2022年广东省广州第四中学教育集团中考一模数学卷及答案（文字版）

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2022年广东省广州四中教育集团中考数学一模试卷
一、选择题（每小题3分，共18分，答案填在答题卡上）
1. 如图所示的四个图案是四国冬季奥林匹克运动会会徽图案上的一部分图形，其中为轴对称图形的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【详解】解：根据轴对称图形的概念，A、B、C都不是轴对称图形，D是轴对称图形．
故选D．
【点睛】本题主要考查轴对称图形，轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形
2. 北京2022年冬奥会一共有超过1.9万名赛会志愿者，还有20余万人次的城市志愿者，他们是温暖这个冬天的雪花，他们把自己的志愿化成一道冬日的光，凝聚成温暖世界的力量．将20万用科学记数法表示应为（　　）
A. 20×104 B. 2×104 C. 2×105 D. 0.2×106
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】20万=200000，故20万用科学计数法可表示为：．
故选C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 下面四个几何体中，主视图与其它几何体的主视图不同的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】找到从正面看所得到的图形比较即可．
【详解】解：A、主视图为长方形；
B、主视图为长方形；
C、主视图为两个相邻的三角形；
D、主视图为长方形；
故选C．
【点晴】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4. 下列运算正确的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据等式的基本性质，二次根式的乘法运算，积的乘方和幂的乘方，负整数指数幂的意义逐项判断即可得出答案．
【详解】不能化简，故A错误，不符合题意；
当a、b都为负数时，不成立，故B错误，不符合题意；
，故C错误，不符合题意；
，故D正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查等式的基本性质，二次根式的乘法运算，积的乘方和幂的乘方，负整数指数幂，属于基础题型，较易．
5. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，AD平分∠BAC，E为AC中点，连接DE，则DE＝（　　）


A. 3 B. 4 C. 5 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰三角形的三线合一得到∠ADC=90°，根据直角三角形的性质计算即可．
【详解】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，点E为AC中点，
∴DE=AC=5，
故选：C．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
6. 若一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，则（　　）
A. ﹣2a﹣b B. 2a﹣b C. ﹣b D. ﹣2a+b
【答案】C
【解析】
【分析】由一次函数图象经过的象限，即可判定a<0，b>0，从而可判定b-a>0，再化简二次根式即可．
【详解】∵一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，
∴a<0，b>0，
∴b-a>0，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，化简二次根式．根据一次函数图象经过的象限，判断出a、b的符号是解题关键．
7. 下列命题中，真命题的是（　　）
A. 已知直线a、b，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
B. 若ac＝bc，则a＝b
C. 若一元二次方程kx2+4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k＞﹣4
D. 在抛物线y＝（x+1）2﹣2中，若1≤x≤3，则函数y有最小值是2
【答案】D
【解析】
【分析】根据在平面内，垂直于同一条直线的两条线平行，即可判断A；根据等式的基本性质，即可判断B；根据一元二次方程的定义和其根的判别式，即可判断C；根据二次函数的性质，即可判断D．
【详解】已知直线a、b，若a⊥b，b⊥c，则，故A为假命题，不符合题意；
当c=0时，则ac＝bc，此时a不一定等于b，故B为假命题，不符合题意；
若一元二次方程有两个不相等的实数根，则，
解得：，
又∵是一元二次方程，
∴，
故C为假命题，不符合题意；
∵抛物线中，a=1>0，对称轴为，
∴抛物线开口向上．
∴当时，y随x的增大而增大，
∴此时，故D为真命题，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查平行线的判定，等式的性质，一元二次方程的定义和其根的判别式，二次函数的性质．熟练掌握各知识点是解题关键．
8. 如图，已知圆锥的母线与高的夹角为30°，则圆锥侧面展开扇形的圆心角度数为（　　）


A. 90° B. 120° C. 180° D. 210°
【答案】C
【解析】
【分析】设底面圆的半径为，则母线长为，再根据底面圆的周长等于圆锥侧面展开图扇形的弧长，再利用弧长公式即可求出圆心角的度数．
【详解】设底面圆的半径为，
圆锥的母线与高的夹角为
圆锥的母线长为
底面圆的周长等于圆锥侧面展开图扇形的弧长


