【解析版】许昌市禹州市2022年八年级下期中数学试卷

河南省许昌市禹州市2022学年八年级下学期期中数学试卷

一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）

1．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（）

 A． 2 B．  C．  D． 

2．（3分）计算（5+﹣6）÷的值是（）

 A． ﹣2 B． 2 C． ﹣4 D． 4

3．（3分）已知x、y为实数，且+3（y﹣2）2=0，则x﹣y的值为（）

 A． 1 B． ﹣1 C． 3 D． ﹣3

4．（3分）判断下列几组数中，一定是勾股数的是（）

 A． 1，， B． 8，15，17 C． 7，14，15 D． ，，1

5．（3分）如图所示，点C表示的数是（）

 A．  B． 1.5 C．  D． 

6．（3分）在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可能是（）

 A． 1：2：3：4 B． 1：2：1：2 C． 2：2：1：1 D． 1：2：2：1

7．（3分）正方形具有而菱形不具有的性质是（）

 A． 对角线互相平行 B． 每一条对角线平分一组对角

 C． 对角线相等 D． 对边相等

8．（3分）如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点，若得到的四边形EFCH为矩形，则四边形ABCD一定满足（）

 A． AC⊥BD B． AD∥BC C． AC=BD D． AB=CD

二、填空题（每小题3分，共21分）

9．（3分）若=2﹣x，则x的取值范围是．

10．（3分）命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是．

11．（3分）一幢高层住宅楼发生火灾，消防车立即赶到，在距住宅楼9米的B处升起梯搭在火灾窗口（如图），已知云梯长15米，云梯底部距地面2米，发生火灾的住户窗口A离地面有米．

12．（3分）已知x+=2，则x﹣=．

13．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC=14，BD=8，AB=10，则△OAB的周长为．

14．（3分）如图，Rt△ABC中，斜边上的中线CF=8cm，则中位线DE=cm．

15．（3分）如图，延长正方形ABCD的边BC至E，使CE=AC，则∠AFC=．

三、解答题（共8小题，满分75分）

16．（8分）计算：

（1）÷+×+

（2）（+）（﹣）﹣（+1）2．

17．（9分）已知x=+，y=﹣，求代数式x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．

18．（9分）如图所示，一根旗杆被风刮倒，从离地面8米的A处断裂，旗杆顶落在地面距离底部C点15米的B处，则旗杆在断裂之前有多高？

19．（9分）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC=20，BC=15，DB=9，

（1）求DC、AB的长；

（2）求证：△ABC是直角三角形．

20．（9分）一艘轮船以30千米/时的速度离开港口，向东南方向航行，另一艘轮船同时离开港口，以40千米/时的速度航行，它们离开港口一个半小时后相距75千米，求第二艘穿的航行方向．

21．（10分）如图，已知菱形ABCD的边长为6cm，∠BAD=120°，对角线AC和BD相交于点O，求这个菱形的两条对角线和面积．

22．（10分）如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使BC，AD恰好落在AC上．设F，H分别是B，D落在AC上的两点，E，G分别是折痕CE，AG与AB，CD的交点．

（1）求证：四边形AECG是平行四边形；

（2）若AB=4cm，BC=3cm，求线段EF的长．

23．（11分）如图，点P为正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥E，PF⊥BC于F．

（1）求证：PA=EF；

（2）若正方形ABCD的边长为a，求四边形PFCE的周长．

河南省许昌市禹州市2022学年八年级下学期期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）

1．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（）

 A． 2 B．  C．  D． 

考点： 最简二次根式．

分析： 判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．

解答： 解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A正确；

B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B错误；

C、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C错误；

D、被开方数含分母，故D错误；

故选：A．

点评： 本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

2．（3分）计算（5+﹣6）÷的值是（）

 A． ﹣2 B． 2 C． ﹣4 D． 4

考点： 二次根式的混合运算．

专题： 计算题．

分析： 先把各二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算．

解答： 解：原式=÷

=4÷

=4．

故选D．

点评： 本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．

3．（3分）已知x、y为实数，且+3（y﹣2）2=0，则x﹣y的值为（）

 A． 1 B． ﹣1 C． 3 D． ﹣3

考点： 非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．

分析： 根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．

解答： 解：由题意得，x+1=0，y﹣2=0，

解得x=﹣1，y=2，

所以，x﹣y=﹣1﹣2=﹣3．

故选D．

点评： 本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．

4．（3分）判断下列几组数中，一定是勾股数的是（）

 A． 1，， B． 8，15，17 C． 7，14，15 D． ，，1

考点： 勾股数．

分析： 根据勾股数的定义进行分析，从而得到答案．

解答： 解：A、不是，因为和不是正整数；

B、是，因为82+152=172，且8、15、17是正整数；

C、不是，因为72+142≠152；

D、不是，因为与不是正整数．

故选B．

点评： 此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理和勾股数的定义，已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．

