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2021-2022学年浙江省温州市高二（上）期末数学试卷（b卷）
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这是一份2021-2022学年浙江省温州市高二（上）期末数学试卷（b卷），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年浙江省温州市高二（上）期末数学试卷（B卷）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）直线x+y+2＝0的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．（5分）已知空间向量（2，﹣1，1），（﹣4，x，y），∥，则x﹣y＝（ ）
A．4 B．﹣4 C．0 D．2
3．（5分）下列曲线中，与双曲线有相同渐近线的是（ ）
A． B．x2﹣4y2＝1 C．4x2﹣y2＝1 D．
4．（5分）已知抛物线C：y＝x2，过点P（1，0）与抛物线C有且只有一个交点的直线有（ ）条
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（5分）圆O1：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝28与O2：x2+（y﹣4）2＝18的公共弦长为（ ）
A．2 B．2 C． D．
6．（5分）已知四面体ABCD，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
7．（5分）关于实数a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A．如果a+c＝2b，则成等差数列
B．如果a+c＝2b，则2a，2b，2c成等比数列
C．如果ac＝b2，则2a，2b，2c成等差数列
D．如果ac＝b2，则lna，lnb，lnc成等差数列
8．（5分）如图，某绿色蔬菜种植基地在A处，要把此处生产的蔬菜沿道路AA1或AA2运送到形状为四边形区域A1A2A3A4的农贸市场中去，现要求在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路AA1运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路AA2运送蔬菜较近，则该界线所在曲线为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
二、选择题：本题共四小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
（多选）9．（5分）在等差数列{an}中，a1＞0，a6a7＜0，Sn为{an}的前n项和，则下列式子一定成立的有（ ）
A．d＜0 B．a6＞0 C．a12＜0 D．S13＞0
（多选）10．（5分）在同一直角坐标系中，直线y＝ax+a2与圆（x+a）2+y2＝a2的位置可能的是（ ）
A． B．
C． D．
（多选）11．（5分）已知椭圆C的右焦点为F（c，0），上顶点为A（0，b），直线上存在点P使得AP的中垂线过点F，则椭圆C的离心率可能为（ ）
A． B． C． D．
（多选）12．（5分）某“最强大脑”大赛吸引了全球10000人参加，赞助商提供了2009枚智慧币作为比赛奖金．比赛结束后根据名次（没有并列名次的）进行奖励，要求第k名比第k+1名多2枚智慧币，每人得到的智慧币必须是正整数，且所有智慧币必须都分给参赛者，按此规则主办方可能给第一名分配（ ）智慧币．
A．300 B．293 C．93 D．89
三、填空题：本题共四小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知直线l1：2ax+y﹣2＝0与直线l2：2x+ay﹣3＝0平行，则实数a＝ ．
14．（5分）写出同时满足以下三个条件的数列{an}的一个通项公式an＝ ．
①{an}不是等差数列；
②{an2}是等比数列；
③{an}是递增数列．
15．（5分）如图，一个小球从10m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的，若已知小球经过的路程为m，则小球落地的次数为 ．
16．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，分别记四棱锥P﹣ABCD，P﹣AA1D1D的体积为V1，V2，则V12+V22的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）如图，已知圆C与y轴相切于点（0，1）且被x轴正半轴分成两段圆弧，其弧长之比为1：2．
（1）求圆C的方程；
（2）已知点P（3，2），是否存在弦AB被点P平分？若存在，求直线AB的方程；若不存在，请说明理由．
18．（12分）如图，三棱锥A﹣BCD中，△ABC为等边三角形，且面ABC⊥面BCD，CD⊥BC．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）当AD与平面BCD所成角为45°时，求二面角C﹣AD﹣B的余弦值．
19．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）过点A（1，2），O为坐标原点．
（1）求焦点F的坐标及其准线方程；
（2）抛物线C在点A处的切线记为l，过点A作与切线l垂直的直线，与抛物线C的另一个交点记为B，求△OAB的面积．
