2021湖北省重点高中高二下学期期末联考数学试题含答案

这是一份2021湖北省重点高中高二下学期期末联考数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了若函数的定义域为，下列各函数中，值域为，若α为第三象限角，则，若函数f，已知函数f，若集合A，B满足等内容，欢迎下载使用。

湖北省重点高中2022届高二（下）期末联考
数 学 试 题


一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．下列与集合A＝{﹣1，2}相等的是（　　）
A．{（﹣1，2）} B．（﹣1，2）
C．{（x，y）|x＝﹣1，y＝2} D．{x|x2 ﹣x﹣2＝0}
2．若函数的定义域为（　　）
A． B．
C． D．
3．下列各函数中，值域为（0，+∞）的是（　　）
A． B．y＝2-2x-1
C．y＝ D．

4．若α为第三象限角，则（　　）
A．sinα﹣cosα＜0 B．tanα＜0
C．sin（+2α）＞0 D．cos（π﹣α）＞0
5．下列选项中，y可表示为x的函数是（　　）
A．3|y|﹣x2＝0 B．x＝y C．lny＝x2 D．y2=2x
6．已知Sn是数列{an}的前n项和，则“”是“数列{an}是公差为2的等差数列”的（　　）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．集合A＝{x|x＜﹣1或x≥1}，B＝{x|ax+2≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是（　　）
A．[-2, 2] B．[-2, 2)
C．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞） D．
8．若函数f（x）＝2x2+（x﹣a）|x﹣a|在区间[﹣3，0]上是单调函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，-9]∪{0}∪[3,+ ∞） B．（﹣∞，-3]∪{0}∪[9,+ ∞）
C．[﹣9，3] D．[﹣3，9]

二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分；漏选2分，错选0分。）
9．已知函数f（x）的导函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是（　　）
A．函数f（x）在x＝﹣1处取得极小值
B．x＝﹣2是函数f（x）的极值点
C．f（x）在区间（﹣2，3）上单调递减
D．f（x）的图象在x＝0处的切线斜率大于零
10．若集合A，B满足：∃x∈A，x∉B，则下列关系可能成立的是（　　）
A．AB B．A∩B≠∅ C．BA D．A∩B＝∅
11．先将曲线上每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向下平移个单位，得到g（x）的图象，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．g（x）在[0，π]上的值域为
C．g（x）的图象关于点对称
D．g（x）的图象可由的图象向右平移等个单位长度得到
12．函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝，则下列结论正确的是（　　）
A．当x＜0时，f（x）＝﹣
B．关于x的不等式f（x）+f（2x﹣1）＜0的解集为（﹣∞，）
C．关于x的方程f（x）＝x有三个实数解
D．∀x1，x2∈R，|f（x2）﹣f（x1）|＜2

三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．函数f（x）为定义在R上的奇函数，且满足f（x）＝f（2﹣x），若f（1）＝3，则f（1）+f（2）+…+f（2021）＝　 　．
14．请根据右矩形图表信息，补齐不等式： .
15.若函数f（x）＝﹣x3+ax2-4x在区间（0，2）只有一个极值点，则实数a的取值范围为　 　．
16. 法国著名的军事家拿破仑．波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．在三角形ABC中，角A＝60°，以AB、BC、AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O1、O2、O3，若三角形O1O2O3的面积为，则三角形ABC的周长最小值为　 　．
四、解答题（共6小题， 70分）
17．（10分）设全集为R，不等式的解集为A，不等式|x﹣4|＜6的解集为B．
（1）求A∪B；
（2）求∁R（A∩B）．









18．（12分）在①，②，③中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题．
已知，______，．
（1）求的值；
（2）求β．









19．（12分）已知函数f（x）＝x﹣ln（x-1）．
（Ⅰ）求定义域及单调区间； （Ⅱ）求的极值点.