故选：
【点睛】本题考查知识点为：弧长圆锥底面周长及弧长与圆心角的关系．解题的关键是熟知圆锥与扇形的相关元素的对应关系．
9. 若点A（﹣1，a）、B（2，b）、C（3，c）在反比例函数y的图象上，则a、b、c的大小关系是（　　）
A. a＜b＜c B. b＜a＜c C. a＜c＜b D. c＜a＜b
【答案】C
【解析】
【分析】根据反比例函数的增减性求解即可．
【详解】解：反比例函数y中，
图象在一、三象限，根据反比例函数增减性可知，在每一象限内，随的增大而减小，
，
A（﹣1，a）在第三象限，B（2，b）、C（3，c）在第一象限，
根据反比例函数的图象与性质可知，第三象限图象上点的纵坐标都为负数得，第一象限图象上B（2，b）、C（3，c）利用随的增大而减小得，
综上所述：，
故选：C．
【点睛】本题考查利用反比例函数增减性比较大小，解决问题的关键是根据解析式中的非负性确定反比例函数的增减性并根据不同象限中点的特征比较大小．
10. 正方形ABCD的边长为4，P 为BC上的动点，连接PA，作PQ⊥PA，PQ交CD于Q，连接AQ ，则AQ的最小值是（ ）

A. 5 B. C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】设BP=x，CQ=y，根据△ABP∽△PCQ可得y关于x的二次函数，利用二次函数的性质，求得y的最大值情况，则QD最小，则AQ最小．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵PQ⊥AP，
∴∠APB+∠QPC＝90°，
∠APB+∠BAP＝90°，
∴∠BAP＝∠QPC，
∴△ABP∽△PCQ，
∴，
设BP=x，CQ=y
即，
∴y＝﹣+x＝﹣+1(0＜x＜4)，
∵﹣＜0，
∴y有最大值，
∴当x＝2时，y有最大值1cm．此时QD=3
在Rt△AQP中，
故AQ的最小值是5
故选：A．
【点睛】本题考查最值问题，是利用二次函数求最值的方式解决的，常见求最值方法有3种：利用对称求最值；利用三角形三边关系求最值；利用二次函数性质求最值．
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分，注意答案写在答卷上）
11. 2022年北京冬奥会的单板U形技巧资格赛中，计分规则是：去掉一个最高成绩和一个最低成绩后，计算平均分，这个平均分就是选手最终得分．谷爱凌滑完后，六名裁判打分如下：
成绩
94
96
97
次数
2
3
1
根据评分规则，谷爱凌的最终得分是 _____分．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意去掉一个最高成绩和一个最低成绩后，用4名裁判的成绩计算平均分即可
【详解】解：去掉一个94和97分，则最终得分为
故答案为：
【点睛】本题考查了求平均数，掌握求平均数的方法是解题的关键．
12. 在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，∠ABC＝120°，BD＝4，则菱形ABCD的面积是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】由菱形的性质可知BD平分，，即可求出．再根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求出，最后根据菱形的面积公式计算即可．
【详解】∵四边形ABCD为菱形
∴BD平分，，BD=2BO=4
∴，BO=2
∴∠BAO=30°
∴AB=2BO=4
∴由勾股定理得：
∴
∴

故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理．掌握求菱形的面积公式是解题关键．
13. 若式子有意义，则实数x的取值范围是 _____．
【答案】x≤1且x≠-2
【解析】
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解：由题意得，1−x≥0且|x|-2≠0，
解得x≤1且x≠-2．
故答案为：x≤1且x≠-2．
【点睛】本题考查了代数式有意义：分母不为0；二次根式的被开方数是非负数，解题的关键是明确什么情况下代数式有意义．
14. 如图，将一个三角板放在⊙O上，使三角板的一直角边经过圆心O，测得AC＝8cm，AB＝4cm，则⊙O的半径长为 _____cm．

