2022年广东省东莞市东城实验中学中考数学一模试卷（含解析）

2022年广东省东莞市东城实验中学中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列实数中，最大的数是

A.  B.  C.  D.

2. 年上半年广东各市已经出炉，深圳以亿的总量继续保持榜首位置．亿可以用科学记数法表示为

A.  B.
C.  D.

3. 如图所示的圆锥的主视图是

A.
B.
C.
D.

4. 九班名同学一周课外阅读时间统计如表所示，那么该班名同学一周课外阅读时间的众数、中位数分别是

A. ， B. ， C. ， D. ，

5. 如图，在六边形中，若，则

A.
B.
C.
D.

6. 若，则的值为

A.  B.  C.  D.

7. 将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后所得到的抛物线为

A.  B.
C.  D.

8. 已知关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是

A.  B.  C. 且 D. 且

9. 如图，四边形内接于，已知，，且，若点为的中点，连接，则的大小是

A.
B.
C.
D.

10. 观察规律，，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点、、作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点则的值为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共7小题，共28分）

11. ______．
12. 若一个角的余角是，那么这个角的度数是______．
13. 在中，，，，那么 ______ ．
14. 圆锥的母线长为，底面圆的周长为，则该圆锥的侧面积为______ ．
15. 以，为两根的一元二次方程的一般式是______．
16. 若，则的值是______．
17. 在正方形中，点、点分别是，形的中点，，有下列结论：
    ≌；；；；其中正确的结论是______填写序号
     

三、解答题（本大题共8小题，共62分）

18. 先化简再求值：，其中．
19. 如图，是的角平分线，、分别是和的高．
    求证：垂直平分；
    若，，求的面积．

20. 学校团委组织名学生周末到社区参加志愿者活动，名学生为一组．已知这名学生名来自七年级，名来自八年级，名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求九年级的名学生恰好分在同一个组的概率．
21. 在疫情期间，某单位准备为一线防疫人员购买口罩，已知购买一个口罩比购买一个普通口罩多用元．若用元购买口罩和用元购买普通口罩，则购买口罩的个数是购买普通口罩个数的一半．
    求购买一个口罩、一个普通口罩各需要多少元？
    若该单位准备一次性购买两种口罩共个，要求购买的总费用不超过元，则该单位最多购买口罩多少个？
22. 如图，正方形中，点、分别在边、上，且．
    如图，当绕点逆时针旋转时，请判断线段与线段的位置、数量关系，并说明理由；
    当绕点逆时针旋转时，当，时，求的正弦值．

23. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．
    求点的坐标；
    点是线段上一点不与点、重合，若，求点的坐标．
    
    
     

24. 如图，将矩形纸片沿直线折叠，顶点恰好与边上的动点重合点不与点，重合，折痕为，点，分别在边，上，连接，，，与相交于点．
    求证：∽；
    在图中，作出经过，，三点的要求保留作图痕迹，不写作法；
    随着点在上运动，当中的恰好与，同时相切，如图，若，求的长．
    在的条件下，点是上的动点，则的最小值为______．

25. 如图，已知直线：与抛物线相交于点、点，点在轴上，且对于任意实数，不等式恒成立．
    求该抛物线及直线的解析式；
    点为该抛物线上的一点，过点作轴于点，过点作轴于点，当以点、、为顶点的三角形与相似，直接写出满足条件的全部点的横坐标，并选取其中两种情况写出解答过程；
    试问，在抛物线上是否存在点，使得的面积等于的面积的倍？如果存在，请直接写出点的坐标，如果不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，，，
，
即最大的数是，
故选：．
先求出，，，再根据实数的大小比较法则比较大小，再得出选项即可．
本题考查了算术平方根和实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：圆锥的主视图是等腰三角形，如图所示：

故选：．
主视图是从正面看所得到的图形即可，可根据圆锥的特点作答．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．
 

4.【答案】

【解析】解：数据出现的次数最多，所以众数是；
个数据从小到大排列后，排在第位的是，故中位数是．
故选：．
根据众数、中位数的概念分别求得这组数据的众数、中位数．
本题考查了中位数、众数的概念．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
 