20．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，且a1＝b1＝2，b3＝a7，T3＝S4．
（1）求an，bn；
（2）已知，，试比较Pn，Qn的大小．
21．（12分）一杯100℃的开水放在室温25℃的房间里，1分钟后水温降到85℃，现已知每分钟水温的变化量和水温与室温之差成正比，
（1）分别求2分钟，3分钟后的水温；
（2）记n分钟后的水温为an（n∈N*），证明：{an﹣25}是等比数列，并求出{an}的通项公式；
（3）当水温在40℃到55℃之间时（包括40℃和55℃），为最适合饮用的温度，则在水烧开后哪个时间段饮用最佳．（参考数据：lg2≈0.3）
22．（12分）已知的离心率为，短轴长为2，F为右焦点．
（1）求椭圆的方程；
（2）在x轴上是否存在一点M，使得过F的任意一条直线l与椭圆的两个交点A，B，恒有∠OMA＝∠OMB，若存在求出M的坐标，若不存在，说明理由．
2021-2022学年浙江省温州市高二（上）期末数学试卷（B卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）直线x+y+2＝0的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵直线l的方程为x+y+2＝0，
∴直线l的斜率k＝﹣1，
∴直线l的倾斜角α．
故选：D．
2．（5分）已知空间向量（2，﹣1，1），（﹣4，x，y），∥，则x﹣y＝（ ）
A．4 B．﹣4 C．0 D．2
【解答】解：∵（2，﹣1，1），（﹣4，x，y），∥，
∴，
∴x＝2，y＝﹣2，
∴x﹣y＝4，
故选：A．
3．（5分）下列曲线中，与双曲线有相同渐近线的是（ ）
A． B．x2﹣4y2＝1 C．4x2﹣y2＝1 D．
【解答】解：双曲线 的渐近线方程为y，
双曲线 的渐近线方程为y＝±2x，
双曲线x2﹣4y2＝1 的渐近线方程为y，
双曲线4x2﹣y2＝1 的渐近线方程为y＝±2x，
双曲线 的渐近线方程为y＝±2x．
故选：B．
4．（5分）已知抛物线C：y＝x2，过点P（1，0）与抛物线C有且只有一个交点的直线有（ ）条
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：当直线斜率不存在时，满足题意，
当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k，
则直线方程为y＝k（x﹣1），
联立直线与抛物线方程，，化简整理可得，x2﹣kx+k＝0，
Δ＝k2﹣4k＝0，解得k＝0或k＝4，
故满足条件的直线共有3条．
故选：D．
5．（5分）圆O1：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝28与O2：x2+（y﹣4）2＝18的公共弦长为（ ）
A．2 B．2 C． D．
【解答】解：由圆O1：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝28，O2：x2+（y﹣4）2＝18，
可得两圆的公共弦所在直线方程为x﹣3y+12＝0．
圆心O1（1，1）到直线x﹣3y+12＝0的距离d，
∴圆O1：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝28与O2：x2+（y﹣4）2＝18的公共弦长为．
故选：D．
6．（5分）已知四面体ABCD，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【解答】解：∵四面体ABCD，所有棱长均为2，
∴四面体ABCD为正四面体，
∵E，F分别为棱AB，CD的中点，
∴（）•（）
•••
42×1
＝﹣2．
故选：D．
7．（5分）关于实数a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A．如果a+c＝2b，则成等差数列
B．如果a+c＝2b，则2a，2b，2c成等比数列
C．如果ac＝b2，则2a，2b，2c成等差数列
D．如果ac＝b2，则lna，lnb，lnc成等差数列
【解答】解：对于A，令a＝1，c＝﹣1，b＝0，满足a+c＝2b，但无意义，故A错误，
对于B，∵a+c＝2b，
∴2a•2c＝2a+c＝22b，故B正确，
对于C，令a＝﹣1，c＝﹣1，b＝1，满足ac＝b2，但2a+2c≠2•2b，故C错误，
对于D，令a＝﹣1，c＝﹣1，b＝1，满足ac＝b2，但lna，lnc无意义，故D错误．
故选：B．
8．（5分）如图，某绿色蔬菜种植基地在A处，要把此处生产的蔬菜沿道路AA1或AA2运送到形状为四边形区域A1A2A3A4的农贸市场中去，现要求在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路AA1运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路AA2运送蔬菜较近，则该界线所在曲线为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【解答】解：设M是界限上的一点，
则|MA1|+|AA1|＝|MA2|+|AA2|，
所以|MA1|﹣|MA2|＝|AA2|﹣|AA1|，即||MA1|﹣|MA2||＝||AA2|﹣|AA1||，
在△AA1A2中，||AA2|﹣|AA1||＜|A1A2|，
所以点M的轨迹为双曲线，
即该界线所在曲线为双曲线．
故选：C．
二、选择题：本题共四小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
（多选）9．（5分）在等差数列{an}中，a1＞0，a6a7＜0，Sn为{an}的前n项和，则下列式子一定成立的有（ ）
