2021湖北省部分重点高中高一下学期四月联考数学试题含答案

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全卷满分150分，考试用时120分钟
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设，则在复平面对应的点位于第 ( )象限
A．一B．二C．三D．四
2．在△ABC中，若acsC+ccsA=bsinB，则此三角形为（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
3．设表示直线，表示平面，若的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．《掷铁饼者》取材于古希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程 中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂及肩近似看成一张“弓”，掷铁饼者的肩宽约为米，一只手臂长约为米，“弓”所在圆的半径约为米，则掷铁饼者双手之间的直线距离约为（ ）
A．米B．米C．米D．米
5．如图，已知底面边长为的正四棱锥的侧棱长为，若截面的面积为，则正四棱锥的体积等于（ ）
A． B．C．D．
6．在中，点是的三等分点，过点的直线分别交直线，，的最小值为，则正数的值为（ ）
A．1B．2C．D．
7．如图，已知正方体的棱长为1，、分别是棱、的中点.若点P为侧面正方形内（含边界）动点，且，则点P的轨迹长度为（ ）
A．B．1 C． D．
8．已知函数，若关于的方程有8个不同根，则实数b的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
二、多选题（部分选对得2分，选错或者不选得0分，全对得5分，共20分。）
9．设为虚数单位，复数，则下列命题正确的是（ ）
A．若为纯虚数，则实数的值为2
B．若在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是
C．实数的充要条件
D.若，则实数的值为2
10．在三棱柱中，E、F、G分别为线段、、的中点，下列说法正确的是（ ）
A．平面B．直线
C．直线与平面相交D．直线异面
11．在中，角的对边分别为,若，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
12．直角梯形,是边长为2的正三角形，是平面上的动点，，，则的值可以为（ ）
A. 0 B.1 C.2 D.3
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知点同向单位向量为，则向量在方向上的投影向量为__________.
设定义在上的偶函数在区间上单调递减，若，则实数的取值范围是________．
15．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式（其中、、、为三角形的三边和面积）表示.在中，、、分别为角、、所对的边，若，且，则面积的最大值为___________
16.如图，在中，分别取
、、边的中点，将分别沿三条中位线折起，使得重合于点则三棱锥的外接球体积的最小值为____________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分，其中第17题10分，其余每题12分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
17．已知一个圆锥的底面半径为2，母线长为4.
（1）求圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角;
（2）若圆锥中内接一个高为的圆柱.求圆柱的表面积.
18.已知向量.
（1）求向量夹角的正切值；
（2）若，求λ的值.
19．在锐角中，角的对边分别为，.
（1）求角的大小和边长的值；
（2）求周长的取值范围．
如图，在三棱柱中，侧棱，
，是中点，是
中点，是的交点，点在线段上.
（1）求证：；
（2）求点的距离.
从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币.如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”.某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字.设，五个正方形的面积和为.
（1）求面积关于的函数表达式，并求的范围；
（2）求面积最小值，并求出此时的值.
22．已知.
（1）当；
（2）若关于的方程的解集中恰有两个元素，求的取值范围；
（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的和不大于，求的取值范围.