2022年初中九年级中考几何基本模型：脚拉脚模型图及结论（无答案）

这是一份2022年初中九年级中考几何基本模型：脚拉脚模型图及结论（无答案），共18页。PPT课件主要包含了构造共顶点手拉手，中位线法，①如图所示等内容，欢迎下载使用。

脚拉脚模型图及结论：一般三角形
条件：如图等腰△ABC、等腰△DEF，∠A+∠D=180°,连接BE,F为BE的中点，连接AF、DF.结论：AF⊥DF，2∠DAF=∠BAC.
证明：倍长中线+两次全等
证明思路：①证明8字形平行全等△AFB≅△GFE（倍长中线）;②找旋转全等三角形的条件：若两个等腰三角形顶角互补，则底角互余.③证明旋转形全等，得到等腰三角形;④利用三线合一证垂直.
本题的难点在于∠ACD=∠GED.也可以利用对角互补的四边形相关知识进行证明.
证明∶如图②，延长AF至点G，使AF=FG.可证：△AFB≅△GFE .∴AC=GE.∵∠ACD=360°-(∠ACB+∠DCE+∠BCE),∠ACB+∠DCE=90°.∴∠ACD=360°-90°-∠BCE=270°-∠BCE.∵∠DEG=∠DEB+∠BEG.∠DEB=∠DEC+∠BEC,∴∠DEG=∠DEC+∠BEC+∠BEG.∵AB∥EG.(知二求一：全等+中点=平行)
∴∠BEG=∠ABE=∠ABC+∠CBE.∴∠DEG=∠DEC+∠BEC+∠ABC+∠CBE.∴∠DEG=90°+∠BEC+∠CBE.∵∠BEC+∠CBE=180°-∠BCE.∴∠DEG=90°+180°-∠BCE=270°-∠BCE.如图③，连接AD、DG.可知：△DCA≅△DEG.∴DA=DG.∵AF=FG.∴DF⊥AG.
如图，延长AF至G，使得AF=FG.可证∶△AFB≅△GFE∵AB//EG延长EG、AC，交于点H.∴AB//EG.
∴∠BAC=∠CHG.∵∠BAC+∠CDE=180°∴∠CHG+∠CDE=180°∴∠DEG+∠DCH=180°∴∠DEG=∠DCA.∴△ACD≅△GED.
∴AD=DG.又∵F为AG的中点∴AF⊥DF.
补充：本题也可以利用对角互补导角
如图，延长BA至M，使AM=AB则△ACM为等腰三角形同理：构造等腰△CDN∴ 易知：△BCM∽△ECN∴ BN⊥ME
连接ME,BN易知：△BCN∽△MCE∴ ∠CME=∠NBC∴ △MRO∽△BRC∴ ∠MOR=∠RCB=90°
又∵AF为△BCM的中位线∴ AF//ME∴ ∠OPF=90°同理可知：∠OQF=90°∴四边形PFQO为矩形∴AF⊥DF
取BC中点G,CE中点H,由此易知：△BGF≌△FHE △AGF∽△FHD∠1=∠4,∠2=∠3∴ ∠AFD=∠GFH-(∠2+∠4)=180°-∠CGF-(∠2+∠4)
∠AGF=180°-（∠1+∠2）∴∠CGF=90°-（∠1+∠2）=90°-(∠2+∠4)∠AFD=180°-90°+(∠2+∠4)-(∠2+∠4)=90°∴AF⊥DF
条件：等腰Rt△ABC、等腰Rt△CDE，∠A=∠D=90°,连接BE,F为BE的中点，连接AF、DF.结论：AF⊥DF,AF=DF.
证明方式同上.小结：脚拉脚模型的结论比较简单，但是注意，证明过程的辅助线作法，以及一些几何的转化方式，比结论本身更加重要。
例1:已知：在Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM．如果将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么BM和DM有什么关系？
证明：延长DM至点F，使得DM=DF,连接FC,BF∴△ADB≌△CFB（SAS）∴∠DEM=∠FCM ,DM=FM∴DE//CF
如图，延长AD,CF，使它们相交于点G∵DE//CF∴∠AGC=90°又∵∠ABC=90°
∴∠BAC=∠BCG∴易知：△ABD≌△CBF(SAS)∴BD=BF，且∠DBF=90°∴△DBF为等腰直角三角形又∵M为DF中点∴BM⊥DM,且BM=DM
注意：这里哪些点连哪些点很重要，前面的证明中都有给出，千万不能连错。以及辅助线的做法，向哪里作辅助线，要搞清楚方向，以免出错.
例2：已知正方形ABCD和正方形CGEF，且D点在CF边上，M为AE中点，连接MD、MF．（1）如图1，请直接给出线段MD、MF的数量及位置关系是__________．（2）如图2，把正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使得B,C,E共线，则（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请给出你的结论并证明．
(1) 解析：如图，延长DM交EF于点P则易知：△ADM≌△EPM∴DM=PM=FM又∵PE=AD=DC,EF=FC∴FP=EF-PEFD=FC-DC∴FP=FD∴△DFP为等腰直角三角形∴MF⊥MD
(2) 解析：如图，延长DM，与CE相交于点N易知：△ADM ≌△ENM∴AD=DC=NE∴△DCF与△NEF中，DC=NE,∠DCF=∠NEF,CF=EF∴△DCF≌△NEF∴DF=FN∴MF=MD,且MF⊥MD
例3：如图，∠BAC=60°,∠CDE=120°,AB=AC,DC=DE，连接BE，P为BE的中点．(1)如图1，若A、C、D三点共线，求∠PAC的度数；(2)如图2，若A、C、D三点不共线，求证：AP⊥DP；
(1)解析：如图，延长AP至点F，使得AP=PF易知：△ABP≌△FEP∴∠BAP=∠EFP∴EF//AB∵ AB=AC=EF,CD=DE∴ AC+CD=EF+DE∴ AD=FD∴ △ADF为等腰三角形∴ ∠PAC=∠PFD=30°
(2)解析：如图，延长AP至点F，使得AP=PF∴由（1）易知：△ABP≌△FEP，AB//EF，AC=EF如图，延长AC，交EF于点G∵ AB//EF∴∠BAC=∠CGE=60°∵∠CGE+∠CDE=180°∴∠DEF+∠GCD=180°∴∠DEF=∠ACD∴△ACD与△DEF中AC=EF,∠DEF=∠ACD,CD=DE∴△ACD≌△DEF∴AD=DF∴ △ADF为等腰三角形∵P为AF中点∴AP⊥DP
例4：如图，△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，在四边形BDEC中，DB＝DE，∠BDE＝2α，M为CE的中点，连接AM、DM① 在图中画出△DEM关于点M成中心对称的图形② 求证：AM⊥DM③ 当α＝_______，AM＝DM
② 解析：由① 可知，△DME≌△GMC∴DE//CG,DE=DB=CG如图，延长GC，DB交于点H则，∵DE//CG∴∠BDE+∠BHC=180°又∵∠BDE+∠BAC=180°∴∠BHC=∠BAC∴∠ABH=∠ACH∴∠ABD=∠ACG
∴△ABD与△ACG中AB=AC,∠ABD=∠ACG,BD=CG∴△ABD≌△ACG∴AD=AG又∵M为DG的中点∴AM⊥DM
③ 由② 知：AM⊥DM要使AM=DM则∠ADM=45°即可即当α=45°时即可