【答案】5
【解析】
【分析】连接OB，设⊙O的半径长为r，则，．在中，利用勾股定理即可列出关于r的等式，解出r即可．
【详解】如图，连接OB，

设⊙O的半径长为r，
则，．
∵在中，，
∴，
解得：．
∴⊙O的半径长为5cm．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查勾股定理．连接常用的辅助线是解题关键．
15. 已知抛物线y＝x2﹣2mx+3m与x轴的一个交点为（2，0），并且该抛物线与x轴的两个交点横坐标的值恰好是等腰△ABC的两条边，则△ABC的周长为 _____．
【答案】14
【解析】
【分析】先求出抛物线解析式，再求出抛物线与轴另外的交点，然后在分类讨论等腰三角形的腰和底，即可求解
【详解】抛物线与轴交于点（，）


抛物线的解析式为：

解得：，
抛物线与轴另外的交点坐标为（，）
抛物线与轴的两个交点横坐标的值恰好是等腰的两条边
当为的腰，为的底时，，该情况不成立；
当为的腰，为的底时，的周长为
故答案为：
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式及抛物线与坐标轴点的坐标，等腰三角形的性质及三角形三边关系的应用，解题关键是分类讨论等腰三角形的底和腰，避免漏解．
16. 如图，P为⊙O直径AB上一点，∠BAD+∠ABC＝90°，过点P作PM⊥BC于M，PN⊥AD于N，若BC＝8，AD＝6，则最小值为 _____．

【答案】
【解析】
【分析】如图，连接，，证明，勾股定理求的长，证明，则，解得；同理，则，解得，可得，求出最小值，进而可求的最小值．
【详解】解：如图，连接，

∵是直径
∴
∵，
∴
在和中
∵
∴
∴，
在中，由勾股定理得
∵
∴
又∵
∴
∴，即
解得
同理
∴，即
解得
∵



∴当时，的值最小，为
∴的最小值为
故答案为：．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为90°，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于表示出．
三、解答题（本题有9个小题，共72分，注意答案写在答卷上）
17. 解不等式组：，并在数轴上表示解集．
【答案】，在数轴上表示不等式组的解集见详解
【解析】
【分析】根据不等式的性质，解不等式组，求出解集，并在数轴上表示解集即可．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：．
不等式组解集在数轴上表示为

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式组的解集，准确解不等式是解题的关键．
18. 如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AF⊥BE于G，连接BE，AF．求证：BE＝AF．


【答案】证明见解析
【解析】
【分析】由AF⊥BE，即得出．再根据正方形的性质可知，，从而可推出，即易证，得出结论．
【详解】∵AF⊥BE，
∴．
∵四边形ABCD为正方形，
∴，，
∴，
∴．
即在和中，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质．掌握三角形全等的判定条件“ASA”是解题关键．
19. 2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》．“双减”政策实施后，某校迅速行动，推行课后托管，其中初一（12）班50名学生报名参加了课后托管，班上学生所报服务项目如下：
托管项目
人数
频率
基础类
m
0.32
科技类
12
n
运动类
8
0.16
艺术类
10
0.2
影视类
4
0.08
合计
50
1

（1）求m、n的值；
（2）若将各自选项目的人数所占比例绘制成扇形统计图，求“艺术类”对应扇形的圆心角的度数；
（3）在选报“影视类”的学生中，有2名男生，2名女生．为了了解课后托管效果，从这4名学生中随机抽取两名学生进行座谈，求所抽取的两名学生中至少有一名男生的概率．
【答案】（1）16，0.24
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）用总人数乘基础类项目的频率即得出m的值，用科技类项目的人数除总人数即得出n的值；
（2）用艺术类项目的频率乘，即得出答案；
（3）根据题意可列出表格得出所有可能的情况，找出其中所要求的概率的情况，再根据概率公式计算即可．
小问1详解】
，．
故答案为：16，0.24；
【小问2详解】
．
答：“艺术类”对应扇形的圆心角的度数为；
小问3详解】
根据题意可列表，如下：