5.【答案】

【解析】解：，
又，
，
故选：．
由多边形的外角和等于，可知，再结合已知即可求解．
本题考查多边形的外角和，牢记多边形的外角和等于是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：，
，
，，
解得，，
所以．
故选：．
根据算术平方根、偶次方的非负性确定和的值，然后代入计算即可．
本题考查偶次方的非负性，有理数的减法运算，算术平方根，掌握有理数的减法运算法则减去一个数，等于加上这个数的相反数是解题关键．
 

7.【答案】

【解析】解：抛物线形平移不改变解析式的二次项系数，平移后顶点坐标为，
平移后抛物线解析式为．
故选：．
原抛物线的顶点坐标为，根据平移规律得平移后抛物线顶点坐标为，根据抛物线的顶点式求解析式．
本题考查了抛物线的平移与抛物线解析式的联系．关键是把抛物线的平移转化为顶点的平移，利用顶点式求解析式．
 

8.【答案】

【解析】解：由题意知，，，
解得：，
则的取值范围是．
故选：．
根据方程无实数根，得出且，求出的取值范围，即可得出答案．
此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．一元二次方程的二次项系数不为．
 

9.【答案】

【解析】解：如图，连接，

由题意可得：，，
，
，
，
，
点为的中点，
．
故选：．
连接，先根据圆内接四边形的性质求出，，再利用求出，进而求出，最后利用点为的中点得到．
本题主要考查圆的有关性质，涉及到圆心角、弧、弦的关系，圆内接四边形的性质，三角形内角和等，解题关键是熟练掌握圆的有关性质．
 

10.【答案】

【解析】解：由题意得：在上，在直线上，
，，
；
同理：，，
；
，，
；
，
．





．
故选：．
利用解析式求得，，，，，进而求得线段，，，将所求结果代入算式，利用题干中的方法解答即可．
本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数图象上点的坐标的特征，数字变化的规律，利用题干中的规律解答是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：，
故答案为：．
根据幂的乘方与积的乘方运算法则，进行计算即可解答．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：这个角的的度数是．
故答案为：．
根据余角：如果两个角的和等于直角，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角进行计算即可．
此题主要考查了余角，解题的关键是明确两个角互余，和为．
 

13.【答案】

【解析】解：，
，
，
，
．
故答案为：．
根据，得出，再根据，求出，最后根据勾股定理即可求出．
本题考查了解直角三角形，用到的知识点锐角三角函数、勾股定理，关键是根据题意求出．
 

14.【答案】

【解析】解：该圆锥的侧面积．
故答案为．
由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，所以根据扇形的面积公式可直接计算该圆锥的侧面积．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

15.【答案】答案不唯一

【解析】解：，，
方程为：．
故答案为：答案不唯一．
根据根与系数的关系：两根之和，两根之积，首先写出两根之和，再写出两根之积，可直接得到方程．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两根分别为，，则，．
 

16.【答案】

【解析】解：当时，
，
故答案为：．
把所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查分式的加减，解答的关键是把已知条件看作一个整体，把所求的式子整理成含已知条件的形式．
 

17.【答案】

【解析】解：四边形是正方形，
，
．
又，，
≌．
故正确，符合题意．
如图，过点作交于点，

点是中点，
．
由可知≌，
，
，
．
，
．
．
故正确，符合题意．
设，则，，
根据勾股定理可得，，
则，
，
故错误，不符合题意．
，
，
．
故错误，不符合题意．
故答案为：．
根据正方形的性质证明正确，
结合的结论表示三角形的面积可证明正确，
由勾股定理分别表示出、、长，即可判断错误，
由三角形面积可以判断错误．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积，勾股定理等，解题的关键是掌握三角形全等的判定和性质以及正方形的性质．
 

18.【答案】解：原式


，
当时，
原式
．

【解析】先通分算括号内的，将除化为乘，分子、分母分解因式约分，化简后再将的值代入计算．
本题考查分式化简求值，解题的关键式掌握分式的基本性质，将所求式子化简．
 

19.【答案】证明：是的角平分线，、分别是和的高，
，
在与中，
，
≌，
，
，
垂直平分；
解：，，，
．

【解析】由角平分线的性质得，再由≌，得，从而证明结论；
由，代入计算即可．
本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：把名来自七年级的学生记为，名来自八年级的学生记为，名来自九年级的学生分别记为、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中九年级的名学生恰好分在同一个组的结果有种，
九年级的名学生恰好分在同一个组的概率为．