A．d＜0 B．a6＞0 C．a12＜0 D．S13＞0
【解答】解：∵在等差数列{an}中，a1＞0，a6a7＜0，
∴d＜0，a6＞0，a7＜0，故AB正确，
a12＝a7+5d＜0，故C正确，
S13＝13a7＜0，故D错误．
故选：ABC．
（多选）10．（5分）在同一直角坐标系中，直线y＝ax+a2与圆（x+a）2+y2＝a2的位置可能的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：当a＞0时，直线的斜率k＝a＞0，圆心在x轴的负半轴，故A正确，BD错误，
当a＜0时，直线的斜率k＝a＜0，圆心在x轴的正半轴，故C正确．
故选：AC．
（多选）11．（5分）已知椭圆C的右焦点为F（c，0），上顶点为A（0，b），直线上存在点P使得AP的中垂线过点F，则椭圆C的离心率可能为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：因为|AF|＝|PF|，所以P在以F为圆心，以a为半径的圆与x有交点，而P在直线x上，
所以c≤a，即a2﹣ac﹣c2≤0，可得e2+e﹣1≥0，e∈（0，1），解得e＜1，
故选：BCD．
（多选）12．（5分）某“最强大脑”大赛吸引了全球10000人参加，赞助商提供了2009枚智慧币作为比赛奖金．比赛结束后根据名次（没有并列名次的）进行奖励，要求第k名比第k+1名多2枚智慧币，每人得到的智慧币必须是正整数，且所有智慧币必须都分给参赛者，按此规则主办方可能给第一名分配（ ）智慧币．
A．300 B．293 C．93 D．89
【解答】解：设第一名分配m个智慧币，且总共有x名参赛选手获奖，
则智慧币分配如下：
m+（m﹣2×1）+（m﹣2×2）+...+[m﹣2（x﹣1）]＝2009，
即xm﹣2[1+2+...+（x﹣1）]＝2009，
又1+2+...+（x﹣1），
所以xm+x²﹣x＝2009，即mx﹣1，
因为x，m均为正整数，且2009＝7×7×41，
所以x＝7，m7﹣1＝293，
x＝41，m41﹣1＝89，
x＝49，m49﹣1＝89，
x＝287，m287﹣1＝293，
则第一名分配89或293个智慧币．
故选：BD．
三、填空题：本题共四小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知直线l1：2ax+y﹣2＝0与直线l2：2x+ay﹣3＝0平行，则实数a＝ ±1 ．
【解答】解：直线l1：2ax+y﹣2＝0与直线l2：2x+ay﹣3＝0平行，
则：2a2﹣2＝0，解得a＝±1；
故答案为：±1．
14．（5分）写出同时满足以下三个条件的数列{an}的一个通项公式an＝ 2n ．
①{an}不是等差数列；
②{an2}是等比数列；
③{an}是递增数列．
【解答】解：令{an2}是等比数列，令，
当an＞0时，
，
∀n∈N*，an+1＞an，{an}是递增数列，
令m，n，k是互不相等的三个正整数，且m＜n＜k，
若am，an，ak 成等差数列，
则am+ak＝2an，即2m+2k＝2×2n，
则有1+2k﹣m＝2n+1﹣m，显然k﹣m，n+1﹣m都是正整数，2k﹣m，2n+1﹣m 都是偶数，
1+2k﹣m 是奇数，从而1+2k﹣m＝2n+1﹣m 不成立，即am，an，ak 不成等差数列，数列{an}不是等差数列，
故an＝2n．
故答案为：2n．
15．（5分）如图，一个小球从10m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的，若已知小球经过的路程为m，则小球落地的次数为 4 ．
【解答】解：小球每次着地后又弹回的高度构成一个等比数列，其中首项为，公比为，
所以10+2，即10+10×（1），
解得n＝3，
所以小球落地的次数为n+1＝4．
故答案为：4．
16．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，分别记四棱锥P﹣ABCD，P﹣AA1D1D的体积为V1，V2，则V12+V22的最小值为 ．
【解答】解：如图，
取AD的中点F，连接EF，D1F，DE，可得平面D1DE⊥平面ABCD，且交于DE，
平面D1EF⊥平面AA1D1D且交于D1F，过P作PM⊥DE，则PM⊥平面ABCD，
过P作PN⊥D1F，则PN⊥平面AA1D1D，
设EP＝λED1（0≤λ≤1），则，即PM＝2λ，，PN＝2﹣2λ，
∴V12+V22[λ2+（1﹣λ）2]．
当且仅当λ＝1﹣λ，即时等号成立．
∴V12+V22的最小值为．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）如图，已知圆C与y轴相切于点（0，1）且被x轴正半轴分成两段圆弧，其弧长之比为1：2．
（1）求圆C的方程；
（2）已知点P（3，2），是否存在弦AB被点P平分？若存在，求直线AB的方程；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）因为位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点（0，1），
所以圆心C在直线y＝1上，
设圆C与x轴的交点分别为A、B，
由圆C被x轴分成的两段弧长之比为1：2，得∠ACB，
所以CA＝CB＝2，圆心C的坐标为（2，1），
所以圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4；
（2）由点P（3，2），有（3﹣2）2+（2﹣1）2＝2＜4，所以点P在圆C的内部，
假设存在弦AB被点P平分，则AB⊥CP，又kCP1，所以kAB＝﹣1，
所以AB的方程为y﹣3＝﹣（x﹣2），即x+y﹣5＝0，
