2020-2021学年浙江省温州市高一（上）期末数学试卷（a卷）

这是一份2020-2021学年浙江省温州市高一（上）期末数学试卷（a卷），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则（∁UB）∩A＝（ ）
A．{0，1，2，3}B．{1，3}C．{1，2，3，4}D．{0，2，4}
2．（5分）下列函数既不是奇函数也不是偶函数的是（ ）
A．y＝x3B．y＝x2C．y＝xD．
3．（5分）在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则sin（π﹣α）＝（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）已知函数，则f（x2）的定义域为（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
C．（﹣1，1）D．（0，1）
5．（5分）已知a，b，c是实数，且a≠0，则“∀x∈R，ax2+bx+c＜0”是“b2﹣4ac＜0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．（5分）某工厂有如图1所示的三种钢板，其中长方形钢板共有100张，正方形钢板共有60张，正三角形钢板共有80张．用这些钢板制作如图2所示的甲、乙两种模型的产品，要求正方形钢板全部用完，则制成的甲模型的个数最少有（ ）
A．10个B．15个C．20个D．25个
7．（5分）已知函数f（x）＝ln（+sinx）（x∈R），则存在非零实数x0，使得（ ）
A．f（x0）＝﹣1B．f（x0）﹣f（﹣x0）＝2
C．D．
二、选择题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
8．（5分）已知a＞0，b＞0，a+b＝1，则下列等式可能成立的是（ ）
A．a2+b2＝1B．ab＝1C．a2+b2＝D．a2﹣b2＝
9．（5分）已知函数f（x）＝|lg2x|的值域是[0，2]，则其定义域可能是（ ）
A．B．C．D．
10．（5分）已知，且tanθ＝m，则下列正确的有（ ）
A．B．tan（π﹣θ）＝m
C．D．
11．（5分）在同一直角坐标系中，函数f（x）＝lga（x﹣b），g（x）＝bx﹣a的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（5分）已知实数a，b满足0＜2a＜b＜3﹣a2，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A．B．csa2＞cs（3﹣b）
C．sin（a2+b）＜sin3D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知5a＝3，3b＝2，则lg510﹣ab＝ ．
14．（5分）当φ＝ 时，函数f（x）＝sin（x+φ）在区间上单调（写出一个值即可）．
15．（5分）某单位要租地建仓库，已知每月土地费用与仓库到码头的距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到码头的距离成正比．经测算，若在距离码头10km处建仓库，则每月的土地费用和运输费用分别为2万元和8万元．那么两项费用之和的最小值是 万元．
16．（5分）已知函数f（x）＝，若方程f（x）＝a（a∈R）有两个不同的实根x1，x2，且满足，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知a∈R，集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|x2﹣ax﹣2＝0}．
（Ⅰ）若a＝1，求A∩B，∁RA；
（Ⅱ）若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
18．（12分）已知函数f（x）＝2sinx•cs（x+）+．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及对称轴的方程；
（Ⅱ）若α∈（0，），且f（α）＝，求f（α+）的值．
19．（12分）已知函数f（x）＝x﹣+m（m∈R）是奇函数．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求不等式f（2x）＜2f（x）的解集．