20．（12分）已知函数．
（1）求曲线y＝f（x）过点（1，-3）处的切线方程；
（2）求f（x）在[﹣2，2]上的最大值和最小值．





21．如图所示，某市有一块正三角形状空地△ABC，其中测得BC＝10千米．当地政府计划将这块空地改造成旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△DEF，其中点D在AB边上，点E在BC边上，点F在AC边上，DF＝2DE，∠DEF＝90°，剩余部分需做绿化，设∠DEB＝θ．
（1）若，求DE的长；
（2）当θ变化时，△DEF的面积是否有最小值？若有则求出最小值，若无请说明理由．




22．（12分）已知函数f（x）＝ae﹣x+lnx﹣1（a∈R）．
（1）当a≤e时，讨论函数f（x）的单调性：
（2）若函数f（x）恰有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且x1+x2≤，求的最大值．
数学答案

一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：∵{x|x2-x-2＝0}＝{-1，2}，
∴与集合A＝{-1，2}相等的是{x|x2﹣x﹣2＝0}．故选：D．
【点评】本题考查相等集合的判断，考查集合相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．【解答】解：要使函数有意义，则2sinx﹣1≥0，即sinx≥，
即6kπ+≤x≤6kπ+，k∈Z，得6k+≤x≤6k+，k∈Z，
即函数的定义域为. 故选：B．
【点评】本题主要考查函数定义域的求解，根据函数成立的条件建立不等式是解决本题的关键，是基础题．
3．【解答】解：x2+2x+3＝（x+1）2+2≥2，∴y＝的值域是[1,+)，不满足条件．
∵1+2x>1，则函数的值域为(1,+)，不满足条件．
y＝2-2x-1＞0，即函数的值域为（0，+∞），满足条件．
∈（0，1）∪（1，+∞），不满足条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数值域的求解和判断，结合函数的性质求出函数的值域是解决本题的关键，是基础题．
4．【解答】解：因为α为第三象限角，
所以sinα<0，cosα＜0，tanα>0，故sinα﹣cosα符号不定，故选项A错误；tanα＞0，故选项B错误；
sin（+2α）＝cos2α＝sin2α﹣cos2α，故其符号不能确定，故选项C错误；
cos（π﹣α）＝﹣cosα，故选项D正确．故选：D．
【点评】本题考查了三角函数在各个象限符号的判定，二倍角公式以及诱导公式的运用，属于基础题．
5.【解答】解：对于A：令x＝0，没有y的值与之对应，故A错误，
对于B：令x＝4，y可以取±8，故B错误，
对于C：，y＝，是一一对应的关系，符合函数的定义，故C正确
对于D：，y2=2x不是函数故D错误，故选：C．
【点评】本题考查了函数的定义，考查一一对应的关系，是基础题．
6．【解答】解：①当时，则a1＝0，
当n≥2时，，
又∵a1＝0满足上式，∴an＝2n﹣2，所以数列{an}是公差为2的等差数列，
②当数列{an}是公差为2的等差数列时，
因为不知首项，所以数列{an}的前n项和Sn不确定，
∴是数列{an}是公差为2的等差数列的充分不必要条件，故选：C．
【点评】本题考查了等差数列的定义、通项公式及求和公式及其性质、简易逻辑的判定方法，属于基础题．
7．【解答】解：∵B⊆A，∴①当B＝∅时，即ax+2≤0无解，此时a＝0，满足题意．
②当B≠∅时，即ax+2≤0有解，当a＞0时，可得x≤，
要使B⊆A，则需要，解得0＜a＜2．
当a＜0时，可得x≥，要使B⊆A，则需要，解得 -2≤a＜0，
综上，实数a的取值范围是[-2,2）．故选：B．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，考查了分类讨论思想．属基础题．
8．【解答】解：f（x）＝．
（1）若a＝0，当x＜0时，f（x）＝x2在[﹣3，0]上单调递减，符合题意；
（2）若a＞0，在f（x）在（﹣∞，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增，
若f（x）在[﹣3，0]上是单调函数，- a≤-3，则a≥3；
（3）若a＜0，则f（x）在（﹣∞，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
若f（x）在[﹣3，0]上是单调函数，则，所以a ≤ - 9.
即综上，a的取值范围是（﹣∞，-9]∪{0}∪[3,+ ∞）．故选：A．
【点评】本题考查了分段函数的单调性，二次函数的性质，考查分类讨论思想，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
9．【解答】解：结合图像，x∈（﹣∞，﹣2）时，＞0，x∈（﹣2，+∞）时，＜0，
∴f（x）在（﹣∞，﹣2）递增，在（﹣2，+∞）递减，故x＝﹣2是函数的极大值点，
故选：BC．
【点评】本题考查了函数的单调性，极值点问题，考查数形结合思想，是基础题．
10．【解答】解：存在当A＝{1，2}；B＝{1，2，3}时，不满足∃x∈A，x∉B“，则A不正确，B正确．
若BA，则“∃x∈B，x∉A”成立，则C正确．