此时圆心C到直线AB的距离d2，所以直线AB与圆C相交，
所以存在弦AB被点P平分，此时直线AB的方程为x+y﹣5＝0．
18．（12分）如图，三棱锥A﹣BCD中，△ABC为等边三角形，且面ABC⊥面BCD，CD⊥BC．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）当AD与平面BCD所成角为45°时，求二面角C﹣AD﹣B的余弦值．
【解答】解：（1）在三棱锥A﹣BCD中，面ABC⊥面BCD，面ABC∩面BCD＝BC，又CD⊥BC，CD⊂面BCD，
∴CD⊥面ABC，又∵AB⊂面ABC，
∴CD⊥AB；
（2）取BC中点F，连接AF，Df，如图，
因△ABC，于是得AF⊥平面BCD，∠ADF是AD与平面BCD所成角，即∠ADF＝45°，
令BC＝2，则DF＝AF，因CD⊥BC，即有DC，由（1）知DC⊥AC，则有AD＝BD，
过C作CO⊥AD于O，在平面ABD内过O作OE⊥AD交BD于点E，从而得∠COE是二面角C﹣AD﹣B的平面角，
Rt△ACD中，CO，OD，
△ABD中，由余弦定理得cos∠EDO．
∴DE，OE，显然E是Rt△BCD斜边中点，则CEBD，
△COE中，由余弦定理得cos∠COE．
∴二面角C﹣AD﹣B的余弦值为．
19．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）过点A（1，2），O为坐标原点．
（1）求焦点F的坐标及其准线方程；
（2）抛物线C在点A处的切线记为l，过点A作与切线l垂直的直线，与抛物线C的另一个交点记为B，求△OAB的面积．
【解答】解：（1）依题意，22＝2p×1，解得p＝2，
则抛物线C的方程为：y2＝4x，
所以抛物线C的焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1．
（2）显然切线l的斜率存在，设切线l的方程为：y﹣2＝k（x﹣1），
由 消去x并整理得：，
依题意得Δ＝1﹣k（﹣k+2）＝0，解得k＝1，
因直线AB⊥l，则直线AB的斜率为﹣1，方程为：y﹣2＝﹣（x﹣1），
即x+y﹣3＝0，
由 消去x并整理得：y2+4y﹣12＝0，解得y1＝2，y2＝﹣6，
因此有B（9，﹣6），而A（1，2），
则，
而点O（0，0）到直线AB：x+y﹣3＝0的距离，
则，
所以△OAB的面积是12．
20．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，且a1＝b1＝2，b3＝a7，T3＝S4．
（1）求an，bn；
（2）已知，，试比较Pn，Qn的大小．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
依题意，，整理得：，解得，
所以an＝n+1，bn＝2n；
（2）由（1）知，，数列{}是首项为，公比为的等比数列，
则Pn1，
因为2（），
所以Qn＝2[（）+（）+…+（）]＝2（）＝1，
则Pn﹣Qn，
用数学归纳法证明2n，n∈N*，
①当n＝1时，左边为2，右边为，左边＞右边，即原不等式成立，
②假设当n＝k，k∈N*时，不等式成立，即2k，
则2k+1＞2（1）11，
即n＝k+1时，原不等式成立，
综合①②知，∀n∈N*，2n，成立，
因此，Pn﹣Qn0，
即Pn＞Qn，
所以Pn＞Qn．
21．（12分）一杯100℃的开水放在室温25℃的房间里，1分钟后水温降到85℃，现已知每分钟水温的变化量和水温与室温之差成正比，
（1）分别求2分钟，3分钟后的水温；
（2）记n分钟后的水温为an（n∈N*），证明：{an﹣25}是等比数列，并求出{an}的通项公式；
（3）当水温在40℃到55℃之间时（包括40℃和55℃），为最适合饮用的温度，则在水烧开后哪个时间段饮用最佳．（参考数据：lg2≈0.3）
【解答】解：（1）设第n分钟后的水温为，正比例系数为k，记a0＝100，
依题意，an﹣1﹣an＝k（an﹣25），当n＝1时，a0＝100，a1＝85，则有100﹣85＝k（85﹣60），解得，
因此，，即有，
所以2分钟的水温为73°C，3分钟后的水温63.4°C．
（2）由（1）知，n∈N*，n≥2时，，则有，即，
而a1﹣25＝60，于是得{an﹣25}是以60为首项，为公比的等比数列，
则有，即，
所以{an﹣25}是等比数列，{an}的通项公式是．
（3）由（2）及已知得：40≤an≤55，即，整理得，
两边取常用对数得：，而 ，
解得，即4≤n≤7，
所以在水烧开后4到7分钟饮用最佳．
22．（12分）已知的离心率为，短轴长为2，F为右焦点．
（1）求椭圆的方程；
（2）在x轴上是否存在一点M，使得过F的任意一条直线l与椭圆的两个交点A，B，恒有∠OMA＝∠OMB，若存在求出M的坐标，若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）依题意，b＝1，而离心率，即，解得a2＝2，
所以椭圆C的方程为：．
（2）由（1）知，F（1，0），假定存在点M（t，0）满足条件，当直线与x轴不重合时，
设l的方程为：x＝my+1，
由消去x并整理得：（m2+2）y2+2my﹣1＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则有，因∠OMA＝∠OMB，
则直线MA、MB斜率互为相反数，
于是得：，
整理得y1（my2+1﹣t）+y2（my1+1﹣t）＝0，即2my1y2+（1﹣t）（y1+y2）＝0，
则有，即，而m为任意实数，则t＝2，
当直线l与x轴重合时，点A，B为椭圆长轴的两个端点，点M（2，0）也满足∠OMA＝∠OMB，