20．（12分）用打点滴的方式治疗“新冠”病患时，血药浓度（血药浓度是指药物吸收后，在血浆内的总浓度）随时间变化的函数符合，其函数图象如图所示，其中V为中心室体积（一般成年人的中心室体积近似为600），m0为药物进入人体时的速率，k是药物的分解或排泄速率与当前浓度的比值．此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在4到15之间，当达到上限浓度时，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合，其中c为停药时的人体血药浓度．
（Ⅰ）求出函数c1（t）的解析式；
（Ⅱ）一病患开始注射后，最迟隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第二次注射？（保留小数点后一位，参考数据lg2≈0.3，lg3≈0.48）
21．（12分）已知函数．
（Ⅰ）用定义证明f（x）在（0，1）内单调递减；
（Ⅱ）证明f（x）存在两个不同的零点x1，x2，且x1+x2＞2．
22．（12分）已知定义域为[0，+∞）的两个函数f（x）＝x2+|ax+1|，g（x）＝x2+|bx+1|，a，b为两个不同的常数．
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）∃x0∈[0，+∞），使得对于∀x∈[0，+∞），f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0）恒成立，求f（x0）+g（x0）所有可能的值．
2020-2021学年浙江省温州市高一（上）期末数学试卷（A卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则（∁UB）∩A＝（ ）
A．{0，1，2，3}B．{1，3}C．{1，2，3，4}D．{0，2，4}
【解答】解：∵U＝{0，1，2，3，4}，A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，
∴∁UB＝{0，1，3}，（∁UB）∩A＝{1，3}．
故选：B．
2．（5分）下列函数既不是奇函数也不是偶函数的是（ ）
A．y＝x3B．y＝x2C．y＝xD．
【解答】解：A．函数为奇函数，
B．函数为偶函数，
C．函数为奇函数，
D．函数的定义域为[0，+∞），关于原点不对称，
函数为非奇非偶函数．
故选：D．
3．（5分）在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则sin（π﹣α）＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，
∴r＝|OP|＝2，y＝1，
∴sinα＝＝，
∴sin（π﹣α）＝sinα＝．
故选：B．
4．（5分）已知函数，则f（x2）的定义域为（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
C．（﹣1，1）D．（0，1）
【解答】解：由x2﹣x＞0，得x＞1或x＜0，即f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（1，+∞），
由x2＞1或x2＜0，得x＞1或x＜﹣1，则f（x2）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
故选：A．
5．（5分）已知a，b，c是实数，且a≠0，则“∀x∈R，ax2+bx+c＜0”是“b2﹣4ac＜0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：因为∀x∈R，ax2+bx+c＜0，所以a＜0且b2﹣4ac＜0，
因为“b2﹣4ac＜0”，“∀x∈R，ax2+bx+c＜0”不一定成立，
所以“∀x∈R，ax2+bx+c＜0”是“b2﹣4ac＜0”的充分不必要条件．
故选：A．
6．（5分）某工厂有如图1所示的三种钢板，其中长方形钢板共有100张，正方形钢板共有60张，正三角形钢板共有80张．用这些钢板制作如图2所示的甲、乙两种模型的产品，要求正方形钢板全部用完，则制成的甲模型的个数最少有（ ）
A．10个B．15个C．20个D．25个
【解答】解：因为要求制成的甲模型的个数最少，
所以优先做乙模型，做到没有材料了再考虑做甲模型，
做一个乙模型需要一块正方形钢板，四块正三角形钢板，
又正三角形钢板共有80张，
所以80÷4＝20，
故做20个乙模型，消耗了20块正方形钢板，
又长方形钢板共有100张，正方形钢板共有60张，
所以剩余正方形钢板为60﹣20＝40块，
做一个甲模型需要2块正方形钢板和4块长方形钢板，
故40÷2＝20，且20×4＝80＜100，
所以制成的甲模型的个数最少有20个．
故选：C．