存在当A＝{1，2}；B＝{3，4}时满足条件“∃x∈A，x∉B“且有A∩B＝∅，则D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查集合间的基本关系，解题的关键是找具体的例子使得选项“可能成立”，属于简单题．
11．【解答】解：∵＝+sinxcosx＝+sin2x＝sin（2x﹣）+，
∴将曲线y上每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向下平移个单位，得到g（x）＝sin（x﹣）．
则g（）＝sin（−）＝1，故A正确；
由x∈[0，π]，得x﹣∈[﹣，]，可得sin（x﹣）∈[，1]，故B不正确；
由g（）＝0，可得g（x）的图象关于点（，0）对称，故C正确；
对于D，由y＝cosx+＝sin（x+）+的图象向右平移个单位长度，
得到y＝sin（x+−）+＝sin（x−）+的图象，故D不正确．故选：AC．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查y＝Asin（ωx+φ）型函数的图象与性质，是中档题．
12．【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，选项A错误；
当x＞0时，，当x＝0时，f（0）＝0，
结合函数的解析式绘制函数图像如图所示，
函数为奇函数，不等式f（x）+f（2x﹣1）＜0即f（x）＜f（1﹣2x），
很明显函数在R上单调递增，故不等式等价于x＜1﹣2x，解得，选项B正确；
当x≥0时，f（x）＝x即，解得x＝0或x＝2，即方程在区间（0，+∞）上有一个实数根，
由对称性可知函数在（﹣∞，0）上也有一个实数根，选项C正确；
由函数的解析式和函数图像可知函数的值域为（﹣1，1），故∀x1，x2∈R，|f（x2）﹣f（x1）|＜2，选项D正确．故选：BCD．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性，函数的对称性，数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，属于中等题．
三、填空题（共4小题）
13．【解答】解：∵函数f（x）为定义在R上的奇函数，且满足f（x）＝f（2﹣x），
∴f（x）＝f（2﹣x）＝﹣f（x﹣2），
即f（x+2）＝﹣f（x），则f（x+4）＝f（x），
则函数f（x）的周期为4，
∵f（1）＝3，∴f（0）＝0，f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣3，f（4）＝f（0）＝0，
则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝3+0﹣3+0＝0，
则f（1）+f（2）+…+f（2021）＝f（1）+505[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]＝3+0＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查函数值的计算，结合条件求出函数的周期，利用函数的周期和奇偶性进行转化是解决本题的关键．难度不大．
14．【解答】解：由勾股定理知，AB＝＝，
AC＝，BC＝，
如图中的△ABC，根据三角形的两边之和大于第三边，知AB≤AC+BC，当且仅当A，B，C三点共线时，等号成立，
∴
故答案为：
【点评】本题考查利用不等式表示不等关系，考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
15． 【解答】解：f（x）＝﹣x3+ax2-4x，则＝﹣3x2+2ax-4，
若f（x）在区间（0，2）上只有一个极值点，则=0在（0，2）只有一个异号零点，
所以只有一解，又因为
故答案为：[4，+∞）．
【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是中档题．
16. 【解答】解：由题意知△O1O2O3为等边三角形，设边长为m，
则＝m2sin60°＝m2＝，解得|O1O2|＝m＝2，
设BC＝a，AC＝b，AB＝c，如图所示：在△O1AB中，∠O1AB＝∠O1BA＝30°，由∠BAC＝60°，可知∠O1AO3＝120°，
在等腰△BO1A中，由＝，解得O1A＝，同理O3A＝，
在△O1AO3中，由余弦定理，得O1O32＝O1A2+O3A2﹣2O1A•O3A•cos120°，
即4＝+﹣2••（﹣），即b2+c2+bc＝12，
在△ABC中，由余弦定理知，a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+c2﹣bc，∴a＝，
又∵（b+c）2＝b2+c2+2bc＝12+bc，∴b+c＝，
∴△ABC的周长为a+b+c＝+，
又∵b2+c2≥2bc，∴b2+c2+bc＝12≥3bc，∴0＜bc≤4．
令f（x）＝+（0＜x≤4），则f′（x）＝﹣+＜0，
∴f（x）在（0，4]上单调递减，∴当x＝4时取得最小值为f（4）＝6，
∴a+b+c≥6，即△ABC的周长最小值为6．故答案为：6．
【点评】本题考查了解三角形的应用问题，利用构造函数求最值和利用导数研究函数的单调性，考查了函数思想，属于难题．