所以存在点M满足条件，点M的坐标为（2，0）．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/5/26 11:03:08；用户：高中数学；邮箱：sdgs@xyh.com；学号：28144983
2021-2022学年浙江省温州市高二（上）期末数学试卷（B卷）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）直线x+y+2＝0的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．（5分）已知空间向量（2，﹣1，1），（﹣4，x，y），∥，则x﹣y＝（ ）
A．4 B．﹣4 C．0 D．2
3．（5分）下列曲线中，与双曲线有相同渐近线的是（ ）
A． B．x2﹣4y2＝1 C．4x2﹣y2＝1 D．
4．（5分）已知抛物线C：y＝x2，过点P（1，0）与抛物线C有且只有一个交点的直线有（ ）条
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（5分）圆O1：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝28与O2：x2+（y﹣4）2＝18的公共弦长为（ ）
A．2 B．2 C． D．
6．（5分）已知四面体ABCD，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
7．（5分）关于实数a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A．如果a+c＝2b，则成等差数列
B．如果a+c＝2b，则2a，2b，2c成等比数列
C．如果ac＝b2，则2a，2b，2c成等差数列
D．如果ac＝b2，则lna，lnb，lnc成等差数列
8．（5分）如图，某绿色蔬菜种植基地在A处，要把此处生产的蔬菜沿道路AA1或AA2运送到形状为四边形区域A1A2A3A4的农贸市场中去，现要求在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路AA1运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路AA2运送蔬菜较近，则该界线所在曲线为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
二、选择题：本题共四小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
（多选）9．（5分）在等差数列{an}中，a1＞0，a6a7＜0，Sn为{an}的前n项和，则下列式子一定成立的有（ ）
A．d＜0 B．a6＞0 C．a12＜0 D．S13＞0
（多选）10．（5分）在同一直角坐标系中，直线y＝ax+a2与圆（x+a）2+y2＝a2的位置可能的是（ ）
A． B．
C． D．
（多选）11．（5分）已知椭圆C的右焦点为F（c，0），上顶点为A（0，b），直线上存在点P使得AP的中垂线过点F，则椭圆C的离心率可能为（ ）
A． B． C． D．
（多选）12．（5分）某“最强大脑”大赛吸引了全球10000人参加，赞助商提供了2009枚智慧币作为比赛奖金．比赛结束后根据名次（没有并列名次的）进行奖励，要求第k名比第k+1名多2枚智慧币，每人得到的智慧币必须是正整数，且所有智慧币必须都分给参赛者，按此规则主办方可能给第一名分配（ ）智慧币．
A．300 B．293 C．93 D．89
三、填空题：本题共四小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知直线l1：2ax+y﹣2＝0与直线l2：2x+ay﹣3＝0平行，则实数a＝ ．
14．（5分）写出同时满足以下三个条件的数列{an}的一个通项公式an＝ ．
①{an}不是等差数列；
②{an2}是等比数列；
③{an}是递增数列．
15．（5分）如图，一个小球从10m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的，若已知小球经过的路程为m，则小球落地的次数为 ．
16．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，分别记四棱锥P﹣ABCD，P﹣AA1D1D的体积为V1，V2，则V12+V22的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）如图，已知圆C与y轴相切于点（0，1）且被x轴正半轴分成两段圆弧，其弧长之比为1：2．
（1）求圆C的方程；
（2）已知点P（3，2），是否存在弦AB被点P平分？若存在，求直线AB的方程；若不存在，请说明理由．
18．（12分）如图，三棱锥A﹣BCD中，△ABC为等边三角形，且面ABC⊥面BCD，CD⊥BC．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）当AD与平面BCD所成角为45°时，求二面角C﹣AD﹣B的余弦值．
19．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）过点A（1，2），O为坐标原点．
（1）求焦点F的坐标及其准线方程；
（2）抛物线C在点A处的切线记为l，过点A作与切线l垂直的直线，与抛物线C的另一个交点记为B，求△OAB的面积．
20．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，且a1＝b1＝2，b3＝a7，T3＝S4．
（1）求an，bn；
（2）已知，，试比较Pn，Qn的大小．
21．（12分）一杯100℃的开水放在室温25℃的房间里，1分钟后水温降到85℃，现已知每分钟水温的变化量和水温与室温之差成正比，