7．（5分）已知函数f（x）＝ln（+sinx）（x∈R），则存在非零实数x0，使得（ ）
A．f（x0）＝﹣1B．f（x0）﹣f（﹣x0）＝2
C．D．
【解答】解：令g（x）＝+sinx，sinx＝t∈[﹣1，1]，则g（x）＝h（t）＝+t，
h′（t）＝+1＞0，
∴函数h（t）在t∈[﹣1，1]上单调递增，
∴h（t）∈[﹣1，+1]，
∴f（x）∈[ln（﹣1），ln（+1）]，即f（x）∈[﹣ln（+1），ln（+1）]．
又f（﹣x）＝ln（﹣sinx）＝﹣ln（+sinx）＝﹣f（x），
∴f（x）是R上的奇函数．
A．∵﹣1＜﹣ln（+1），∴f（x0）＝﹣1，因此不正确；
B．若f（x0）﹣f（﹣x0）＝2，则f（x0）＝1＞ln（+1），因此不正确；
C．若f（f（x0））＝ln（+1），则f（x0））＝1，因此不正确；
D．f（π+x0）﹣f（x0）＝ln（+sin（π+x0））﹣ln（+sinx0）＝ln（﹣sinx0）﹣ln（+sinx0）＝﹣2ln（+sinx0）∈[﹣2ln（+1），2ln（+1）]．
∵∈[﹣2ln（+1），2ln（+1）]，∴存在非零实数x0，使得f（π+x0）﹣f（x0）＝．
故选：D．
二、选择题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
8．（5分）已知a＞0，b＞0，a+b＝1，则下列等式可能成立的是（ ）
A．a2+b2＝1B．ab＝1C．a2+b2＝D．a2﹣b2＝
【解答】解：由a＞0，b＞0，a+b＝1，知：
对于A，a2+b2＝a2+（1﹣a）2＝2a2﹣2a+1＝2a（a﹣1）+1＝1﹣2ab＜1，故A错误；
对于B，，∴ab≤（）2＝，当a＝b时取等号，故B错误；
对于C，当a＝时，a2+b2＝，故C正确；
对于D，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝a﹣b＝a﹣（1﹣a）＝2a﹣1，
由a2﹣b2＝，得2a﹣1＝，解得a＝，b＝，故D正确．
故选：CD．
9．（5分）已知函数f（x）＝|lg2x|的值域是[0，2]，则其定义域可能是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由f（x）＝2，得lg2x＝±2，即x＝4或，
即x＝4，至少取一个，且定义域内必须包含x＝1，
则A不可以，B可以，C可以，D不可以，
故选：BC．
10．（5分）已知，且tanθ＝m，则下列正确的有（ ）
A．B．tan（π﹣θ）＝m
C．D．
【解答】解：已知，且tanθ＝m，
对于A：利用三角函数的定义，所以cs，故A正确；
对于B：tan（π﹣θ）＝﹣tanθ＝﹣m，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确；
故选：AD．
11．（5分）在同一直角坐标系中，函数f（x）＝lga（x﹣b），g（x）＝bx﹣a的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：A．由对数图象知，a＞1，b＝1，此时g（x）＝1，为常数函数，满足条件．
B．由指数函数图象知0＜b＜1，对数函数图象应该向右平移b个单位，不满足条件．
C．由对数图象知，0＜a＜1，0＜b＜1，g（x）图象有可能对应，
D．由对数图象知，0＜a＜1，0＜b＜1，g（x）为减函数，则g（x）单调性不满足，
故选：AC．
12．（5分）已知实数a，b满足0＜2a＜b＜3﹣a2，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A．B．csa2＞cs（3﹣b）
C．sin（a2+b）＜sin3D．
【解答】解：由0＜2a＜b＜3﹣a2，
所以，
解得0＜a＜1，
所以b＜3﹣a2＜3，
所以0＜＜，
所以sina＜sin，选项A正确；
由0＜a2＜3﹣b＜3，所以csa2＞cs（3﹣b），选项B正确；
由a2+b＜3，不能得出sin（a2+b）＜sin3，所以选项C错误；
由sin（a2﹣）＝cs（a2﹣﹣）＝cs（﹣a2），
且b＜3﹣a2＜3，所以csb＞cs（3﹣a2）；
又3﹣a2＜﹣a2，所以cs（3﹣a2）＞cs（﹣a2），
所以csb＞cs（﹣a2）＝sinb，选项D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知5a＝3，3b＝2，则lg510﹣ab＝ 1 ．
【解答】解：∵5a＝3，3b＝2，
∴a＝lg53，b＝lg32，
lg510﹣ab＝lg510﹣lg53lg32
＝lg510﹣lg52
＝lg55
＝1．
故答案为：1．