5．（3分）如图所示，点C表示的数是（）

 A．  B． 1.5 C．  D． 

考点： 实数与数轴．

分析： 此题根据勾股定理先求出OB的长，再求出OD的长即可得到答案．

解答： 解：由图可知：OB==，

OD==，

OC=，

故选C．

点评： 本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．

6．（3分）在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可能是（）

 A． 1：2：3：4 B． 1：2：1：2 C． 2：2：1：1 D． 1：2：2：1

考点： 平行四边形的性质．

分析： 由四边形ABCD是平行四边形，即可得∠A=∠C，∠B=∠D，继而求得答案．

解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A=∠C，∠B=∠D，

∴在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可能是：1：2：1：2．

故选B．

点评： 此题考查了平行四边形的性质．注意平行四边形的对角相等．

7．（3分）正方形具有而菱形不具有的性质是（）

 A． 对角线互相平行 B． 每一条对角线平分一组对角

 C． 对角线相等 D． 对边相等

考点： 正方形的性质；菱形的性质．

分析： 根据正方形的性质以及菱形的性质即可判断．

解答： 解：正方形和菱形都满足：四条边都相等，对角线平分一组对角，对角线垂直且互相平分；

菱形的对角线不一定相等，而正方形的对角线一定相等．

故选C

点评： 本题主要考查了正方形与菱形的性质，正确对图形的性质的理解记忆是解题的关键．

8．（3分）如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点，若得到的四边形EFCH为矩形，则四边形ABCD一定满足（）

 A． AC⊥BD B． AD∥BC C． AC=BD D． AB=CD

考点： 中点四边形．

分析： 此题要根据矩形的性质和三角形中位线定理求解；首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解．

解答： 解：∵点E、F分别为AB、BC的中点，

∴EF∥AC；同理可证FG∥BD，

∠BOC=∠EFG；

∵四边形EFGH为矩形，

∴∠EFG=90°，

∴∠BOC=90°，即AC⊥BD，

故选：A．

点评： 本题主要考查了矩形的性质和三角形中位线定理，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答．

二、填空题（每小题3分，共21分）

9．（3分）若=2﹣x，则x的取值范围是x≤2．

考点： 二次根式的性质与化简．

分析： 根据已知得出x﹣2≤0，求出不等式的解集即可．

解答： 解：∵=2﹣x，

∴x﹣2≤0，

x≤2

则x的取值范围是x≤2

故答案为：x≤2．

点评： 本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当a≤0时，=﹣a．

10．（3分）命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是两个角相等三角形是等腰三角形．

考点： 命题与定理．

分析： 先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．

解答： 解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，

所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”．

点评： 根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．

11．（3分）一幢高层住宅楼发生火灾，消防车立即赶到，在距住宅楼9米的B处升起梯搭在火灾窗口（如图），已知云梯长15米，云梯底部距地面2米，发生火灾的住户窗口A离地面有14米．

考点： 勾股定理的应用．

分析： 根据AB和AC的长度，构造直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边BC的长/

解答： 解：∵AC⊥BC，

∴∠ACB=90°；

根据勾股定理，得

AC===12，

∴AF=12+2=14（米）；

答：发生火灾的住户窗口距离地面14米；

故答案为：14．

点评： 本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．

12．（3分）已知x+=2，则x﹣=±2．

考点： 二次根式的化简求值．

专题： 计算题．

分析： 把x+=2两边平方得到（x+）2=8，再利用完全平方公式得到（x﹣）2=4，然后根据平方根的定义求解．

解答： 解：∵x+=2，

∴（x+）2=8，

∴（x﹣）2+4=8，

∴（x﹣）2=4，

∴x﹣=±2．

故答案为±2．

点评： 本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．

13．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC=14，BD=8，AB=10，则△OAB的周长为21．