（1）分别求2分钟，3分钟后的水温；
（2）记n分钟后的水温为an（n∈N*），证明：{an﹣25}是等比数列，并求出{an}的通项公式；
（3）当水温在40℃到55℃之间时（包括40℃和55℃），为最适合饮用的温度，则在水烧开后哪个时间段饮用最佳．（参考数据：lg2≈0.3）
22．（12分）已知的离心率为，短轴长为2，F为右焦点．
（1）求椭圆的方程；
（2）在x轴上是否存在一点M，使得过F的任意一条直线l与椭圆的两个交点A，B，恒有∠OMA＝∠OMB，若存在求出M的坐标，若不存在，说明理由．
2021-2022学年浙江省温州市高二（上）期末数学试卷（B卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）直线x+y+2＝0的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵直线l的方程为x+y+2＝0，
∴直线l的斜率k＝﹣1，
∴直线l的倾斜角α．
故选：D．
2．（5分）已知空间向量（2，﹣1，1），（﹣4，x，y），∥，则x﹣y＝（ ）
A．4 B．﹣4 C．0 D．2
【解答】解：∵（2，﹣1，1），（﹣4，x，y），∥，
∴，
∴x＝2，y＝﹣2，
∴x﹣y＝4，
故选：A．
3．（5分）下列曲线中，与双曲线有相同渐近线的是（ ）
A． B．x2﹣4y2＝1 C．4x2﹣y2＝1 D．
【解答】解：双曲线 的渐近线方程为y，
双曲线 的渐近线方程为y＝±2x，
双曲线x2﹣4y2＝1 的渐近线方程为y，
双曲线4x2﹣y2＝1 的渐近线方程为y＝±2x，
双曲线 的渐近线方程为y＝±2x．
故选：B．
4．（5分）已知抛物线C：y＝x2，过点P（1，0）与抛物线C有且只有一个交点的直线有（ ）条
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：当直线斜率不存在时，满足题意，
当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k，
则直线方程为y＝k（x﹣1），
联立直线与抛物线方程，，化简整理可得，x2﹣kx+k＝0，
Δ＝k2﹣4k＝0，解得k＝0或k＝4，
故满足条件的直线共有3条．
故选：D．
5．（5分）圆O1：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝28与O2：x2+（y﹣4）2＝18的公共弦长为（ ）
A．2 B．2 C． D．
【解答】解：由圆O1：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝28，O2：x2+（y﹣4）2＝18，
可得两圆的公共弦所在直线方程为x﹣3y+12＝0．
圆心O1（1，1）到直线x﹣3y+12＝0的距离d，
∴圆O1：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝28与O2：x2+（y﹣4）2＝18的公共弦长为．
故选：D．
6．（5分）已知四面体ABCD，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【解答】解：∵四面体ABCD，所有棱长均为2，
∴四面体ABCD为正四面体，
∵E，F分别为棱AB，CD的中点，
∴（）•（）
•••
42×1
＝﹣2．
故选：D．
7．（5分）关于实数a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A．如果a+c＝2b，则成等差数列
B．如果a+c＝2b，则2a，2b，2c成等比数列
C．如果ac＝b2，则2a，2b，2c成等差数列
D．如果ac＝b2，则lna，lnb，lnc成等差数列
【解答】解：对于A，令a＝1，c＝﹣1，b＝0，满足a+c＝2b，但无意义，故A错误，
对于B，∵a+c＝2b，
∴2a•2c＝2a+c＝22b，故B正确，
对于C，令a＝﹣1，c＝﹣1，b＝1，满足ac＝b2，但2a+2c≠2•2b，故C错误，
对于D，令a＝﹣1，c＝﹣1，b＝1，满足ac＝b2，但lna，lnc无意义，故D错误．
故选：B．
8．（5分）如图，某绿色蔬菜种植基地在A处，要把此处生产的蔬菜沿道路AA1或AA2运送到形状为四边形区域A1A2A3A4的农贸市场中去，现要求在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路AA1运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路AA2运送蔬菜较近，则该界线所在曲线为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【解答】解：设M是界限上的一点，
则|MA1|+|AA1|＝|MA2|+|AA2|，
所以|MA1|﹣|MA2|＝|AA2|﹣|AA1|，即||MA1|﹣|MA2||＝||AA2|﹣|AA1||，
在△AA1A2中，||AA2|﹣|AA1||＜|A1A2|，
所以点M的轨迹为双曲线，
即该界线所在曲线为双曲线．
故选：C．
二、选择题：本题共四小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
（多选）9．（5分）在等差数列{an}中，a1＞0，a6a7＜0，Sn为{an}的前n项和，则下列式子一定成立的有（ ）
A．d＜0 B．a6＞0 C．a12＜0 D．S13＞0
【解答】解：∵在等差数列{an}中，a1＞0，a6a7＜0，
∴d＜0，a6＞0，a7＜0，故AB正确，
a12＝a7+5d＜0，故C正确，
S13＝13a7＜0，故D错误．