14．（5分）当φ＝ ﹣ 时，函数f（x）＝sin（x+φ）在区间上单调（写出一个值即可）．
【解答】解：由题意可令kπ﹣≤x+φ≤kπ+，k∈Z，
则kπ﹣φ﹣≤x≤kπ+﹣φ，k∈Z，
因为在区间上单调，
则，k∈Z，
即kπ﹣≤φ≤kπ﹣，k∈Z，
所以φ＝kπ﹣，k∈Z，
若k＝0，此时φ＝﹣满足条件．，
故答案为：﹣（答案不唯一）．
15．（5分）某单位要租地建仓库，已知每月土地费用与仓库到码头的距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到码头的距离成正比．经测算，若在距离码头10km处建仓库，则每月的土地费用和运输费用分别为2万元和8万元．那么两项费用之和的最小值是 8 万元．
【解答】解：设仓库到车站距离为xkm时，土地费用为y1万元，运输费用为y2万元，费用之和为y万元，
根据题意，则有，
因为在距离码头10km处建仓库，则每月的土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，
则有，解得，
所以，
因为x＞0，
所以，
当且仅当，即x＝5时取等号，
所以仓库应建在离车站5km处，两项费用之和最小为8万元．
故答案为：8．
16．（5分）已知函数f（x）＝，若方程f（x）＝a（a∈R）有两个不同的实根x1，x2，且满足，则实数a的取值范围为 ．
【解答】解：函数f（x）＝，
作出函数f（x）的图象如图所示，
当0＜x≤1时，，
当且仅当，即时取等号，
故，
又，
当时，方程f（x）＝a（a∈R）才有两个不同的实根，
当a≤3时，f（x）＝a（a∈R）有两个不同的实根，
即有两个解，即2x2﹣ax+1＝0有两个根，
此时，不符合题意，
当a＞3时，y＝a分别与，有交点，
设x1＜x2，则，
由，消去a可得，，
所以，
因为，
所以，
解得或，
又因为，
所以，
由图象可知，f（x）＝在上单调递减，又，
所以，
故实数a的取值范围为．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知a∈R，集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|x2﹣ax﹣2＝0}．
（Ⅰ）若a＝1，求A∩B，∁RA；
（Ⅱ）若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）a＝1时，集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，
B＝{x|x2﹣x﹣2＝0}＝{x|x＝﹣1或x＝2}＝{﹣1，2}．
所以A∩B＝{﹣1，2}，
∁RA＝{x|x＜﹣1或x＞3}；
（Ⅱ）若A∪B＝A，则B⊆A，
B＝∅时，方程x2﹣ax﹣2＝0无实数根，所以△＝a2﹣4×（﹣2）＜0，不等式无解；
B≠∅时，方程x2﹣ax﹣2＝0的实数根在[﹣1，3]内，
所以，
解得1≤a≤；
所以实数a的取值范围是[1，]．
18．（12分）已知函数f（x）＝2sinx•cs（x+）+．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及对称轴的方程；
（Ⅱ）若α∈（0，），且f（α）＝，求f（α+）的值．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝2sinx（csx﹣sinx）+
＝sinxcsx﹣sin2x+＝sin2x﹣×+
＝sin2x+cs2x＝sin（2x+），
则函数的最小正周期T＝，
由2x+＝kπ+，k∈Z，得2x＝kπ+，k∈Z，
即函数的对称轴方程为x＝+，k∈Z．
（Ⅱ）若α∈（0，），且f（α）＝，则sin（2α+）＝，
∴f（α+）＝sin[2（α+）+]＝sin（2α++）＝cs（2α+），
∵α∈（0，），∴2α∈（0，），∴2α+∈（，），
∵sin（2α+）＝∈（，），
∴＜2α+＜（舍去）或＜2α+＜，
则cs（2α+）＜0，即cs（2α+）＝﹣．
19．（12分）已知函数f（x）＝x﹣+m（m∈R）是奇函数．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求不等式f（2x）＜2f（x）的解集．
【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为R，
∵函数f（x）是奇函数，∴f（0）＝0，
即0﹣+m＝0，得m＝．
（Ⅱ）由f（x）＝x﹣+＝x+•，
由f（2x）＜2f（x）得2x+＜2x+，
即＜2×，
即（2x+1）（22x﹣1）＜2（2x﹣1）（22x+1），