【解析】画树状图，共有种等可能的结果，其中九年级的名学生恰好分在同一个组的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：设购买一个口罩需要元，
根据题意得：，
解得  ，
经检验是原方程的解，
元，
答：购买一个口罩需要元，购买一个普通口罩需要元．
设该单位购买口罩个，
根据题意得，，
解得，
为整数，
的最大整数值为，
答：该单位最多购买口罩个．

【解析】设购买一个口罩需要元，根据购买口罩的个数是购买普通口罩个数的一半列出关于的方程，解之即可得出答案；
设该单位购买口罩个，根据购买的总费用不超过元列出关于的不等式，解之可得答案．
本题主要考查分式方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系与不等关系，并据此列出方程和不等式．
 

22.【答案】解：，，理由如下：
延长交于，交于，如图：

四边形是正方形，
，，
绕点逆时针旋转，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
；
过作于，如图：

，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在中，
，
，
由知，，
．

【解析】延长交于，交于，用证明≌，可得，，再根据可证得；
过作于，由，可得是等腰直角三角形，从而，，即得，故．
本题考查正方形中的旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质，证明≌．
 

23.【答案】解：一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．
，
解得，，
，
；
如图，过点，分别作，垂直轴于点，，

，
，，
∽，
，
，
，
，
由得：，
，
点是线段上一点不与点、重合，
点的横坐标为，
将其代入直线得：，
．

【解析】联立方程组并解方程组可得答案；
过点，分别作，垂直轴于点，，利用∽，求得，从而解决问题．
本题是反比例函数综合题，主要考查了函数与方程的关系，相似三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
 

24.【答案】

【解析】证明：将矩形纸片沿直线折叠，顶点恰好与边上的动点重合，
，
四边形是矩形，
，
又，
∽；
解：作出经过，，三点的如下：

设与相切于，连接，过作于，如图：

，
在上，
与相切，
，
，
将矩形纸片沿直线折叠，顶点恰好与边上的动点重合，
，
，
≌，
，，
设，则，
，
，
与相切，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，即，
解得，
的长是；
解：过作于，连接交于，如图：

由知，，
，，
半径为，
为中点，，
是的中位线，
，，
，
在中，，
当为与交点时，最小，此时，
故答案为：．
证明与两组角对应相等即可；
作的中点，以为直径作圆即可；
设与相切于，连接，过作于，证明≌，得，，设，则，可表达出，又，可得，解得的长是；
过作于，连接交于，用勾股定理可求得，当为与交点时，最小，此时．
本题考查圆的综合应用，涉及翻折变换，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形和相似三角形．
 

25.【答案】解：由题意可知，抛物线，
不等式恒成立，
当时，，解得，
抛物线的解析为：．
当，则，解得即，
令，则，解得或；
，
将，代入，
，解得．
直线的解析式为：．
轴，
，
，．
设点的横坐标为，
则，，
，，
若与相似，则：：或：：，
：：或：：，
解得或或或．
综上，当以点、、为顶点的三角形与相似时，点的横坐标为或或或．

存在，理由如下：
如图，作点关于点的对称点，
，
的面积等于的面积的倍，

过点作的平行线，与抛物线的交点即为点，
，
直线的解析式为：，
令，解得或．
或
作直线关于直线的对称直线，则直线的解析式为：，
令，无解．
综上，使得的面积等于的面积的倍的点的坐标为或

【解析】将抛物线的解析式化简成顶点式，再利用不等式可得出，进而可得出抛物线的解析式，将，可得出的值，令，可求出点的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式；
由可得出：：，若与相似，则：：或：：；设点的横坐标为，则可表达和的长，进而可求出的值；
作点关于点的对称点，则，则的面积等于的面积的倍；过点作的平行线，与抛物线的交点即为点；作直线关于直线的对称直线，得出直线方程，联立即可得出点的坐标．
此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、平移、旋转、轴对称的特征等知识与方法，此题综合性较强，计算较为烦琐，属于考试压轴题．