分）

14. 已知：如图，在▱中，点、分别在边、边的延长线上，四边形是菱形，菱形的对角线分别交、于点、，．
    求证：四边形为矩形；
    ．

15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交点和点，与轴相交于点，抛物线的顶点为点，对称轴交轴于点，点为线段上一点，联结．
    求这条抛物线的表达式及对称轴；
    当时，求的值；
    当时，判断四边形的形状；
    附加题当时，求的余切值；
    附加题当时，判断的形状．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、，无法计算，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项正确；
D、，故此选项错误；
故选：．
直接利用整式的混合运算以及合并同类项法则分别计算得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

2.【答案】

【解析】解：关于的方程有实数根，
，
，
，
故选：．
由关于的方程有实数根知，求出的取值范围即可．
本题主要考查根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：
当时，方程有两个不相等的两个实数根；
当时，方程有两个相等的两个实数根；
当时，方程无实数根．
 

3.【答案】

【解析】解：抛物线向左平移个单位后再向下平移个单位后，得，
顶点坐标为，
故选：．
根据平移规律，可得顶点式解析式．
本题考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
 

4.【答案】

【解析】解：由，
得，
而时，分数方程的分母，分式方程无意义，
此分式方程无实数根，
选项错误；
，
，
而，
无实数根，
选项错误；
由知，，
可得，
解得或，
或，
此方程的解为或，
故C选项正确；
，而，
无实数根，
选项错误．
故选：．
分别解各选项中的方程来判断出哪个选项中的方程是有实数根和无实数根，即可得出答案．
本题考查无理方程，解题的关键是明确方程的解答方法．
 

5.【答案】

【解析】解：
．
故答案为：．
要先判断出，再根据绝对值的定义即可求解．
此题主要考查了绝对值的性质．要注意负数的绝对值是它的相反数．
 

6.【答案】

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
根据二次根式的性质，被开方数大于等于，可知：，解得的范围．
本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
 

7.【答案】

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：，
故答案为：．
根据题意和直方图中的数据，可以计算出的值，本题得以解决．
本题考查频数分布直方图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

9.【答案】

【解析】解：在▱中，，则．
是边的中点，
是的中位线，
．
在四边形中，，，则．
，
．
故答案是：．
利用三角形中位线的性质得到，在中，利用三角形法则求得．
本题主要考查了平面向量，平行四边形的性质，解题的关键是运用三角形法则求得答案．
 

10.【答案】：

【解析】解：传送带把物体从地面送到离地面米高，物体所经过的路程为米，
水平距离为：，
传送带与地面所成斜坡的坡度为：：．
故答案为：：．
根据勾股定理先求出水平距离，再根据坡度的概念即可得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：设是正六边形的中心，是正六边形的一边，是边心距，
，，
则是正三角形，
，
，
正六边形的面积为，
故答案为：．
设是正六边形的中心，是正六边形的一边，是边心距，则是正三角形，的面积的六倍就是正六边形的面积．
本题考查的正多边形和圆，理解正六边形被半径分成六个全等的等边三角形是解答此题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：的半径为，的半径为，与内切，
，
过点作于，
则，
由勾股定理得，，
的面积，
故答案为：．
根据两圆内切的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是圆与圆的位置关系、等腰三角形的性质，掌握两圆内切是解题的关键．
 

13.【答案】解：由，得，
所以或．
由、组成新的方程组为：
，．
解这两个方程组，
得，．
所以原方程组的解为；，．

【解析】因式分解，得两个二元一次方程，这两个二元一次方程和联立组成新的方程组，求解即可．
本题考查了高次方程，掌握因式分解和二元一次方程组的解法是解决本题的关键．
 

14.【答案】证明：四边形是菱形，
，
，
，，
∽，
，
平行四边形是矩形；
四边形是矩形，
，
，
，
，，
∽，
，
，
．

【解析】通过证明∽，可得结论；
通过证明∽，可得结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，矩形的性质和判定，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
 

15.【答案】解：抛物线与轴相交点和点，
，
解得：，
抛物线的表达式为，
抛物线的对称轴为直线；
抛物线与轴相交于点，
，
，
对称轴交轴于点，
，
，
，，
∽，
；
四边形是平行四边形．
理由如下：，
，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形．
如图，延长交于点，连接、，
，
∽，，
，即，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
解得：，
，
，
；
是等腰三角形或直角三角形．理由如下：
设，则，连接交于点，
当点在下方时，如图，过点作于点，
，，
，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，即，
解得：，
，
，
，
点是的中点，
，
所在直线是线段的垂直平分线，
，
是等腰三角形，
当点在的上方时，如图，过点作轴于点，
则，
，
，
，
，，
，
，
，
，
点与点重合，
此时是直角三角形；
综上所述，是等腰三角形或直角三角形．

【解析】运用待定系数法即可求得答案；
先求出，可得，由抛物线对称轴是直线，可得，即，由∽，即可求得答案；
先证明≌，可得，根据平行四边形的判定定理即可得出答案；
如图，延长交于点，连接、，由，可得∽，，，推出，设，则，利用勾股定理可得，再运用三角函数定义即可求得答案；
设，则，连接交于点，分两种情况：当点在下方时，如图，过点作于点，可推出是等腰三角形，当点在的上方时，如图，过点作轴于点，可得出点与点重合，进而得出是直角三角形．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角函数定义等知识，题目难度较大，涉及知识点较多，正确添加辅助线，运用分类讨论思想和数形结合思想是解题关键．