即（2x+1）（2x﹣1）（2x+1）＜2（2x﹣1）（22x+1），
即（2x﹣1）[（2x+1）2﹣2（22x+1）]＜0，
即（2x﹣1）[（2x）2﹣2×（2x）2+2×（2x）﹣1]＜0，
（2x﹣1）[﹣（2x）2+2×（2x）﹣1]＜0，
即（2x﹣1）[（2x）2﹣2×（2x）﹣1]＞0，即（2x﹣1）（2x﹣1）2＞0，
即（2x﹣1）3＞0，即2x﹣1＞0，得2x＞1，得x＞0，
即不等式的解集为（0，+∞）．
20．（12分）用打点滴的方式治疗“新冠”病患时，血药浓度（血药浓度是指药物吸收后，在血浆内的总浓度）随时间变化的函数符合，其函数图象如图所示，其中V为中心室体积（一般成年人的中心室体积近似为600），m0为药物进入人体时的速率，k是药物的分解或排泄速率与当前浓度的比值．此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在4到15之间，当达到上限浓度时，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合，其中c为停药时的人体血药浓度．
（Ⅰ）求出函数c1（t）的解析式；
（Ⅱ）一病患开始注射后，最迟隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第二次注射？（保留小数点后一位，参考数据lg2≈0.3，lg3≈0.48）
【解答】解：（Ⅰ）令，则，
由图象可知，图象经过（4，8），（8，12）两点，
则有，解得，
所以；
（Ⅱ）由题意可知，有治疗效果的浓度在4到15之间，
所以浓度在15时为最迟停止注射时间，
故，解得t＝16，
浓度在从15时降到4时为最长间隔时间，
故，即，
两边同时取以2为底的对数，
则有，
即
＝，
所以t＝1.93×4≈7.7，
所以最迟隔16小时停止注射，为保证治疗效果，最多再隔7.7小时开始进行第二次注射．
21．（12分）已知函数．
（Ⅰ）用定义证明f（x）在（0，1）内单调递减；
（Ⅱ）证明f（x）存在两个不同的零点x1，x2，且x1+x2＞2．
【解答】解：（Ⅰ）设0＜x1＜x2＜1，
则f（x1）﹣f（x2）＝﹣x1+﹣2﹣+x2﹣+2＝﹣+x2﹣x1+﹣＝（x1+x2）（x1﹣x2）+（x2﹣x1）+
＝（x2﹣x1）[1+﹣（x1+x2）]
∵0＜x1＜x2＜1，
∴x2﹣x1＞0，0＜x1x2＜1，0＜x1+x2＜2，＞1，
则1+﹣（x1+x2）＞0，
即f（x1）﹣f（x2）＞0，得f（x1）＞f（x2），即f（x）在（0，1）内单调递减．
（Ⅱ）证明：同理可知当x＞1时，f（x）在（1，+∞）上为增函数，
f（1）＝1﹣1+1﹣2＝﹣1＜0，
f（）＝﹣+2﹣2＝﹣，f（）＝﹣+﹣2＝﹣，
f（2）＝4﹣2+2＝，
必有一个根x1∈（，1），另外一个根x2∈（，2），
则x1+x2＞＝2．
22．（12分）已知定义域为[0，+∞）的两个函数f（x）＝x2+|ax+1|，g（x）＝x2+|bx+1|，a，b为两个不同的常数．
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）∃x0∈[0，+∞），使得对于∀x∈[0，+∞），f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0）恒成立，求f（x0）+g（x0）所有可能的值．
【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）＝x2+|ax+1|（x≥0），
所以当a≥0时，f（x）＝x2＝ax+1在[0，+∞）递增，可得f（x）min＝f（0）＝1，
当a＜0时，0≤x＜﹣时，f（x）＝x2+ax+1；
当x≥﹣时，f（x）＝x2﹣ax﹣1，为增函数，可得f（x）min＝f（﹣）＝；
当﹣＜﹣，即﹣＜a＜0时，0≤x＜﹣时，f（x）min＝f（﹣）＝1﹣；
当a＜﹣时，0≤x＜﹣时，f（x）min＝f（﹣）＝，
当﹣＜a＜0时，1﹣＜，所以f（x）min＝1﹣；
a≤﹣时，f（x）min＝；
a≥0时，f（x）min＝1，
综上可得，f（x）min＝；
（Ⅱ）由题意可得f（x）≥f（x0），所以f（x0）为f（x）的最小值，
同理可得g（x0）为g（x）的最小值，由（1）可得f（x0）＝；
同理可得g（x0）＝，
所以f（x0）+g（x0）的可能取值为+，+1﹣，+1，1﹣+，2﹣，2﹣，1+，2﹣，2．
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日期：2022/1/1 11:32:43；用户：高中数学；邮箱：sdgs@xyh.cm；学号：28144983