故选：ABC．
（多选）10．（5分）在同一直角坐标系中，直线y＝ax+a2与圆（x+a）2+y2＝a2的位置可能的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：当a＞0时，直线的斜率k＝a＞0，圆心在x轴的负半轴，故A正确，BD错误，
当a＜0时，直线的斜率k＝a＜0，圆心在x轴的正半轴，故C正确．
故选：AC．
（多选）11．（5分）已知椭圆C的右焦点为F（c，0），上顶点为A（0，b），直线上存在点P使得AP的中垂线过点F，则椭圆C的离心率可能为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：因为|AF|＝|PF|，所以P在以F为圆心，以a为半径的圆与x有交点，而P在直线x上，
所以c≤a，即a2﹣ac﹣c2≤0，可得e2+e﹣1≥0，e∈（0，1），解得e＜1，
故选：BCD．
（多选）12．（5分）某“最强大脑”大赛吸引了全球10000人参加，赞助商提供了2009枚智慧币作为比赛奖金．比赛结束后根据名次（没有并列名次的）进行奖励，要求第k名比第k+1名多2枚智慧币，每人得到的智慧币必须是正整数，且所有智慧币必须都分给参赛者，按此规则主办方可能给第一名分配（ ）智慧币．
A．300 B．293 C．93 D．89
【解答】解：设第一名分配m个智慧币，且总共有x名参赛选手获奖，
则智慧币分配如下：
m+（m﹣2×1）+（m﹣2×2）+...+[m﹣2（x﹣1）]＝2009，
即xm﹣2[1+2+...+（x﹣1）]＝2009，
又1+2+...+（x﹣1），
所以xm+x²﹣x＝2009，即mx﹣1，
因为x，m均为正整数，且2009＝7×7×41，
所以x＝7，m7﹣1＝293，
x＝41，m41﹣1＝89，
x＝49，m49﹣1＝89，
x＝287，m287﹣1＝293，
则第一名分配89或293个智慧币．
故选：BD．
三、填空题：本题共四小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知直线l1：2ax+y﹣2＝0与直线l2：2x+ay﹣3＝0平行，则实数a＝ ±1 ．
【解答】解：直线l1：2ax+y﹣2＝0与直线l2：2x+ay﹣3＝0平行，
则：2a2﹣2＝0，解得a＝±1；
故答案为：±1．
14．（5分）写出同时满足以下三个条件的数列{an}的一个通项公式an＝ 2n ．
①{an}不是等差数列；
②{an2}是等比数列；
③{an}是递增数列．
【解答】解：令{an2}是等比数列，令，
当an＞0时，
，
∀n∈N*，an+1＞an，{an}是递增数列，
令m，n，k是互不相等的三个正整数，且m＜n＜k，
若am，an，ak 成等差数列，
则am+ak＝2an，即2m+2k＝2×2n，
则有1+2k﹣m＝2n+1﹣m，显然k﹣m，n+1﹣m都是正整数，2k﹣m，2n+1﹣m 都是偶数，
1+2k﹣m 是奇数，从而1+2k﹣m＝2n+1﹣m 不成立，即am，an，ak 不成等差数列，数列{an}不是等差数列，
故an＝2n．
故答案为：2n．
15．（5分）如图，一个小球从10m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的，若已知小球经过的路程为m，则小球落地的次数为 4 ．
【解答】解：小球每次着地后又弹回的高度构成一个等比数列，其中首项为，公比为，
所以10+2，即10+10×（1），
解得n＝3，
所以小球落地的次数为n+1＝4．
故答案为：4．
16．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，分别记四棱锥P﹣ABCD，P﹣AA1D1D的体积为V1，V2，则V12+V22的最小值为 ．
【解答】解：如图，
取AD的中点F，连接EF，D1F，DE，可得平面D1DE⊥平面ABCD，且交于DE，
平面D1EF⊥平面AA1D1D且交于D1F，过P作PM⊥DE，则PM⊥平面ABCD，
过P作PN⊥D1F，则PN⊥平面AA1D1D，
设EP＝λED1（0≤λ≤1），则，即PM＝2λ，，PN＝2﹣2λ，
∴V12+V22[λ2+（1﹣λ）2]．
当且仅当λ＝1﹣λ，即时等号成立．
∴V12+V22的最小值为．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）如图，已知圆C与y轴相切于点（0，1）且被x轴正半轴分成两段圆弧，其弧长之比为1：2．
（1）求圆C的方程；
（2）已知点P（3，2），是否存在弦AB被点P平分？若存在，求直线AB的方程；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）因为位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点（0，1），
所以圆心C在直线y＝1上，
设圆C与x轴的交点分别为A、B，
由圆C被x轴分成的两段弧长之比为1：2，得∠ACB，
所以CA＝CB＝2，圆心C的坐标为（2，1），
所以圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4；
（2）由点P（3，2），有（3﹣2）2+（2﹣1）2＝2＜4，所以点P在圆C的内部，
假设存在弦AB被点P平分，则AB⊥CP，又kCP1，所以kAB＝﹣1，
所以AB的方程为y﹣3＝﹣（x﹣2），即x+y﹣5＝0，
此时圆心C到直线AB的距离d2，所以直线AB与圆C相交，
所以存在弦AB被点P平分，此时直线AB的方程为x+y﹣5＝0．
18．（12分）如图，三棱锥A﹣BCD中，△ABC为等边三角形，且面ABC⊥面BCD，CD⊥BC．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）当AD与平面BCD所成角为45°时，求二面角C﹣AD﹣B的余弦值．
