湖北省部分重点中学2020-2021学年高一下学期5月联考数学试题+Word版含答案

机密★启用前

湖北省重点中学高一年级五月联考

数学试卷

本试卷共4页，22题．全卷满分150分，考试用时120分钟．

★祝考试顺利★

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域无效．

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效．

4．考试结束后，请将答题卡上交．

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知向量满足，则（    ）

A．4      B．3      C．2      D．0

2．设复数（其中i为虚数单位），则z的共轭复数的虚部为（    ）

A．2      B．      C．      D．

3．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角梯形，其中．则原平面图形的面积为（    ）

A．      B．      C．      D．

4．在一次分层随机抽样中，可分两层进行抽样，通过计算，已知第一层抽取m个数，其平均数为a，第二层抽取n个数其平均数为b，则抽取的总样本的平均数为（    ）

A．      B．      C．      D．

5．在空间中，已知l，m，n为不同的直线，为不同的平面，则下列判断正确的是（    ）

A．若，则                  B．若且，则

C．若，则      D．若，则

6．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．现有同高的圆锥和棱锥满足祖暅原理的条件，若棱锥的体积为，圆锥的侧面展开图是半圆，则圆锥的母线长为（    ）

A．      B．1      C．      D．

7．在正三棱柱中，，点D为棱的中点，点E为上的点，且满足，当二面角的正切值为时，实数m的值为（    ）

A．      B．1      C．2      D．3

8．在平面四边形中，，若面积依次为，则的最大值为（    ）

A．      B．      C．      D．

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．复数z满足，则下列结论正确的是（    ）

A．z在复平面内对应的点位于第四象限      B．

C．                            D．

10．去年5月25日工信部部长在“两会部长通道”表示，中国每周大概增加1万多个5G基站，4月份增加5G用户700多万人，5G通信将成为社会发展的关键动力，图是某机构对我国未来十年5G用户规模的发展预测图，阅读图

关于下列说法，其中正确的是（    ）

A．2022年我国5G用户规模年增长率最高

B．2025年我国5G用户数规模最大

C．从2020年到2026年，我国的5G用户规模增长两年后，其年增长率逐年下降

D．这十年我国的5G用户数规模，后5年的平均数大于前5年的平均数

11．的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则有两解

C．若，则为钝角三角形

D．若，则面积的最大值为

12．平面过棱长为1的正方体的顶点A，且平面平面，平面，则下列正确的是（    ）

A．直线m与所成的角为              B．直线n与垂直

C．平面到平面的距离为       D．直线与平面所成角的正弦值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．向量，则__________．

14．某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成5组：，得到如图所示的频率直方图，如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成绩的第70百分位数约为________秒．

15．某中学校园内的香樟树已有较长的历史．如图，小明为了测量香樟树高度，他在正西方向选取与香樟树根部C在同一水平面的A，B两点，在A点测得香樟树根部C在西偏北的方向上，步行40米到B处，测得树根部C在西偏北的方向上，树梢D的仰角为，则香樟树的高度为__________米．

16．截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体．如图所示，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为_______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知是同一平面内的三个向量，其中

（1）若，且与方向相反，求的坐标；

（2）若且与垂直，求与的夹角．

18．（12分）如图，在中，，，点D在边上，，E为垂足．

（1）若的面积为，求的长；

（2）若，求角A的大小．

19．（12分）如图，已知平面，平面平面，

（1）求证：；

（2）若，求二面角的余弦值．

20．（12分）2021年活力钟祥健康跑在市体育中心举行，现对岁的人群随机抽取n人进行了一次运动习惯是否符合运动达人的调查，若运动习惯符合运动达人的称为“运动达人”，否则称为“非运动达人”，得到如下各年龄段人数的频率分布直方图和运动达人统计表：

（1）补全频率分布直方图并求n、a、p的值；

（2）从年龄段在的“运动达人”中采用分层抽样法抽取6人参加户外运动达人体验活动，其中每组各选多少人？

21．（12分）如图，四棱锥中，底面为矩形，点E在线段上，平面．

（1）求证：；

（2）若是等边三角形，，平面平面，四棱锥的体积为，求点E到平面的距离．

22．（12分）如图，直线l为经过市中心O的一条道路，B、C是位于道路l上的两个批发市场，在市中心O正西方向的道路较远处分布着村庄，为方便村民生活，市政府决定从村庄附近的点A处修建两条道路、，l与的夹角为．且．

（1）若批发市场B离市中心O的距离为，离点A的距离为，则另外一个批发市场C到A的距离为多少？

（2）为缓解交通压力，市中心周围内不得修建批发市场，若点A与市中心O相距，铺设时测量出道路，的夹角为，则铺设两条道路的总长为多少？

湖北省重点中学高一年级五月联考

数学参考答案

一、单选题

1-8  BCAD  BDCA

二、多选题

9．BD  10．ACD  11．ABC  12．ACD

三、填空题

13．  14．16.5  15．  16．

四、解答题

17．（1）设，由和

可得或

因为与方向相反，所以．             5分

（2）因为，所以可得

所以，又因为，所以．            10分

18．（1）由已知得，又，，∴，．在中，由余弦定理，得

．∴．      6分

（2）∵，在中，由正弦定理，得，

又，得，解得，又

所以．             12分

19．（1）证明：如图，过点A作，垂足为E

∵平面平面，平面平面

∴平面，又∵平面

∴又∵平面平面

∴又∵∴平面∴      6分

（2）解：由（1）中可得，平面，过A作，垂足为F，连接

∴，，则平面，

∴则为二面角的平面角，设为，            9分

：平面∴，

由（1）可得平面，则

在中：，得

在中：，得；

在中，得，

在中，，则

∴二面角的余弦值为            12分

20．（1）第二组的频率为，

所以高为．频率分布直方图如下：

第一组的人数为，频率为，所以．            4分

由题可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为，

所以．             6分

第四组的频率为，所以第四组的人数为，

所以．            8分

（2）因为岁年龄段的“运动达人”与岁年龄段的“运动达人”的比值为2∶1，所以采用分层抽样法抽取6人，岁中有4人，岁中有2人．            12分

21．（1）连结、，交于点M，连结，

∵底面为矩形，∴M是中点，

∵平面，∴，∴在中，为的中位线，

又M为中点，∴E为中点  ∴．             5分

（2）设点E到平面的距离为h，，则，

过P作，垂足为F，则

由于平面平面，又∵平面平面平面

∴则平面

∵四棱锥的体积为，∴，解得．      8分

由（1）可得，且平面，则平面

∴点M到平面的距离等于点E到平面的距离，即为h，

由可得

由可得

，则．             12分

22．解：（1），，，，

在中，由余弦定理可得，

即，解得；             2分

在中．      5分

（2）由可得，设，则

在中，，由正弦定理可得：．

同理在中，，∴，

∴，化为：，或（或）．             7分

当时，即时，

在中，．舍去．             8分

当时，即时

在中，，符合

由正弦定理可得：．得．       10分

在中，，得

则．       12分