四、解答题（共6小题）
17．【解答】解：（1）由题意可知，⇒（x+3）（x﹣7）≤0且x﹣7≠0，
解得﹣3≤x＜7，则A＝{x|﹣3≤x＜7}， （2分）
|x﹣4|＜6，解得﹣2＜x＜10，则B＝{x|﹣2＜x＜10}，（4分）故A∪B＝{x|﹣3≤x＜10}； （6分）
（2）根据题意，A＝{x|﹣3≤x＜7}，B＝{x|﹣2＜x＜10}，则A∩B＝{x|﹣2＜x＜7}， （8分）
故∁R（A∩B）＝{x|x≤﹣2或x≥7}．(x﹣7≠0没考虑的扣2分，不重复扣分） （10分）
【点评】本题考查不等式的解法，涉及集合交并补的计算，属于基础题．
18．【解答】解：（1）∵，∴sinα＞0，cosα＞0， （2分）
若选①tanα＝4，由sin2α+cos2α=1得sinα＝，cosα＝． （4分）
若选②，则14sinαcosα＝8cosα，∵cosα≠0，∴sinα＝，（2分）
则cosα＝． （4分）
若选③，则tanα＝＝＝＝＝4， （2分）
则由sin2α+cos2α=1得 （3分）
则sinα＝，cosα＝．综上sinα＝，cosα＝． （4分）
＝ （6分）
（2）∵，∴＜﹣β＜0，∴0＜α﹣β＜， （8分）
∵，∴sin（α﹣β）＝， （10分）
∴sinβ＝sin[α﹣（α﹣β）]＝sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）
＝×﹣×＝＝，（11分）∴β＝． （12分）
【点评】本题主要考查三角函数值的计算，结合两角和差的三角公式进行转化是解决本题的关键，是基础题．
19．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（1，+∞）， （1分）
f（x）＝x﹣ln（x-1）．＝， （2分）
令＞0，解得：x＞2，令＜0，解得：1＜x＜2， （4分）
故f（x）的递减区间是（1，2），递增区间是（2，+∞）， （6分）


【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．
20．【解答】解：（1）由得，＝3x2﹣4， （1分）
设切点，则 （2分）
切线方程：
切线过点（1，-3） （4分）
为所求 （6分）
（2）令f′（x）＞0可得x＞或x＜﹣，令f′（x）＜0可得﹣＜x＜，
∴函数f（x）在[﹣2，﹣]上单调递减增 ，[﹣,] 上单调递减，在[﹣，2]
上单调递减增. （8分）
， （10分）
（12分）

【点评】本题考查利用导数求曲线的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查运算求解能力，属于基础题．
21．【解答】解：（1）设DE＝x千米，当θ＝时，△BDE为等边三角形，所以BE＝DE＝x，
由∠DEF＝90°，DF＝2DE＝2x，得EF＝x， （2分）
△CEF中，∠CEF＝30°，∠C＝60°，所以∠CFE＝90°，所以EC＝＝＝2x，（3分）
所以DE+EC＝BE+EC＝3x＝BC＝10，解得x＝， 所以DE＝千米；（5分）
（2）△BDE中，∠DEB＝θ，由正弦定理得＝，
解得BE＝； （7分）
△CEF中，∠CEF＝90°﹣θ，由正弦定理得＝，
解得EC＝； （8分）
由BE+EC＝BC，得+＝10，
即x[sin（120°﹣θ）+sin（30°+θ）]＝5，
解得x＝＝； （10分）
由S△DEF＝x•x＝x2， （11分）
因为x>0,所以当x取得最小值xmin＝时，
△DEF的面积取得最小值为S△DEFmin＝×＝． （12分）
22．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），＝， （1分）
当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增； （2分）
当0＜a≤e时，令f′（x）＝0，则ex﹣ax＝0，设g（x）＝ex﹣ax，则g′（x）＝ex﹣a，
易知，当0＜x＜lna时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x＞lna时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
∴g（x）≥g（lna）＝elna﹣alna＝a（1﹣lna）≥0，
∴f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增； （4分）
综上，当a≤e时，f（x）在（0，+∞）上单调递增； （5分）
（2）依题意，f'（x1）＝f'（x2）＝0，则， （6分）
两式相除得，，设， （7分）
则t＞1，x2＝tx1，， ∴，
∴， （8分）
设， （9分）
则，设，则，
∴φ（t）在（1，+∞）单调递增， （10分）
则φ（t）＞φ（1）＝0，
∴h′（t）＞0，则h（t）在（1，+∞）单调递增， （11分）
又x1+x2≤，且 h（t）≤，
∴t∈（1，2e]，即的最大值为2e ．