【解答】解：（1）在三棱锥A﹣BCD中，面ABC⊥面BCD，面ABC∩面BCD＝BC，又CD⊥BC，CD⊂面BCD，
∴CD⊥面ABC，又∵AB⊂面ABC，
∴CD⊥AB；
（2）取BC中点F，连接AF，Df，如图，
因△ABC，于是得AF⊥平面BCD，∠ADF是AD与平面BCD所成角，即∠ADF＝45°，
令BC＝2，则DF＝AF，因CD⊥BC，即有DC，由（1）知DC⊥AC，则有AD＝BD，
过C作CO⊥AD于O，在平面ABD内过O作OE⊥AD交BD于点E，从而得∠COE是二面角C﹣AD﹣B的平面角，
Rt△ACD中，CO，OD，
△ABD中，由余弦定理得cos∠EDO．
∴DE，OE，显然E是Rt△BCD斜边中点，则CEBD，
△COE中，由余弦定理得cos∠COE．
∴二面角C﹣AD﹣B的余弦值为．
19．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）过点A（1，2），O为坐标原点．
（1）求焦点F的坐标及其准线方程；
（2）抛物线C在点A处的切线记为l，过点A作与切线l垂直的直线，与抛物线C的另一个交点记为B，求△OAB的面积．
【解答】解：（1）依题意，22＝2p×1，解得p＝2，
则抛物线C的方程为：y2＝4x，
所以抛物线C的焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1．
（2）显然切线l的斜率存在，设切线l的方程为：y﹣2＝k（x﹣1），
由 消去x并整理得：，
依题意得Δ＝1﹣k（﹣k+2）＝0，解得k＝1，
因直线AB⊥l，则直线AB的斜率为﹣1，方程为：y﹣2＝﹣（x﹣1），
即x+y﹣3＝0，
由 消去x并整理得：y2+4y﹣12＝0，解得y1＝2，y2＝﹣6，
因此有B（9，﹣6），而A（1，2），
则，
而点O（0，0）到直线AB：x+y﹣3＝0的距离，
则，
所以△OAB的面积是12．
20．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，且a1＝b1＝2，b3＝a7，T3＝S4．
（1）求an，bn；
（2）已知，，试比较Pn，Qn的大小．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
依题意，，整理得：，解得，
所以an＝n+1，bn＝2n；
（2）由（1）知，，数列{}是首项为，公比为的等比数列，
则Pn1，
因为2（），
所以Qn＝2[（）+（）+…+（）]＝2（）＝1，
则Pn﹣Qn，
用数学归纳法证明2n，n∈N*，
①当n＝1时，左边为2，右边为，左边＞右边，即原不等式成立，
②假设当n＝k，k∈N*时，不等式成立，即2k，
则2k+1＞2（1）11，
即n＝k+1时，原不等式成立，
综合①②知，∀n∈N*，2n，成立，
因此，Pn﹣Qn0，
即Pn＞Qn，
所以Pn＞Qn．
21．（12分）一杯100℃的开水放在室温25℃的房间里，1分钟后水温降到85℃，现已知每分钟水温的变化量和水温与室温之差成正比，
（1）分别求2分钟，3分钟后的水温；
（2）记n分钟后的水温为an（n∈N*），证明：{an﹣25}是等比数列，并求出{an}的通项公式；
（3）当水温在40℃到55℃之间时（包括40℃和55℃），为最适合饮用的温度，则在水烧开后哪个时间段饮用最佳．（参考数据：lg2≈0.3）
【解答】解：（1）设第n分钟后的水温为，正比例系数为k，记a0＝100，
依题意，an﹣1﹣an＝k（an﹣25），当n＝1时，a0＝100，a1＝85，则有100﹣85＝k（85﹣60），解得，
因此，，即有，
所以2分钟的水温为73°C，3分钟后的水温63.4°C．
（2）由（1）知，n∈N*，n≥2时，，则有，即，
而a1﹣25＝60，于是得{an﹣25}是以60为首项，为公比的等比数列，
则有，即，
所以{an﹣25}是等比数列，{an}的通项公式是．
（3）由（2）及已知得：40≤an≤55，即，整理得，
两边取常用对数得：，而 ，
解得，即4≤n≤7，
所以在水烧开后4到7分钟饮用最佳．
22．（12分）已知的离心率为，短轴长为2，F为右焦点．
（1）求椭圆的方程；
（2）在x轴上是否存在一点M，使得过F的任意一条直线l与椭圆的两个交点A，B，恒有∠OMA＝∠OMB，若存在求出M的坐标，若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）依题意，b＝1，而离心率，即，解得a2＝2，
所以椭圆C的方程为：．
（2）由（1）知，F（1，0），假定存在点M（t，0）满足条件，当直线与x轴不重合时，
设l的方程为：x＝my+1，
由消去x并整理得：（m2+2）y2+2my﹣1＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则有，因∠OMA＝∠OMB，
则直线MA、MB斜率互为相反数，
于是得：，
整理得y1（my2+1﹣t）+y2（my1+1﹣t）＝0，即2my1y2+（1﹣t）（y1+y2）＝0，
则有，即，而m为任意实数，则t＝2，
当直线l与x轴重合时，点A，B为椭圆长轴的两个端点，点M（2，0）也满足∠OMA＝∠OMB，
所以存在点M满足条件，点M的坐标为（2，0）．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/5/26 11:03:08；用户：高中数学；邮箱：sdgs@xyh.com；学号：28144983
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