男1
男2
女1
女2
男1

男2，男1
女1，男1
女2，男1
男2
男1，男2

女1，男2
女2，男2
女1
男1，女1
男2，女1

女2，女1
女2
男1，女2
男2，女2
女1，女2

根据表格可知共有12种可能的情况，其中所抽取的两名学生中至少有一名男生的情况有10种，
∴所抽取的两名学生中至少有一名男生的概率为．
【点睛】本题考查频数分布表，求扇形统计图中某项的圆心角，用列表法或树状图法求概率．根据频数分布表得出必要的信息和数据是解题关键．（3）中，正确的列出表格或画出树状图是解题关键．
20. 如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于A，点E为⊙O上一点，AD＝DE，连接DE并延长，交AB延长线于C．


（1）求证：CD与⊙O相切；
（2）若AC＝6，∠C＝30°，求线段EC的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质可得，，进而得到，根据切线的判定即可得出结论；
（2）设的半径为，则，根据含角的直角三角形的性质得到，解方程即可求出，在中，根据勾股定理即可求出长．
【小问1详解】
如图：连接


，
，




是的半径
与相切
【小问2详解】
设的半径为，则
与相切




解得：

在中,

【点睛】本题考查了切线的性质和判定，勾股定理，含角的直角三角形的性质，解题关键是熟练掌握切线的判定方法，借助勾股定理和含角的直角三角形的性质构造方程求出的半径．
21. 在某官方旗舰店购买3个冰墩墩和6个雪融融毛绒玩具需1194元；购买1个冰墩墩和5个雪融融毛绒玩具需698元．
（1）求冰墩墩、雪融融毛绒玩具单价各是多少元？
（2）某单位准备用不超过3000元的资金在该官方旗舰店购进冰墩墩、雪融融两种毛绒玩具共20个，问最多可以购进冰墩墩毛绒玩具多少个？
【答案】（1）冰墩墩的单价为元；雪融融的单价为
（2）个
【解析】
【分析】（1）设购买个冰墩墩需元，购买个雪融融需元，结合题意列出二元一次方程组即可求解；
（2）设购买冰墩墩个，则购买雪融融个，结合总价不超过元，即可列出关于的一元一次不等式，解之即可求出的取值范围，再取其中最大的整数值即可得出答案．
【小问1详解】
设购买个冰墩墩需元，购买个雪融融需元
由题意可得：
解得：
答：购买个冰墩墩需元，购买个雪融融需元
【小问2详解】
设购买冰墩墩个，则购买雪融融个
由题意可得：
解得：
为正整数
的最大值为
答：最多购买冰墩墩个
【点睛】本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题关键是（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组（2）根据不等关系，正确列出一元一次不等式．
22. 已知：P（a-2b）．
（1）化简P；
（2）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，BE＝a，ABb，若△ABE的周长为，求P的值．


【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）原式括号中先通分利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可化简
（2）根据角平分线的性质，平行四边形的性质可证为等腰三角形，即可得到，代入（1）中即可求解
【小问1详解】





【小问2详解】
四边形为平行四边形


平分



，，的周长为
的周长


【点睛】本题考查了分式的化简，平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，解题关键是准确的对分式进行化简，运用整体代入得思想进行求值．
23. 如图，直线yx+m（m＞0）与x轴交于A，与y轴交于B，AC平分∠BAO．


（1）尺规作图：过点C作CD⊥AC交AB于D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：ADBD+AO；
（3）若m＝4，点E、F分别为AC、AO上的动点，求OE+EF的最小值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）

【解析】
【分析】（1）延长AC，以C为圆心，任意长为半径画弧，与直线AC交于两点，再分别以这两个点为圆心，以大于这两点间距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，连接这个点与点C，与AB交于一点，即为D点，则CD即为所求；
（2）根据角平分线的性质得出，证明，利用一次函数图象的性质，结合三角函数，得出∠BAO=60°，通过已知条件得出∠DCG=30°，利用含30°角的直角三角形的性质，得出，再证明CD=BD，即可得出结论；
（3）作OH⊥AC于点M，并延长交AB于点H，过点H作HF⊥OA于点F，交AC于点E，证明AM垂直平分OH，从而说明HF的长为OE+EF的最小值，说明为等边三角形，利用等边三角形的性质即可求出HF的长，即可得出OE+EF的最小值．
【小问1详解】
如图所示：CD即所求；