考点： 平行四边形的性质．

专题： 压轴题．

分析： △OAB的周长=AO+BO+AB，只要求得AO和BO即可，根据平行四边形的对角线互相平分的性质求得答案．

解答： 解：在▱ABCD中，OA=OC=AC，OB=OD=BD，

∵AC=14，BD=8，

∴OA=7，OB=4，

∵AB=10，

∴△OAB的周长=7+4+10=21．

故答案为21．

点评： 本题重点考查了平行四边形的性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．

14．（3分）如图，Rt△ABC中，斜边上的中线CF=8cm，则中位线DE=8cm．

考点： 三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．

分析： 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB=2CF，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE=AB．

解答： 解：∵Rt△ABC中，斜边上的中线CF=8cm，

∴AB=2CF=2×8=16cm，

∴中位线DE=AB=×16=8cm．

故答案为：8．

点评： 本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质及三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．

15．（3分）如图，延长正方形ABCD的边BC至E，使CE=AC，则∠AFC=112.5°．

考点： 正方形的性质；等腰三角形的性质．

分析： 由于CE=AC，∠ACB=45°，可根据外角定理求得∠E的值，同样根据外角定理∠AFC=∠FCE+∠E，从而求得∠AFC．

解答： 解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ACB=45°，∠DCB=90°，

∵AC=CE，

∴∠E=∠CAF，

∵∠ACB是△ACE的外角，

∴∠E=∠ACB=22.5°，

∵∠AFC是△CFE的外角，

∴∠AFC=∠FCE+∠E=112.5°，

故答案为：112.5°．

点评： 本题主要考查了三角形外角定理以及正方形性质的综合运用，解答和正方形有关的题目，要充分利用正方形的对角线平分每一组对角，且解答时要注意45°角的特殊作用．

三、解答题（共8小题，满分75分）

16．（8分）计算：

（1）÷+×+

（2）（+）（﹣）﹣（+1）2．

考点： 二次根式的混合运算．

专题： 计算题．

分析： （1）先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可；

（2）利用平方差公式和完全平方公式进行计算．

解答： 解：（1）原式=++2

=4++2

=4+3；

（2）原式=10﹣7﹣（2+2+1）

=3﹣3﹣2

=﹣2．

点评： 本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．

17．（9分）已知x=+，y=﹣，求代数式x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．

考点： 二次根式的化简求值．

分析： 首先把x2+y2﹣xy﹣2x+2y化为x2﹣2xy+y2+xy﹣2x+2y=（x﹣y）2+xy﹣2（x﹣y），在代入数值计算即可．

解答： 解：∵x=+，y=﹣，

∴x2+y2﹣xy﹣2x+2y

=x2﹣2xy+y2+xy﹣2x+2y

=（x﹣y）2+xy﹣2（x﹣y）

=8+1﹣4

=9﹣4．

点评： 此题主要二次根式的化简求值，主要利用完全平方公式把整式整理，再进一步代入计算．

18．（9分）如图所示，一根旗杆被风刮倒，从离地面8米的A处断裂，旗杆顶落在地面距离底部C点15米的B处，则旗杆在断裂之前有多高？

考点： 勾股定理的应用．

分析： 根据勾股定理，计算树的折断部分是17米，则折断前树的高度是17+8=25米．

解答： 解：设AB=x，已知AC=8，BC=15，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC2+BC2=AB2，∴82+152=x2，

解得x=17．

AC+AB=8+17=25（米）．

所以旗杆在断裂之前有25米．

点评： 本题考查的是勾股定理的正确应用，找出可以运用勾股定理的直角三角形是关键．

19．（9分）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC=20，BC=15，DB=9，

（1）求DC、AB的长；

（2）求证：△ABC是直角三角形．

考点： 勾股定理；勾股定理的逆定理．

分析： （1）在Rt△BCD中利用勾股定理求得CD的长，然后在Rt△ADC中求得AD的长，根据AB=AD+DB即可求解；

（2）利用勾股定理的逆定理即可判断．

解答： 解：（1）∵在Rt△BCD中，BC=15，BD=9，

∴CD===12．

在Rt△ADC中，AC=20，CD=12，

∴AD===16．

∴AB=AD+DB=16+9=25．

（2）∵AB=25，AC=20，BC=15，

∴AB2=252=625，AC2+BC2=202+152=625，

∴AB2=AC2+BC2，

∴△ABC是直角三角形．

点评： 本题考查了勾股定理个勾股定理的逆定理，正确理解定理的内容是关键．

20．（9分）一艘轮船以30千米/时的速度离开港口，向东南方向航行，另一艘轮船同时离开港口，以40千米/时的速度航行，它们离开港口一个半小时后相距75千米，求第二艘穿的航行方向．

考点： 勾股定理的逆定理．

专题： 应用题．

分析： 根据路程=速度×时间分别求得OA、OB的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形OAB是直角三角形，从而求解．

解答： 解：如图，根据题意，得

OA=30×1.5=45（千米），OB=40×1.5=60（千米），AB=75千米．

∵452+602=752，

∴OA2+OB2=AB2，

∴∠AOB=90°，即第二艘船的航行方向与第一艘船的航行方向成90°，

∴第二艘船的航行方向为东北或西南方向．

点评： 此题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．根据条件得出第二艘船的航行方向与第一艘船的航行方向成90°是解题的关键．

21．（10分）如图，已知菱形ABCD的边长为6cm，∠BAD=120°，对角线AC和BD相交于点O，求这个菱形的两条对角线和面积．

考点： 菱形的性质．

分析： 利用已知条件易求AC的长，再由勾股定理可求出BO的长，进而可求对角线BD的长，利用菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得面积．

解答： 解：在菱形ABCD中，AB=AD=6，∠BAD=120°，

∴∠ABD=30°，

∵AC⊥BD，

∴AO=AB=3，AC=2AO=6（cm）．

在Rt△AOB中，BO==3．BD=2BO=6（cm）．

∴这个菱形的面积为×6×6=18（cm2）．

点评： 本题主要考查的是菱形的性质：菱形的四条边都相等；对角线互相垂直平分；每条对角线平分一组对角．

22．（10分）如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使BC，AD恰好落在AC上．设F，H分别是B，D落在AC上的两点，E，G分别是折痕CE，AG与AB，CD的交点．

（1）求证：四边形AECG是平行四边形；

（2）若AB=4cm，BC=3cm，求线段EF的长．

考点： 翻折变换（折叠问题）；解一元二次方程-公式法；勾股定理；平行四边形的判定；相似三角形的判定与性质．

专题： 几何综合题．

分析： （1）根据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，证明AG∥CE，AE∥CG即可；

（2）解法1：在Rt△AEF中，运用勾股定理可将EF的长求出；

解法2，通过△AEF∽△ACB，可将线段EF的长求出．

解答： （1）证明：在矩形ABCD中，

∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠BCA．

由题意，得∠GAH=∠DAC，∠ECF=∠BCA．

∴∠GAH=∠ECF，

∴AG∥CE．

又∵AE∥CG，

∴四边形AECG是平行四边形．

（2）解法1：在Rt△ABC中，

∵AB=4，BC=3，

∴AC=5．

∵CF=CB=3，

∴AF=2．

在Rt△AEF中，

设EF=x，则AE=4﹣x．

根据勾股定理，得AE2=AF2+EF2，

即（4﹣x）2=22+x2．

解得x=，即线段EF长为cm．

解法2：

∵∠AFE=∠B=90°，∠FAE=∠BAC，

∴△AEF∽△ACB，

∴．

∴，

解得，即线段EF长为cm．

点评： 本题考查图形的折叠变化，关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．

23．（11分）如图，点P为正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥E，PF⊥BC于F．

（1）求证：PA=EF；

（2）若正方形ABCD的边长为a，求四边形PFCE的周长．

考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质．

分析： （1）连接PC，证四边形PFCE是矩形，求出EF=PC，证△ABP≌△CBP，推出AP=PC即可；

（2）证△CBD是等腰直角三角形，求出BF、PF，求出周长即可．

解答： 解：（1）连接PC，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=CB，∠ABD=∠CBD=45°，∠C=90°，

在△ABP与△CBP中，

，

∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴PA=PC，

∵PE⊥CD，PF⊥BC，

∴∠PFC=90°，∠PEC=90°．

又∵∠C=90°，

∴四边形PFCE是矩形，

∴EF=PC，

∴PA=EF．

（2）由（1）知四边形PFCE是矩形，

∴PE=CF，PF=CE，

又∵∠CBD=45°，∠PFB=90°，

∴BF=PF，又BC=a，

∴矩形PFCE的周长为2（PF+FC）=2（BF+FC）=2BC=2a．

点评： 本题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的连接和掌握，能证出AP=PC是解此题的关键．