【小问2详解】
过点C作CG⊥AB于点G，如图所示：

∴，
∵平分∠BAO，
，
∵，
，
，
∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴，，
，
，
∴，
∴，
，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
；
【小问3详解】
作OH⊥AC于点M，并延长交AB于点H，如图所示：


∵平分∠BAO，OH⊥AC，
，，
，
，
，，
∴AM垂直平分OH，
，
过点H作HF⊥OA于点F，交AC于点E，此时OE+EF的值最小，
，，，，
，为等边三角形，
，，
∵HF⊥OA，
∴，
∴OE+EF的最小值为．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，一次函数图象的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
24. 已知等边△ABC边长为6，D为边AB上一点，E为直线AC上一点，连接DE，将DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF．

（1）如图1，若∠AED＝90°，过点F作FG⊥AC于点G，求的值；
（2）若AD＝x，AF的最小值为y，
①若x＝4，求y的值；
②直接写出y与x的关系式．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）设AD=2a，解直角三角形ADE，表示AE和DE，可得四边形DEGF是正方形，解直角三角形AGF，表示出AF，即可得出结果；
（2）①作DG⊥AB，截取DG=AD，作直线GF交AC于M，交直线AB于H，可以证明，从而得出，得出点F的运动轨迹，然后解直角三角形DGH，再解直角三角形AHM，即可得出结果；
②由①得，点F的运动轨迹，然后解直角三角形DGH，再解直角三角形AHM，进而得出y与x的函数关系式．
【小问1详解】
设AD=2a，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
∴四边形DEGF是矩形，
，
∴矩形DEFG是正方形，
∴，
，
在Rt△AFG中，由勾股定理得，


，
；
【小问2详解】
①作DG⊥AB，截取DG=AD，作直线GF交AC于M，交直线AB于H，如图所示：


∴，
∴，
即，
∵在和中，
，
，
∴点F在与DG成60°的直线MH上运动，
，，
，
，
∵，
∴，
∵在Rt△DHG中，，
∴，
，
∵在Rt△AMH中，，
，
∵当F点在M点时，AF最小，
∴x＝4时，y的值为；
②由①得，点F在与DG成60°的直线MH上运动，
，，，
∴，
在Rt△GDH中，，，
，
在Rt△AMH中，，
，
，．
【点睛】本题考查了等边三角形是性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．
25. 已知抛物线ykx2（k﹣2）x+2与y轴交于点A，与x轴交于B、C（点B在点C的左边）．

（1）直接写出点B的坐标；
（2）当k＝1时（如图），求：
①在直线AC上方的抛物线上一点M，求点M到直线AC的最大距离及此时点M的坐标；
②将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，若线段O′A′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．
【答案】（1）
（2）①最大距离，此时；②m的取值范围为或
【解析】
【分析】（1）将解析式变形可得二次函数过定点结合函数图象即可求得点的坐标，
（2）①过点作轴，交于点，过点作，垂足为点，设，则，继而求得，求得直线的解析式，设，则，根据二次函数的性质求得当时，的最大值为,进而求得取得最大值以及点的坐标；
②根据题意可知，，求得，，根据当线段O′A′与抛物线只有一个公共点，分别求得当在抛物线上时，的值，进而结合函数图像即可判断的取值范围．
【小问1详解】
解：∵抛物线ykx2（k﹣2）x+2与y轴交于点A，与x轴交于B、C（点B在点C的左边）
∴
令，解得
当时，，当时，
抛物线过定点和

【小问2详解】
当时，抛物线解析式为
令，则
解得

①如图，过点作轴，交于点，过点作，垂足为点，

设






设过的直线解析式为
则
解得
直线的解析式为
设，则

的最大值为，此时，取得最大值

当时，
此时
②如图，


，将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，
，，且总在的右侧，
，
，
当点在抛物线上时，此时
解得
当点在抛物线上时，此时
解得
结合函数图像可得，当线段O′A′与抛物线只有一个公共点时，
m的取值范围为或
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数求最值，解直角三角形，旋转的性质，根据点在二次函数图象上求参数，数形结合是解题的关键．